離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析

1第1章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析2本章主要學(xué)習(xí)時(shí)域離散信號(hào)的表示方法；典型信號(hào)、線性時(shí)不變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性;系統(tǒng)的輸入輸出描述法，線性常系數(shù)差分方程的解法;模擬信號(hào)數(shù)字處理方法。1.2

離散時(shí)間信號(hào)

離散時(shí)間信號(hào)是指一個(gè)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)的數(shù)字序列，它是整數(shù)自變量n的函數(shù)，表示為x(n)。離散時(shí)間信號(hào)也常用圖形描述。4一、常用的典型序列1．單位脈沖(采樣，沖激)序列（a）單位脈沖序列；（b）單位沖激信號(hào)3．矩形序列52．單位階躍序列u(n)矩形序列(N=4)64．實(shí)指數(shù)序列75．正弦型序列

式中ω是正弦序列數(shù)字域的頻率。它反映了序列變化快慢的速率，或相鄰兩個(gè)樣點(diǎn)的弧度數(shù)。

對(duì)連續(xù)信號(hào)中的正弦信號(hào)進(jìn)行采樣，可得正弦序列。模擬正弦信號(hào)：數(shù)字頻率ω與模擬角頻率Ω之間的關(guān)系為

ω：數(shù)字域頻率；Ω：模擬域頻率

T：采樣周期；fs：采樣頻率數(shù)字域頻率相當(dāng)于模擬域頻率對(duì)采樣頻率的歸一化值。8式中，ω為數(shù)字域頻率。若σ=0，可得96．復(fù)指數(shù)序列歐拉公式復(fù)正弦序列

如果對(duì)所有n存在一個(gè)最小整數(shù)N，滿足則稱x(n)為周期序列，記，最小周期為N。例：因此，x(n)是周期為8的周期序列。107.周期序列

要使x(n+N)=x(n)，即N，k為整數(shù)，且k的取值保證N是最小的正整數(shù)。11下面討論一般正弦序列的周期性

（1）當(dāng)為整數(shù)時(shí)，取k=1，x(n)即是周期為的周期序列。

（2）當(dāng)為有理數(shù)時(shí)（P、Q為互素的整數(shù)），則正弦序列是以P為周期的周期序列。

（3）當(dāng)為無理數(shù)時(shí)，任何整數(shù)k

都不能使N為正整數(shù)，因此，此時(shí)的正弦序列不是周期序列。分三種情況討論

（1）當(dāng)為整數(shù)時(shí)，取k=1，x(n)即是周期為的周期序列。

（2）當(dāng)為有理數(shù)時(shí)（P、Q為互素的整數(shù)），則正弦序列是以P為周期的周期序列。

（3）當(dāng)為無理數(shù)時(shí)，任何整數(shù)k

都不能使N為正整數(shù)，因此，此時(shí)的正弦序列不是周期序列。

（1）當(dāng)為整數(shù)時(shí)，取k=1，x(n)即是周期為的周期序列。

（2）當(dāng)為有理數(shù)時(shí)（P、Q為互素的整數(shù)），則正弦序列是以P為周期的周期序列。

（3）當(dāng)為無理數(shù)時(shí)，任何整數(shù)k

都不能使N為正整數(shù)，因此，此時(shí)的正弦序列不是周期序列。例1-2判斷下列函數(shù)的周期性，并畫出相應(yīng)的波形。

①②③14二、序列運(yùn)算1.乘法和加法152．移位及翻轉(zhuǎn)

表示序列右移（延時(shí)）；表示序列左移（超前）。是以n=0的縱軸為對(duì)稱軸左右翻轉(zhuǎn)得到。序列的移位圖序列的翻轉(zhuǎn)

163.尺度變換

表示序列每m點(diǎn)(或每隔m-1點(diǎn))取一點(diǎn)，稱為序列的壓縮或抽取。表示把原序列兩相鄰值之間插入零值，稱為序列的伸展或內(nèi)插零值。

