高中數(shù)學(xué)人教A版1圓錐曲線性質(zhì)的探討一平行射影

平行射影同步檢測一、選擇題1.△ABC在平面α上的正射影是（）A.三角形 B.直線C.線段 D.三角形或線段答案：D解析：解答：當(dāng)△ABC所在平面垂直于α?xí)r,△ABC在α上的正射影是一條線段,否則是三角形.分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)平行射影的性質(zhì)分析即可2.兩條異面直線m和n在平面α上的平行射影是（）A.一條直線和直線外一個(gè)點(diǎn)B.兩條相交直線C.兩條平行直線D.以上都有可能答案：D解析：解答：當(dāng)m和n中有一條直線與投影方向平行時(shí),它們的平行射影是一個(gè)點(diǎn)和一條直線;否則是兩條平行直線或相交直線.分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)平行射影的性質(zhì)分析即可3.下列說法正確的是（）A.正射影和平行射影是兩種截然不同的射影B.投影線與投影平面有且只有一個(gè)交點(diǎn)C.投影方向可以平行于投影平面D.一個(gè)圖形在某個(gè)平面上的平行射影是唯一的答案：B解析：解答：正射影是平行射影的特例,本質(zhì)是相同的,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;投影線與投影平面只能相交,選項(xiàng)B是正確的,選項(xiàng)C是錯(cuò)誤的;一個(gè)圖形在一個(gè)平面上的平行射影與投影方向有關(guān),方向改變了,就可能得到不同的平行射影,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)平行射影的性質(zhì)結(jié)合所給選項(xiàng)分析即可4.如果一個(gè)三角形的平行射影仍是一個(gè)三角形,則下列結(jié)論正確的是（）A.內(nèi)心的平行射影還是內(nèi)心B.重心的平行射影還是重心C.垂心的平行射影還是垂心D.外心的平行射影還是外心答案：A解析：解答：三角形的平行射影仍是三角形,但三角形的形狀可能會發(fā)生變化,此時(shí)三角形的各頂點(diǎn)、各邊的位置也會發(fā)生變化,其中重心、垂心、外心這些由頂點(diǎn)和邊確定的點(diǎn)會隨著發(fā)生變化,而中位線上三等分點(diǎn)的等分比例性質(zhì)不變,內(nèi)心射影前后相對的位置關(guān)系不變.分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)平行射影的性質(zhì)結(jié)合三角形的性質(zhì)分析即可5.線段AB,CD在同一平面內(nèi)的正射影相等,則線段AB,CD的長度關(guān)系為（）>CD <CD=CD D.無法確定答案：D解析：解答：由于線段AB,CD與平面所成的角未定,雖然正射影相等,但線段AB,CD的長度無法確定,故它們的長度關(guān)系也無法確定.故選D.分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)平行射影一個(gè)圖形在一個(gè)平面上的正射影與圖形和平面的位置有關(guān)6.一個(gè)圖形的正射影是一條線段,這個(gè)圖形不可能是（）A.線段 B.圓 C.梯形 D.長方體答案：D解析：解答：當(dāng)線段、圓、梯形所在的平面與投影面垂直時(shí),它們的正射影都是一條線段,很明顯長方體的正射影不可能是一條線段分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)平行射影的性質(zhì)結(jié)合所給幾何圖形分析即可7.下列說法正確的是（）A.平行射影是正射影B.正射影是平行射影C.同一個(gè)圖形的平行射影和正射影相同D.圓的平行射影不可能是圓答案：B解析：解答：正射影是平行射影的特例,則選項(xiàng)A不正確,選項(xiàng)B正確;對同一個(gè)圖形,當(dāng)投影線垂直于投影面時(shí),其平行射影就是正射影,否則不相同,則選項(xiàng)C不正確;當(dāng)投影線垂直于投影面,且圓面平行于投影面時(shí),圓的平行射影是圓,則選項(xiàng)D不正確分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)平行射影的原理分析即可8.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是BB1,BC的中點(diǎn),則圖中陰影部分在平面ADD1A1上的正射影為下列各圖中的（）A．B．C．D．答案：A解析：解答：點(diǎn)D在平面ADD1A1上的正射影是它本身;點(diǎn)M在平面ADD1A1上的正射影是AA1的中點(diǎn);點(diǎn)N在平面ADD1A1上的正射影是AD的中點(diǎn),則陰影部分在平面ADD1A1上的正射影為選項(xiàng)A中的圖形.分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)平行射影的性質(zhì)結(jié)合所給選項(xiàng)分析即可9.直線l在平面α上的正射影是（）A.點(diǎn) B.線段 C.直線 D.點(diǎn)或直線答案：D解析：解答：當(dāng)l⊥α?xí)r,正射影是一個(gè)點(diǎn),否則是一條直線分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)平行射影結(jié)合所給直線分析即可10.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,四邊形A1ABB1在平面ABCD上的正射影是（）A.