高中數(shù)學(xué)蘇教版4曲線的極坐標(biāo)方程單元測試 高質(zhì)作品

學(xué)業(yè)分層測評(六)(建議用時：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]1．過橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的左焦點(diǎn)引一條直線與橢圓自上而下交于A、B兩點(diǎn)，若FA＝2FB，求直線l的斜率．【解】橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1中，a＝5，b＝3，c＝4，所以e＝eq\f(4,5)，p＝eq\f(b2,c)＝eq\f(9,4).取橢圓的左焦點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正方向為極軸正方向，建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝eq\f(\f(4,5)×\f(9,4),1－\f(4,5)cosθ)＝eq\f(9,5－4cosθ).設(shè)A(ρ1，θ)、B(ρ2，π＋θ)．由題設(shè)得ρ1＝2ρ2.于是eq\f(9,5－4cosθ)＝2×eq\f(9,5＋4cosθ)，解得cosθ＝eq\f(5,12)，所以tanθ＝eq\f(\r(119),5)，即直線l的斜率為eq\f(\r(119),5).2．已知橢圓方程為ρ＝eq\f(16,5－3cosθ)，過左焦點(diǎn)引弦AB，已知AB＝8，求△AOB的面積．【解】如圖，設(shè)A(ρ1，θ)、B(ρ2，θ＋π)．所以ρ1＋ρ2＝eq\f(16,5－3cosθ)＋eq\f(16,5＋3cosθ)＝eq\f(160,25－9cos2θ).因為AB＝8，所以eq\f(160,25－9cos2θ)＝8，所以cos2θ＝eq\f(5,9)，sinθ＝eq\f(2,3).由橢圓方程知e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，eq\f(b2,c)＝eq\f(16,3)，則c＝3.S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝eq\f(1,2)OF·ρ1·sinθ＋eq\f(1,2)OF·ρ2·sinθ＝8.3．如圖4-2-4，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的弦AB與x軸斜交，M為AB的中點(diǎn)，MN⊥AB，并交對稱軸于N.圖4-2-4求證：MN2＝AF·BF.【證明】取F為極點(diǎn)，F(xiàn)x為極軸建立極坐標(biāo)系，則拋物線的極坐標(biāo)方程為ρ＝eq\f(p,1－cosθ).設(shè)A(ρ1，θ)、B(ρ2，θ＋π)，則AF·BF＝eq\f(p,1－cosθ)·eq\f(p,1＋cosθ)＝eq\f(p2,sin2θ).不妨設(shè)0＜θ＜eq\f(π,2)，則MF＝eq\f(1,2)(ρ1－ρ2)＝eq\f(1,2)(eq\f(p,1－cosθ)－eq\f(p,1＋cosθ))＝eq\f(pcosθ,sin2θ).所以MN＝MF·tanθ＝eq\f(pcosθ,sin2θ)tanθ＝eq\f(p,sinθ).所以MN2＝AF·BF.4．如圖4-2-5，已知圓F：x2＋y2－4x＝0，拋物線G的頂點(diǎn)是坐標(biāo)系的原點(diǎn)，焦點(diǎn)是已知圓的圓心F，過圓心且傾斜角為θ的直線l與拋物線G、圓F從上至下順次交于A、B、C、D四點(diǎn)．圖4-2-5(1)當(dāng)直線的斜率為2時，求AB＋CD；(2)當(dāng)θ為何值時，AB＋CD有最小值？并求這個最小值．【解】圓F：x2＋y2－4x＝0的圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑為2，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.以圓心F為極點(diǎn)，F(xiàn)x為極軸建立極坐標(biāo)系．則圓F的坐標(biāo)方程為ρ＝2，拋物線G的極坐標(biāo)方程為ρ＝eq\f(4,1－cosθ).設(shè)A(ρ1，θ)、D(ρ2，θ＋π)，所以AB＝AF－2，CD＝FD－2，即AB＋CD＝AF＋FD－4＝ρ1＋ρ2－4＝eq\f(4,1－cosθ)＋eq\f(4,1－cosθ＋π)－4＝eq\f(4,1－cosθ)＋eq\f(4,1＋cosθ)－4＝eq\f(8,1－cos2θ)－4＝eq\f(8,sin2θ)－4.(1)由題意，得tanθ＝2，所以sin2θ＝eq\f(4,5).所以AB＋CD＝eq\f(8,sin2θ)－4＝6.(2)AB＋CD＝eq\f(8,sin2θ)－4，當(dāng)sin2θ＝1，即θ＝eq\f(π,2)時△ABF2的面積取到最小值4.5．已知拋物線ρ＝eq\f(p,1－cosθ)，過焦點(diǎn)作互相垂直的極徑FA、FB，求△FAB的面積的最小值．【解】設(shè)A(ρ1，θ)、Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ2，θ＋\f(π,2)))，則ρ1＝eq\f(p,1－cosθ)，ρ2＝eq\f(p,1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2))))＝eq\f(p,1＋sinθ).△FAB的面積為S＝eq\f(1,2)ρ1ρ2＝eq\f(1,2)·eq\f(p,1－cosθ)·eq\f(p,1＋sinθ)＝eq\f(p2,21－cosθ1＋sinθ)＝eq\f(p2,21－cosθ＋sinθ－sinθcosθ).設(shè)t＝sinθ－cosθ，則sinθcosθ＝eq\f(1－t2,2).所以1－cosθ＋sinθ－sinθcosθ＝1＋t－eq\f(1－t2,2)＝eq\f(1,2)(t＋1)2.