任意序列可表示成單位脈沖序列的移位加權(quán)和。即例如三、任意序列的單位脈沖序列表示181.3離散時(shí)間系統(tǒng)

系統(tǒng)——將輸入序列x(n)變換成輸出序列y(n)的一種運(yùn)算，以T[]表示，則一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)可用下圖來表示記為y(n)=T[x(n)]

T[]y(n)x(n)191.LinearSystems

線性系統(tǒng)滿足疊加性和均勻性。

設(shè)T[x1(n)]=y1(n)，T[x2(n)]=y2(n)

如果T[ax1(n)+bx2(n)]=T[ax1(n)]+T[bx2(n)]

=aT[x1(n)]+bT[x2(n)]=ay1(n)+by2(n)成立，則此系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，否則為非線性系統(tǒng)。20

例1-3：判別系統(tǒng)y(n)=T[x(n)]=ax(n)+b是否為線性系統(tǒng)？

解:設(shè)T[x1(n)]=ax1(n)+bT[x2(n)]=ax2(n)+b

因?yàn)門[cx1(n)+dx2(n)]=a[cx1(n)+dx2(n)]+b而

cy1(n)+dy2(n)=cax1(n)+dax2(n)+b(c+d)≠T[cx1(n)+dx2(n)]故此系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)z(n)x(n)y(n)y0(n)增量線性系統(tǒng)

212.Time-InvariantSystems

系統(tǒng)的響應(yīng)與輸入信號(hào)施加于系統(tǒng)的時(shí)刻無關(guān)?；蛘哒f，系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間變化，即不管輸入信號(hào)作用的時(shí)間先后，輸出信號(hào)的形狀均相同，僅是出現(xiàn)的時(shí)間不同。

設(shè)y(n)=T[x(n)]，則y(n-k)=T[x(n-k)]成立22系統(tǒng)時(shí)不變說明的示意圖23

例1-5判別y(n)=nx(n)所代表的系統(tǒng)是否是時(shí)不變系統(tǒng)。解：因?yàn)橐虼嗽撓到y(tǒng)不是時(shí)不變系統(tǒng)。3.線性時(shí)不變系統(tǒng)

同時(shí)具有線性和時(shí)不變性的離散時(shí)間系統(tǒng)稱為線性時(shí)不變系統(tǒng)。（1）輸入與輸出之間的關(guān)系

輸入為單位脈沖序列時(shí)系統(tǒng)的輸出稱為單位脈沖響應(yīng)。

由h(n)可以確定任意輸入時(shí)的系統(tǒng)輸出，從而推出線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)一個(gè)非常重要的描述關(guān)系式。T[·]25對(duì)LTI系統(tǒng)，討論對(duì)任意輸入的系統(tǒng)輸出任意輸入序列：系統(tǒng)輸出：T[·]

任意序列都可以表示成單位脈沖序列的移位加權(quán)和

——離散卷積或線性卷積26線性時(shí)不變系統(tǒng)卷積運(yùn)算有明確的物理意義，就是在一般意義上描述了線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì)輸入序列的作用或處理作用。

一個(gè)LTI系統(tǒng)可以用單位脈沖響應(yīng)h(n)來表征，任意輸入的系統(tǒng)輸出等于輸入序列和該系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h(n)的卷積。

27（2）線性卷積的計(jì)算計(jì)算它們的卷積的步驟如下：（1）換元：x(m)和h(m)

（2）翻轉(zhuǎn)（折疊）：先在啞變量坐標(biāo)軸m上畫出x(m)和h(m)，將h(m)以縱坐標(biāo)為對(duì)稱軸折疊成h(-m)。

（3）移位：將h(-m)移位n，得h(n-m)。當(dāng)m為正數(shù)時(shí)，右移m；當(dāng)m為負(fù)數(shù)時(shí)，左移m。