四邊形ABCD B.線段ABC.△ABC D.線段A1B1答案：B解析：解答：由于平面A1ABB1⊥平面ABCD,則四邊形A1ABB1在平面ABCD上的正射影是線段AB分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)平行射影的性質(zhì)結(jié)合所給長方體的性質(zhì)分析即可11.兩條相交直線的平行射影是（）A.兩條相交直線 B.一條直線C.一條折線 D.兩條相交直線或一條直線答案：D解析：解答：兩條相交直線確定一個(gè)平面,若這個(gè)平面與投影方向不平行,則兩條相交直線的平行射影為兩條相交直線.若這個(gè)平面與投影方向平行,則兩條相交直線的平行射影為一條直線.分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)平行射影的性質(zhì)結(jié)合直線相交的關(guān)系分析即可12.下列結(jié)論中正確的是（）①圓的平行射影可以是橢圓,但橢圓的平行射影不可能是圓;②平行四邊形的平行射影仍然是平行四邊形;③兩條平行線段之比等于它們的平行射影（不是點(diǎn)）之比;④圓柱與平面的截面可以看作是底面的平行射影,反之亦然.A.①② B.②③ C.③④ D.②③④答案：C解析：解答：由于平面圖形的平行射影具有可逆性,即當(dāng)一平面圖形所在平面與投影平面不垂直時(shí),該圖形與其平行射影可以相互看作為對方的平行射影,只是投影方向相反罷了,因而①是錯(cuò)誤的,④是正確的.當(dāng)平行四邊形所在平面平行于投影方向時(shí),平行四邊形的平行射影是一條線段,故②錯(cuò)誤.很明顯③正確.分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)平行射影的性質(zhì)結(jié)合所給幾何圖形分析即可13.Rt△ABC的斜邊BC在平面α內(nèi),則△ABC的兩條直角邊在平面α內(nèi)的正射影與斜邊組成的圖形只能是（）A.一條線段B.一個(gè)銳角三角形或一條線段C.一個(gè)鈍角三角形或一條線段D.一條線段或一個(gè)鈍角三角形答案：D解析：解答：①當(dāng)頂點(diǎn)A在平面α內(nèi)的正射影A'在BC所在直線上時(shí),兩條直角邊在平面α內(nèi)的正射影是一條線段,與斜邊組成的圖形是線段,如圖①.②當(dāng)頂點(diǎn)A在平面α內(nèi)的正射影A'不在BC所在直線上時(shí),如圖②.∵AA'⊥α,∴AA'⊥A'B,AA'⊥A'C.∴A'B<AB,A'C<AC.在Rt△ABC中,AB2+AC2=BC2,∴BC2>A'B2+A'C2.∴A'B2+A'C2-BC2<0.∴∠BA'C為鈍角,∴△A'BC為鈍角三角形.分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)平行射影的性質(zhì)結(jié)合所給幾何關(guān)系分析即可14.已知a,b為不垂直的異面直線,α是一個(gè)平面,則a,b在α上的射影有可能是:①兩條平行直線;②兩條互相垂直的直線;③同一條直線;④一條直線及其外一點(diǎn).在上面的結(jié)論中,正確的個(gè)數(shù)是（） 答案：C解析：解答：如圖,不垂直的異面直線DC1,AB在平面A1B1C1D1上的射影是平行直線;DC1與BB1在平面A1B1C1D1上的射影是一條直線及其外一點(diǎn);A1E與DC1在平面A1B1C1D1上的射影是兩條互相垂直的直線,故①②④正確.分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)平行射影結(jié)合所給直線關(guān)系構(gòu)造模型分析即可15.Rt△ABC的直角邊AB在平面α內(nèi)，頂點(diǎn)C在平面α外，則直角邊BC、斜邊AC在平面α上的射影與直角邊AB組成的圖形是（）A.線段或銳角三角形B.線段與直角三角形C.線段或鈍角三角形D.線段、銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形答案：B解析：解答：若平面ABC與α垂直，則直角邊BC、斜邊AC在平面α上的射影即為線段AB，若平面ABC與α不垂直，令直角邊BC在平面α上的射影BC′，由三垂線定理可得BC′⊥AB；故直角邊BC、斜邊AC在平面α上的射影與直角邊AB組成的圖形為直角三角形故選B.分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關(guān)鍵是由已知中Rt△ABC的直角邊AB在平面α內(nèi)，頂點(diǎn)C在平面α外，我們分平面ABC與α垂直和平面ABC與α不垂直兩種情況，分別討論直角邊BC、斜邊AC在平面α上的射影與直角邊AB組成的圖形，即可得到答案二、填空題16.一個(gè)等腰直角三角形在平面內(nèi)的正投影可能是．答案：線段或三角形解析：解答：當(dāng)直角三角形和平面垂直的時(shí)候，其投影為一條線段，當(dāng)直角三角形與平面的夾角不為90°時(shí)，其投影為三角形．故答案為：線段或三角形分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)平行射影性質(zhì)結(jié)合三角形的位置分情況探討各線段的投影即可17.如圖所示，圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，則線段DO的長等于．答案：3解析：解答：連接OC，∵圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，∴CD⊥BD，設(shè)圓半徑為r，在Rt△ODC中，CD=4，OD=8﹣r，OC=r，∴16+（8﹣r）2=r2，解得r=5．