2021高考理數(shù)真題試卷(全國Ⅲ卷)帶答案解析

iiiiiiiii2021高理真試（國）一、選題：本題共小題，小題分，共分。（共12題；共分）已集合A={-1，，1，，，則A）A.{-1，，B.{0，C.{-1，D.{0，，【答案】【考點】交集及其運算【解析】【解答】解集，{|

，則

，故答案為：【分析】先求出集合B，再利用交集的運算即可得結(jié).若z（1+i，z=（）A.-1-iB.-1+iC.1-i1+i【答案】【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算【解析】【解答】解：，

)

i

，故答案為：【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除運算，即可求出復(fù)數(shù)z的數(shù)式.《西游記《三國演義水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并成為國古典小說四大名著。某中學(xué)為了了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100位生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有位則校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8【答案】C【考點】集合中元素個數(shù)的最值【解析】【解答】解：設(shè)集合表閱讀過《西游記》的學(xué)生，集合B表閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生，依題意，可得學(xué)生人數(shù)分別為

，，

，

，，(=70，70該閱讀過《西記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為，故答案為：【分析】利用集合中元素個數(shù)的關(guān)系式()

列式，得到閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)，即可求出與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計.

434444，結(jié)合rn5313531434n43434444，結(jié)合rn5313531434n43′,，3A.12B.16C.2024【答案】【考點】二項式定理的應(yīng)用【解析】【解答】解的項公式為展式中x的數(shù)為4，

r

，故答案為：【分析】由已知利用)的項公式為

即求出展開式中3

的系數(shù)已各項均為正數(shù)的等比數(shù){}的前4項和為，且a=3a+4a，則a=（）A.16842【答案】C【考點】等比數(shù)列的通項公式【解析】【解答】解a=3a+4a，則

，

，434，解得4或

（舍）各均為正數(shù)，等數(shù)列a}前項和為，

1

，得，3

，故答案為：【分析由已知利用等比數(shù)列的項公式列式，得到q=2，由前項和為15列式，解得

，即可求出的.已曲線y=ae+xlnx點（，）處的切線方程為y=2x+b，（）A.a=e，b=-1B.a=e，a=e-1，b=1-1，b=-1【答案】【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程【解析】【解答】解：依題意，點1，）已知曲線

??

??ln??上，

，切的斜率′

，切方程為，??，解得，故答案為：【分析】由已知可得點1，）曲線??

??

??ln??上求導(dǎo)并代入x=1得切線斜率的表達(dá)式，利用切線的斜率和點（，）切線上列式，解得

即可得結(jié)果函

???????

，在-6,6]圖像大致為（）2

f332ff3f332ff3A.D.【答案】B【考點】函數(shù)的圖象【解析】【解答】解

?x

?x

(

，此數(shù)是奇函數(shù)，排除選項C；又當(dāng)時，

2×44?4

，除選項A，故答案為：【分析利函數(shù)的奇偶性排選項C再把x=4代入求值，利用特值法排除選項A，，即可判斷得到函數(shù)的大致圖象如，點N為方形ABCD的心eq\o\ac(△,)ECD為三角形，平面平，是線段的點，則（）A.BMEN，且直線BM、是相交直線BM=EN，且線BMEN是面直線【答案】B【考點】平面的基本性質(zhì)及推論【解析】【解答】解：連接，，，圖：

B.≠EN，且直，EN是交直線BM≠EN，且線，EN是面直線3

M，N分是線段，的點MN，直，確定一個平面，直BMEN是交直線，設(shè)正方形ABCD的邊長為a則DE=a，

aDE≠DB，BMD與不等，故答案為：【分析】由已知可證MNBE，到直線，確一個平面，可證直線BM，是交直線，再由BMDeq\o\ac(△,)END不全等，得到BM，即可判斷得結(jié)論執(zhí)下邊的程序框圖，如果輸入的??為0.01，則輸出的值等于（）4

B.,1+，不滿足條件，繼續(xù)循環(huán)；第3次22311,，滿足B.,1+，不滿足條件，繼續(xù)循環(huán)；第3次22311,，滿足條件，結(jié)束循環(huán)，輸出S的，即212122??B.22????6||4A.