又t＝sinθ－cosθ＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))∈－eq\r(2)，eq\r(2)]，所以當(dāng)t＝eq\r(2)，即θ＝eq\f(3π,4)時，△FAB的面積S有最小值eq\f(p2,1＋\r(2)2).6．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，點(diǎn)P為橢圓短軸的一個頂點(diǎn)，且∠F1PF2＝90°.(1)求橢圓C的離心率；(2)若直線l過左焦點(diǎn)F1與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且△ABF2的面積的最大值為12，求橢圓C的方程．【導(dǎo)學(xué)號：98990017】【解】(1)因為∠F1PF2＝90°，所以PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝F1Feq\o\al(2,2)，即a2＋a2＝4c2.所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).(2)以橢圓的左焦點(diǎn)F1為極點(diǎn)，F(xiàn)x為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)橢圓的方程為ρ＝eq\f(\f(\r(2),2)p,1－\f(\r(2),2)cosθ)＝eq\f(p,\r(2)－cosθ).設(shè)A(ρ1，θ)、B(ρ2，θ＋π)，則AB＝AF＋FB＝ρ1＋ρ2＝eq\f(p,\r(2)－cosθ)＋eq\f(p,\r(2)－cosθ＋π)＝eq\f(p,\r(2)－cosθ)＋eq\f(p,\r(2)＋cosθ)＝eq\f(2\r(2)p,2－cos2θ).因為F1F2＝2c，所以△ABF2的邊AB上的高h(yuǎn)為2c|sinθ|，△ABF2的面積S＝eq\f(1,2)·AB·h＝eq\f(2\r(2)pc|sinθ|,2－cos2θ)＝eq\f(2\r(2)pc|sinθ|,1＋sin2θ)＝eq\f(2\r(2)pc,\f(1,|sinθ|)＋|sinθ|).因為eq\f(1,|sinθ|)＋|sinθ|≥2，所以當(dāng)|sinθ|＝1，即θ＝eq\f(π,2)或θ＝eq\f(3π,2)時S取到最大值．所以當(dāng)l過左焦點(diǎn)且垂直于極軸時，△ABF2的面積取到最大值eq\r(2)pc，所以eq\r(2)pc＝12，即b2＝6eq\r(2).故a2－c2＝6eq\r(2).又eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以a2＝12eq\r(2)，c2＝6eq\r(2).所求橢圓的方程為eq\f(x2,12\r(2))＋eq\f(y2,6\r(2))＝1.7．已知橢圓eq\f(x2,24)＋eq\f(y2,16)＝1，直線l：eq\f(x,12)＋eq\f(y,8)＝1，P是l上一點(diǎn)，射線OP交橢圓于R，又點(diǎn)Q在OP上，且滿足|OQ|·|OP|＝|OR|2，當(dāng)點(diǎn)P在l上移動時，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．【解】如圖，以O(shè)為極點(diǎn)，Ox為極軸，建立極坐標(biāo)系，則：橢圓的極坐標(biāo)方程為ρ2＝eq\f(48,2cos2θ＋3sin2θ)，直線l的極坐標(biāo)方程ρ＝eq\f(24,2cosθ＋3sinθ).由于點(diǎn)Q、R、P在同一射線上，可設(shè)點(diǎn)Q、R、P的極坐標(biāo)分別為(ρ，θ)、(ρ1，θ)、(ρ2，θ)，依題意，得ρeq\o\al(2,1)＝eq\f(48,2cos2θ＋3sin2θ)，①ρ2＝eq\f(24,2cosθ＋3sinθ).②由|OQ|·|OP|＝|OR|2得ρ·ρ2＝ρeq\o\al(2,1)(ρ≠0)．將①②代入，得ρ·eq\f(24,2cosθ＋3sinθ)＝eq\f(48,2cos2θ＋3sin2θ)，則ρ＝eq\f(4cosθ＋6sinθ,2cos2θ＋3sin2θ)(ρ≠0)．這就是點(diǎn)Q的軌跡的極坐標(biāo)方程，化為直角坐標(biāo)方程，得2x2＋3y2＝4x＋6y，即eq\f(x－12,\f(5,2))＋eq\f(y－12,\f(5,3))＝1(x、y不同時為0)．∴點(diǎn)Q的軌跡為以(1,1)為中心，長軸平行于x軸，長、短半軸長分別為eq\f(\r(10),2)，eq\f(\r(15),3)的橢圓(去掉坐標(biāo)原點(diǎn))．能力提升]8．建立極坐標(biāo)系證明：已知半圓直徑|AB|＝2r(r＞0)，半圓外一條直線l與AB所在直線垂直相交于點(diǎn)T，并且|AT|＝2a(2a＜eq\f(r,2))．若半圓上相異兩點(diǎn)M，N到l的距離|MP|、|NQ|滿足|MP|：|MA|＝|NQ|：|NA|＝1，則|MA|＋|NA|＝|AB|.【證明】法一以A為極點(diǎn)，射線AB為極軸建立直角坐標(biāo)系，則半圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝2rcosθ，設(shè)M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)，則ρ1＝2rcosθ1，ρ2＝2rcosθ2，又|MP|＝2a＋ρ1cosθ1＝2a＋2rcos2θ1，|NQ|＝2a＋ρ2cosθ2＝2a＋2rcos2θ∴|MP|＝2a＋2rcos2θ1＝2rcosθ1，|NQ|＝2a＋2rcos2θ2＝2rcosθ2∴cosθ1，cosθ2是方程rcos2θ－rcosθ＋a＝0的兩個根，由韋達(dá)定理：cosθ1＋cosθ2＝1，|MA|＋|NA|＝2rcosθ1＋2rcosθ2＝2r＝|AB|.法二以A為極點(diǎn)，射線AB為極軸建立直角坐標(biāo)系，則半