（4）相乘：將h(n-m)和x(m)的對(duì)應(yīng)取樣值相乘。

（5）相加：把所有的乘積累加起來，即得y(n)。例1-6

設(shè)x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。解：采用圖解法。

例1-7設(shè)x(n)=3δ(n)+2δ(n-1)+δ(n-2)，

h(n)=2δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)，求y(n)=x(n)*h(n)。

解：采用列表法。

n=?3211126112711271123112130在Matlab中，卷積可通過調(diào)用函數(shù)y=conv(x,h)來實(shí)現(xiàn)。卷積的性質(zhì)：

1）兩個(gè)長(zhǎng)度分別為N和M的序列，線性卷積后的序列長(zhǎng)度為N+M-1。證明：設(shè)x1(n)是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列（0≤n≤N-1），x2(n)是長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列（0≤n≤M-1）。

x1(m)的非零區(qū)間為0≤m≤N-1，x2(n-m)的非零區(qū)間為0≤n-m≤M-1，兩個(gè)不等式相加有0≤n≤N+M-2，所以，y(n)是一個(gè)長(zhǎng)度為N+M-1的有限長(zhǎng)序列。312）線性卷積服從交換律、結(jié)合律和分配律324.因果系統(tǒng)

如果系統(tǒng)n0時(shí)刻的輸出，只取決于n0時(shí)刻以及n0時(shí)刻以前的輸入序列，而和n0時(shí)刻以后的輸入序列無關(guān)，則稱為因果系統(tǒng)。

在數(shù)學(xué)上因果系統(tǒng)滿足方程：y(n)=f[x(n)，x(n-1)，x(n-2)，……]

一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)為因果系統(tǒng)的充分必要條件是:

因果系統(tǒng)的因果性是指系統(tǒng)物理上的可實(shí)現(xiàn)性。33非因果系統(tǒng)的延時(shí)實(shí)現(xiàn)345.穩(wěn)定系統(tǒng)

穩(wěn)定系統(tǒng)是指有界輸入產(chǎn)生有界輸出的系統(tǒng)。即如果|x(n)|≤M（M為正常數(shù)），有|y(n)|<+∞，則該系統(tǒng)被稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是其單位取樣響應(yīng)h(n)絕對(duì)可和，即35例1-8

設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)h(n)=anu(n)，式中a是實(shí)常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。

解：（1）因果性

由于n<0時(shí)，h(n)=0，系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。（2）穩(wěn)定性因此系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是:

36例1-9

判別系統(tǒng)y(n)=T[x(n)]=x(n)cos(ωn+φ)的因果穩(wěn)定性。

解：（1）因果性

因?yàn)閥(n)=T[x(n)]=x(n)cos(ωn+φ)只與x(n)的當(dāng)前值有關(guān)，而與x(n+1)，x(n+2)……等未來值無關(guān)，故系統(tǒng)是因果的。

（2）穩(wěn)定性

當(dāng)|x(n)|<M時(shí)有T[x(n)]|<M|cos(ωn+φ)|，由于|cos(ωn+φ)|≤1是有界的，所以y(n)=T[x(n)]也是有界的，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。37

系統(tǒng)的線性、時(shí)不變性、因果性和穩(wěn)定性是系統(tǒng)的四個(gè)互不相關(guān)的性質(zhì)。381.4

離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域描述––––差分方程一、常系數(shù)線性差分方程的一般表達(dá)式或其中ak，br都是常數(shù)。39說明：

1）差分方程的階數(shù)是用方程y(n-k)項(xiàng)中的k取值最大與最小之差確定的。

2）

該式說明，系統(tǒng)在某時(shí)刻n的輸出值y(n)不僅與該時(shí)刻的輸入x(n)、過去時(shí)刻的輸入x(n-1)，x(n-2)等有關(guān)，還與該時(shí)刻以前的輸出值y(n-1)，y(n-2)等有關(guān)。

40差分方程的特點(diǎn)

采用差分方程描述系統(tǒng)簡(jiǎn)便、直觀、易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)

容易得到系統(tǒng)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)

便于求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)但差分方程不能直接反應(yīng)系統(tǒng)的頻率特性和穩(wěn)定性等。實(shí)際上用來描述系統(tǒng)多數(shù)還是由系統(tǒng)函數(shù)。41二、差分方程的求解