1114567【答案】C【考點】程序框圖【解析答：執(zhí)行已知程序框圖，第1次：

1

，不滿足條件，繼續(xù)循環(huán)；第次：

111

，不滿足條件，繼續(xù)循環(huán)…；第7次

111767112

16

，故答案為：【分析行已知程序框圖，進(jìn)循環(huán)計算，直到滿足條件，結(jié)束循環(huán)，由

1712

16

，即可求出輸出S的.10.雙曲線積為（）

??4

的右焦點為點P在C的一條漸近線,為標(biāo)原點若則PFO的A.

34

√

3【答案】【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)【解析】【解答】解雙線C：

=1，4

，

6

，

，漸近線方程為，設(shè)P在漸進(jìn)線上過作

，如圖：|

，POF是腰三角形

，代入漸進(jìn)方程中可得

3

，

1

，故答案為：5

3（3??（）＞??（3）＞（31fff4，4，23（3??（）＞??（3）＞（31fff4，4，2<2）＞（31f4

，過P作

，由

，eq\o\ac(△,)是腰三角，求出|，可求eq\o\ac(△,)的面.211.設(shè)（）定義域為R的函數(shù)，且在0，+∞）調(diào)遞減，則（）A.（

14

??（

3223

）

B.??（

14

??（

2332

）（

3223

）＞??（

14

）

（

2332

）＞（14

）【答案】C【考點】不等式比較大小【解析】【解答】解是義域為R的偶數(shù)，f3

，)3

3

又

3223

，

3232233323

43

，在(0,單調(diào)遞減，（

3223

）＞（

14

），故答案為：【分析】由已知是函數(shù)，得到

f

，用??(的單調(diào)性，即可比較大.312.設(shè)函數(shù)f（=sinωx+

??5

）（），已如f（）在0，有且僅有5個點，下述四個結(jié)論①f（（，有僅有3個大值點（（，有僅有個極小值③（，

??10

）單調(diào)遞增④ω的值范

125

，

10

）其中所有正確結(jié)論的編號是（）A.①B.②C.①①【答案】【考點】由（）部分圖象確定其解析式【解析】【解答】解：由已知畫出函數(shù)的大致圖象，如圖：6

ππ55π5ππ5πππnn121??5=2??511111222??1ππ55π5ππ5πππnn121??5=2??511111222??122222由圖可知在）有且僅有3個大值點，故正確；

π

在EF之，靠近點，有且僅有2個小點，靠近點，有且僅有3個小值點，②錯；令??(，可得，的坐標(biāo)分別為

24,ωω

，則

24ω

ω

，解得的取值范圍是

125

，)，④正；由可的最10大值ω，到函數(shù)在單遞增，即在（0,5

10

）單調(diào)遞增，故正確，故答案為：【分析】由已知畫出函數(shù)的大致圖象，利用圖象得正確，錯誤，再利用函數(shù)??(的質(zhì)得到③正確，即可得結(jié)論二、填題:本題共4小題,每題分,共20分.（共4題；共分13.已知，b單位向量，且a-b=0，c=2a-5

b則cos<a，?！敬鸢浮?/p>

【考點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角【解析【解答】解1，·??，√5??，展開整理可得，又5故答案為：.

，

，【分析知

5

，展開整理可得|，再求出，代入向量的夾角公式即可14.記S為差數(shù)列a項，若a≠0a=3a，則【答案】4【考點】等差數(shù)列的前n項和

10??

=________?！窘馕觥俊窘獯稹拷獾葦?shù)列n}1，1

，

1

，

10??