∴線段DO=8﹣5=3．故答案為：3．分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)平行射影連接OC，由圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，知CD⊥BD，設(shè)圓半徑為r，在Rt△ODC中，則16+（8﹣r）2=r2，解得r=5．由此能求出線段DO的長．18.如圖，一個(gè)廣告氣球被一束入射角為α的平行光線照射，其投影是一個(gè)長半軸為5m的橢圓，則制作這個(gè)廣告氣球至少需要的面料是．答案：100πcos2αm2解析：解答：∵長半軸為OA=5，∠AOB=α，設(shè)氣球半徑為r，則r=5cosα，∴S=4πr2=100πcos2αm2．故答案：100πcos2αm2．分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)平行射影根據(jù)平行投影的性質(zhì)，我們可得氣球與投影所得橢圓之間的關(guān)系為：橢圓的短軸長等于球半徑，橢圓的長軸長等與球半徑除以cosα，根據(jù)橢圓的長半軸為5m，我們易求出廣告氣球的半徑，進(jìn)而得到球的表面積，即制作這個(gè)廣告氣球需要的面料．19.如圖,點(diǎn)E,F分別為正方體的面ADD1A1,面BCC1B1的中心,則四邊形BFD1E在該正方體的面上的正射影可能是.（要求:把可能的圖的序號都填上）答案：②③解析：解答：對四邊形BFD1E在正方體的六個(gè)面上的正射影都要考慮到,并且對于圖形要考慮所有點(diǎn)的正射影,又知線段由兩個(gè)端點(diǎn)唯一確定,故考查四邊形BFD1E的射影,只需同時(shí)考查點(diǎn)B,F,D1,E在各個(gè)面上的正射影即可.四邊形BFD1E在平面ABB1A1,平面CDD1C1,平面ABCD和平面A1B1C1D1上的正射影均為圖②;四邊形BFD1E在平面ADD1A1和平面BCC1B1上的正射影均為圖③.分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)平行射影結(jié)合所給選項(xiàng)分析即可20.梯形ABCD中,AB∥CD,若梯形不在平面α內(nèi),則它在平面α上的平行射影是.答案：一條線段或一個(gè)梯形解析：解答：如果梯形ABCD所在平面平行于投影方向,則梯形ABCD在平面α上的平行射影是一條線段.如果梯形ABCD所在平面不平行于投影方向,由于平行線的平行射影仍是平行線,不平行的直線的平行射影仍不平行,則梯形ABCD在平面α內(nèi)的平行射影仍是梯形.分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)平行射影結(jié)合所給線面關(guān)系分析即可21.關(guān)于直角∠AOB在平面α內(nèi)的平行射影有如下判斷:①可能是0°的角;②可能是銳角;③可能是直角;④可能是鈍角;⑤可能是180°的角,其中正確判斷的序號是.答案：①②③④⑤解析：解答：設(shè)直角∠ABC所在平面為β,當(dāng)β與投影方向平行時(shí),直角∠AOB在平面α內(nèi)的平行射影為一條射線或一條直線;當(dāng)β與投影方向不平行時(shí),直角∠AOB在平面α內(nèi)的平行射影為一個(gè)角,并且該角可以是銳角、直角或鈍角.因而①②③④⑤都對.分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)平行射影的原理結(jié)合所給選項(xiàng)分析即可22.如圖,設(shè)C是線段AB上任意一點(diǎn),點(diǎn)C',A',B'分別是點(diǎn)C,A,B沿直線l的方向在平面α上的平行射影.若AC=4,CB=6,則=.答案：解析：解答：∵AA'∥l,BB'∥l,CC'∥l,∴AA'∥BB'∥CC'.由平行線分線段成比例定理,得分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)平行射影的性質(zhì)結(jié)合所給條件運(yùn)用平行線分線段成比例定理分析即可三、解答題23.已知P為△ABC外一點(diǎn),且PA=PB=PC.求證:點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為△ABC的外心.答案：解答：如圖,過點(diǎn)P作PO⊥平面ABC于點(diǎn)O,連接OA,OB,OC,則點(diǎn)O為點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影.∵PA=PB,PO=PO,∴Rt△PAO≌Rt△PBO,∴AO=BO.同理可得BO=CO,∴AO=BO=CO,∴點(diǎn)O為△ABC的外心,即點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影是△ABC的外心.解析：分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)平行射影的原理結(jié)合所給幾何關(guān)系，分析即可24.如圖,已知DA⊥平面ABC,△ABC是斜三角形,點(diǎn)A'是點(diǎn)A在平面BCD上的正射影,求證:點(diǎn)A'不可能是△BCD的垂心.答案：解：假設(shè)點(diǎn)A'是△BCD的垂心,則A'B⊥CD.∵AA'⊥平面BCD于點(diǎn)A',則AB⊥CD.又∵DA⊥平面ABC,則AB⊥AD,∴AB⊥平面ADC,∴AB⊥AC,這與條件△ABC是斜三角形矛盾,故點(diǎn)A'不可能是△BCD的垂心解析：分析：本