常系數(shù)差分方程的求解方法有迭代法，時(shí)域經(jīng)典法，卷積法和變換域法。

時(shí)域經(jīng)典法類似于解微分方程，過程繁瑣，應(yīng)用很少，但物理概念比較清楚。迭代法(遞推法)比較簡(jiǎn)單，且適合于計(jì)算機(jī)求解，但不能直接給出一個(gè)完整的解析式作為解答（也稱閉合形式解答）。卷積法適用于系統(tǒng)起始狀態(tài)為零時(shí)的求解。變換域方法類似于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的拉普拉斯變換，這里采用Z變換法來求解差分方程，這在實(shí)際使用上是最簡(jiǎn)單有效的方法。

例1-10：若系統(tǒng)用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，輸入序列x(n)=δ(n)，求初始條件分別為h(n)=0，n<0和h(n)=0，n>0時(shí)的單位脈沖響應(yīng)h(n)。

解：（1）令x(n)=δ(n)，根據(jù)初始條件可遞推如下

y(0)=ay(-1)+δ(0)=1

y(1)=ay(0)+δ(1)=a

y(2)=ay(1)+δ(2)=a2……

y(n)=ay(n-1)=an因此，h(n)=y(n)=anu(n)43

例1-10：若系統(tǒng)用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，輸入序列x(n)=δ(n)，求初始條件分別為h(n)=0，n<0和h(n)=0，n>0時(shí)的單位脈沖響應(yīng)h(n)。

解：將差分方程改寫成y(n-1)=a-1[y(n)-x(n)]根據(jù)初始條件可遞推如下

y(0)=a-1[y(1)-δ(1)]=0

y(-1)=a-1[y(0)-δ(0)]=-a-1……

y(n)=ay(n-1)=-an因此，h(n)=y(n)=-anu(-n-1)44以上結(jié)果說明：（1）一個(gè)常系數(shù)線性差分方程不一定代表一個(gè)因果系統(tǒng)（2）一個(gè)常系數(shù)線性差分方程，如果沒有附加的起始條

件，不能唯一的確定一個(gè)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，并且

只有當(dāng)起始條件選擇合適時(shí)，才相當(dāng)于一個(gè)線性時(shí)不

變系統(tǒng)。

在以下的討論中，除非另外聲明，我們都假設(shè)常系數(shù)線性差分方程所表示的系統(tǒng)都是指線性時(shí)不變系統(tǒng)，并且多數(shù)是指因果系統(tǒng)。三、Matlab實(shí)現(xiàn)y=filter(b,a,x)例1-11解：MATLAB程序a=[1,-1,0.9];b=[1];x=impseq(0,-20,120);%輸入n=[-20:120];h=filter(b,a,x);%系統(tǒng)輸出stem(n,h,'.');1.5模擬信號(hào)數(shù)字處理方法（采樣）前置預(yù)濾波器A/D變換器數(shù)字信號(hào)處理器D/A變換器模擬濾波器模擬xa(t)PrFADCDSPDACPoF模擬ya(t)采樣采樣恢復(fù)

所謂“采樣”，就是利用采樣脈沖序列從連續(xù)時(shí)間信號(hào)中抽取一系列的離散樣值，由此得到的離散時(shí)間信號(hào)通常稱為采樣信號(hào)，以表示。采樣的原理框圖47一、采樣的基本概念采樣器連續(xù)信號(hào)采樣脈沖采樣信號(hào)48

（a）實(shí)際采樣（b）理想采樣圖1-22兩種采樣方式49二、理想采樣及其頻譜

1.時(shí)域分析數(shù)學(xué)模型采樣脈沖：理想采樣輸出:502.頻域分析

映射時(shí)域相乘頻域卷積（模擬系統(tǒng)）

1)沖激函數(shù)序列δT(t)的頻譜考慮到周期信號(hào)可以用傅里葉級(jí)數(shù)展開，因此，沖激函數(shù)序列δT(t)可用傅里葉級(jí)數(shù)表示為:其中51因此，上式表明沖激函數(shù)序列具有梳狀譜的結(jié)構(gòu)，即它的各次諧波都具有相等的幅度1/T。因?yàn)?，所以幅度譜頻譜522）理想采樣信號(hào)的頻譜上式表明：