105+10

10025

，故答案為：【分析】由已知得到

1

，利用等差數(shù)列的求和公式，代入化簡即可求.15.設(shè)，F(xiàn)為圓C

36

的個焦點，為上一點且在第一象限，eq\o\ac(△,)F為腰角形，則M的坐標(biāo)________?！敬鸢浮?5)【考點】橢圓的簡單性質(zhì)【解析】【解答】解橢C:

36

??

1，則5

，4，?4,0),1

，設(shè)

,，

036

0

1

，1

為等腰三角形，|

1

，7

01111110111111

√(②，①②解得000

，則M的坐標(biāo)為√

，故答案為：√.【分析】由已知M為C上一點，得到

2203620

，再由

為等腰三角形，得到|

2

，利用兩點間的距離公式，得到√(22，由②可解出的坐標(biāo)0016.學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型，如圖，該模型為長方體ABCD-ABD，挖去四棱推O一EFGH后得的幾何體，其中O為方體的中心，，，別為所在棱的中點，，，打印所原料密度為2質(zhì)量為_______g.

，不慮打印損耗，制作該模型所需原料的【答案】118.8【考點】組合幾何體的面積、體積問題【解析】【解答】解EF，分為所在棱的中點，6

，四錐—EFGH的積2

四邊形

1

122

，又長體????，

的體積×62

，該型的體積

2制該模型所需料的質(zhì)量為，故答案為118.8.【分析】由已知得到四棱錐O-和長方體

的體積，求出該模型的體積

2

，即可求出制作該模型所需原料的質(zhì).三、解題，共70分，第17~21題為必考，每個題考生都必作答。、23題為選考題，生根據(jù)要求答：（5題；共分）17.為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗：將200只鼠隨機分成A，兩，每組100只其中組鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同。經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分根試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：8

2sin，故，故eq\o\ac(△,??)eq\o\ac(△,)??°??2sin，故，故eq\o\ac(△,??)eq\o\ac(△,)??°??sin????)．eq\o\ac(△,??)eq\o\ac(△,)??記為件：乙子殘留在體內(nèi)的百分比不低于”，根據(jù)直方圖得到（）的估計值為0.70.（）乙離子留百分比直方圖中，的；（）別估計，乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中值為代表）【答案】（）：由已知得，a=0.35–0.70=0.10．（）離子殘百分比的平均值的估計值為乙離子殘留百分比的平均值的估計值為【考點】頻率分布直方圖，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)【解析析已利用頻率分布直方圖，百分比不低于的估計值為列式，即可求出a，b的值；2）頻率分布直方圖平均數(shù)的計算公式利用區(qū)間的中點值為代表列式，即可求出平均18.ABC的角、C的邊分別為，，，知

????2

??（）；（）eq\o\ac(△,)為角三角形，且，eq\o\ac(△,)ABC面積的取值范圍【答案】（）：由題設(shè)及正弦定理得

????2

．因為sinA0所以

????2

．由????°，得

????2

2222

．因為cos

22

，因此．（）題設(shè)及1）eq\o\ac(△,)ABC的積4

．由正弦定理得

2tan

．由于ABC為角三角形，故0°<A<90°，，，所以，從而29

2

2，

,,因此eq\o\ac(△,)面積的取值范圍是

3382

．【考點】正弦定理的應(yīng)用，三角形中的幾何計算【解析【析】1）已知利用正弦定理列式，結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡，即可求出角B的值；2）用正弦定理列式，結(jié)eq\o\ac(△,)為角三角形得到

12

2，即可求eq\o\ac(△,)ABC面的取值范圍．19.圖1是矩形ADEB、eq\o\ac(△,)ABC和菱形BFCC組的一個平面圖形，其中，BE=BF=2，F(xiàn)BC=60°，將其沿AB，折使得BE與BF重，連結(jié)DC，如題（）明：圖中的AC，G，四共面，且平面ABC平；（）圖2中的二面角B-CG-A的小【答案（：由已知得BECG，所以ADCG故，確定一個平面，從而A，，G，四共面．由已知得BE，，故AB平．又因為平面ABC，所以平面ABC平面．（EHBC垂足為．為EH平，面BCGE平ABC，以EH平ABC．由已知，菱形BCGE的邊長為2EBC=60°，求得BH=1，3

．以為標(biāo)原點，

的方向為x10

即,時，′；當(dāng)??即,時，′；當(dāng)??時,(,單調(diào)遞增，在(0,+∞時，′；3軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H–xyz，

則A（–1，0）C（，，）（，，

），

（，，

），

=（，–10）．設(shè)平的法向?量為=（，，），則{

所以可?。?，，–

）．又平面的向量可取為（，，）所以

．因二面角–CG–A的大小為．【考點】平面與平面垂直的判定，用空間向量求平面間的夾角【解析【分析】（1）已知可證CG，到，確一個平面，即可證明結(jié)論；2）作輔助線，可證EH平ABC，再建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與面的法向量，代入向量的夾角公式，即可求出二面角–A的小20.已知函數(shù)（）3-ax+b.（）論f（）單性；（是否存在a，，得區(qū)，的小值為1且大值為？存在，求出，的有值；若不存在，說明理由。【答案】（）：．令′，x=0或??.若a>0，則當(dāng)??∞(

′(．??(在∞

單調(diào)遞減；若a=0在,

單調(diào)遞增；若a<0則當(dāng)(∞

,

時，′(．在∞,∞單遞增，在,（）足題設(shè)件的b存在.

單調(diào)遞減.（）當(dāng)a時由）知，在，單遞增，所以在間0的小值為

，大值為.此，滿題設(shè)條件當(dāng)且僅??，，a=0，??．（當(dāng)時（知在0，單遞減，所以在區(qū)間，的大值為??，最小值為．時a，滿題設(shè)條件當(dāng)且僅，，即a=4b=1．（當(dāng)時1，??(在0，的小值為11

，最大值為b或2．

333221112222333221112222若若

??27??27

，，??2，與矛.，2??，??=33或??3或a=0，矛盾．綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a=0或a=4，時，在[，的小值為1，最大值為1．【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值【解析導(dǎo)令，x=0或

??3

，分三種情況討論，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2先判斷滿足題設(shè)條件的，b存，再分三種情況討論a，用1）中函數(shù)單調(diào)性分別求出a，的進(jìn)行判斷，即可得結(jié).21.已知曲線C:

2

，為線y=-

2

的動點，過D作C的條切線切點分別為A，（）明：直過定點；（）以E（，

52

）為圓心的圓與直線相切，且切點為線段AB的點，求四邊形ADBE的面積【答案設(shè)

，則2

.由于′

，所以切線DA斜率為，故

2

.整得

設(shè)??(

,)，同理可得222

.故線的程為2..所以直線過定點2（（得線的程為??.由22

，可得

2

.于是2222.222

2

，

|

2設(shè),

分別為點，到線的離，則

??

22

22

.因此，四邊形的面積??

2

2

2.設(shè)M為線段的中點，則

2

.2由于

，而22)，

與向量??平，所以??

2

.解t=0或.當(dāng)=0時；當(dāng)時

.因此，四邊形ADBE的面積為或√

.【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，直線與圓錐曲線的綜合問題【解析】【分析】1先求導(dǎo)，分別得到切線和的程，可得直線AB的程，即可證明直線過定點；（）（）直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用弦長公式和點到直線的距離式，分別得到|AB|與，到直線AB的距離，由

與向量平列式，即可求出四邊形ADBE的積12

，，123123123,,ππ133π若，則，解得；3π35ππ5,,,,四、選題，，123123123,,ππ133π若，則，解得；3π35ππ5,,,,22.[選修4-4：標(biāo)系與參數(shù)方]如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，（，，2

，

????44

，，，，，

所在圓的圓心分別是，）（，

??

），（，），曲線M是，線M是，曲線M是。（）別寫出M，M，M的坐標(biāo)方程