（1）頻譜產(chǎn)生周期延拓。即采樣信號(hào)的頻譜是頻率的周期函數(shù)，其周期為Ωs。

（2）頻譜的幅度是Xa(jΩ)的1/T倍。53三、時(shí)域采樣定理

如果信號(hào)xa(t)是帶限信號(hào)，且最高頻率不超過Ωs/2，即那么采樣頻譜中，基帶頻譜以及各次諧波頻譜彼此是不重疊的。

用一個(gè)帶寬為Ωs/2的理想低通濾波器，可以不失真的還原出原來的連續(xù)信號(hào)。

但是，如果信號(hào)最高頻譜超過Ωs/2，那么在采樣頻譜中，各次調(diào)制頻譜就會(huì)相互交疊起來，這就是頻譜混疊現(xiàn)象。其中，Ωs/2或fs/2，稱作折疊頻率。54圖1-24采樣信號(hào)的頻譜圖55圖1-26單音（余弦）信號(hào)采樣中的頻譜混疊情況示意圖

56

設(shè)

√沒有混疊時(shí)，恢復(fù)出的輸出為

√有混疊時(shí)，則是結(jié)論：為使采樣后能不失真的還原出原信號(hào)，采樣頻率必須大于兩倍信號(hào)最高頻率，這就是奈奎斯特采樣定理。57許多人在在看電影或電視時(shí)，汽車輪子細(xì)節(jié)會(huì)模糊看不清楚，這就是混疊的直接結(jié)果。也就是拍攝時(shí)掃描的速度（幀頻）不夠快，沒有正確記錄輪子的旋轉(zhuǎn)情況。

作業(yè)：設(shè)一般電影拍攝的幀頻為16張/秒，對(duì)直徑為0.6m的普通輪子，在此記錄速度下，為了清楚的記錄輪子的旋轉(zhuǎn)情況，車速不能大于km/h？應(yīng)用舉例59關(guān)于帶通信號(hào)的采樣

對(duì)于帶通信號(hào)，信號(hào)的頻率范圍為f1<f<f2，而不是0<f<f1，則沒有必要以兩倍的最高頻率或2f2

進(jìn)行采樣。此時(shí)，最小采樣極限取決于信號(hào)的帶寬f2－f1

以及帶寬在頻譜中的位置，取樣頻率至少必須是帶寬的兩倍，但可以更高些，關(guān)鍵是要保證沒有頻譜混疊。

這種對(duì)帶限信號(hào)的取樣并未遵循奈奎斯特條件，稱為欠采樣（Undersampling）。

例如，一個(gè)GSM蜂窩電話在900MHZ頻段上占30kHz帶寬，通過欠取樣，只用比60kHz略高一點(diǎn)的采樣頻率，而非1.8GHz，就可以恢復(fù)信號(hào)。60

相對(duì)應(yīng)的有過采樣（Oversampling）——用遠(yuǎn)高于奈奎斯特取樣頻率的頻率去取樣，降低對(duì)抗混疊濾波器的要求。經(jīng)過粗略的模擬濾波和取樣后，使離散數(shù)字信號(hào)經(jīng)過一個(gè)具有良好滾降特性的數(shù)字抗混疊濾波器，使之在f1Hz處銳利截止，然后再通過甩點(diǎn)（Decimation）降低碼率。

過采樣的倍數(shù)有4、8、16、32倍，甚至高達(dá)256。

例如高質(zhì)量的聲音帶寬為20kHz，但現(xiàn)在的許多ADC變換器的采樣頻率為256kHz，甚至更高，提高ADC

轉(zhuǎn)換后的信噪比。61四、采樣的恢復(fù)（內(nèi)插）

1.頻域分析622.時(shí)域分析