高中數(shù)學(xué)人教A版第一章集合與函數(shù)概念函數(shù)及其表示（全國一等獎）

5．函數(shù)的表示方法曾勁松學(xué)習(xí)目標(biāo)1．會用解析法、圖象法、列表法表示函數(shù)，了解這三種表示方法的特點(diǎn)．2．了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用．3．了解映射的概念，理解函數(shù)是一類特殊的映射．一、夯實(shí)基礎(chǔ)基礎(chǔ)梳理1．函數(shù)的表示方法解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．列表法：通過列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．2．分段函數(shù)如果函數(shù)，，根據(jù)自變量在中不同的取值范圍，有著__________，則稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù)．3．映射設(shè)是兩個__________集合，如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)和紗，使對于集合中的任意一個元素，在集合中都有__________的元素與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)：為從集合到集合的一個映射．4．題型分析（1）函數(shù)圖象的作法及應(yīng)用；（2）求函數(shù)的解析式；（3）函數(shù)的三種表示；（4）分段函數(shù)的求值、圖象；（5）映射的概念．基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．等腰三角形的周長是20，底邊長是一腰長的函數(shù)，則（）A． B．C． D．2．已知函數(shù)，分別由下表給出：則滿足的的值__________．1231311231313．如圖所示，液體從一圓錐形漏斗一圓柱形桶中，開始時，漏斗盛滿液體，經(jīng)過3分鐘漏完，已知圓柱中液面上升的速度是一個常量，是圓錐形漏斗中液面下落的距離，則與下落時間（分）的函數(shù)關(guān)系表示的圖象只可能是（）4．右圖中的圖象所表示的函數(shù)的解析式為（）．A．，B．，C．，D．，5．車管站在某個星期日保管的自行車和電動車共500輛次，其中電動車保管費(fèi)是每輛一次元，自行車保管費(fèi)是每次一輛元．（1）若設(shè)自行車停放的輛次數(shù)為，總的保管費(fèi)收入為元，試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）若估計(jì)前來停放的3500輛次自行車中，電動車的輛次不小于，但不大于，試求該保管站這個星期日收入保管費(fèi)總數(shù)的范圍．二、學(xué)習(xí)指引自主探究1．根據(jù)函數(shù)定義，下列給出的從到的對應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系？（1）（2）五個學(xué)生的身高與其體重之間的關(guān)系如下表：1501501601651705055565560（3）某單位五位職工（用編號表示）與他們月工資收入（元）之間的關(guān)系如下表：1234535004550560056006000（4）某水文觀測站測得某河流在某天24小時中，水深與時間（小時）之間的關(guān)系如下圖所示：2．函數(shù)的三種基本表示方法，它們各自有什么特點(diǎn)？表示法優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)解析法列表法圖象法3．（1）“每個函數(shù)都有解析式，研究函數(shù)就是研究函數(shù)解析法”這種說法對嗎？試舉例說明．（2）每個能用解析法表示的函數(shù)都可以只用一個數(shù)學(xué)式子來表示嗎？4．（1）集合，，從到的映射滿足，那么這樣的映射有多少個？（2）下列對應(yīng)關(guān)系，是否為從到的映射？如果是從到的映射，那么能否建立從到的函數(shù)？①，，；②，，，其中是的小數(shù)部分．回答上題，并體會映射與函數(shù)的關(guān)系．5．動手實(shí)驗(yàn)：研究函數(shù)與（其中是不為0的常數(shù)）．（1）請你取一個的值，將對應(yīng)的函數(shù)圖象畫出來（如下圖）．你也可以利用軟件《幾何畫板》畫圖．（2）研究取不同的值時，函數(shù)與圖象的特點(diǎn)，將函數(shù)表示為分段函數(shù)的形式，并寫出其值域．（3）猜想圖象會有什么特點(diǎn)？（4）觀察發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱：函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱．（5）的圖象是一條折線，共有個折點(diǎn)，讓每一個絕對值等于零，我們就可以得到這引起折點(diǎn)的橫坐標(biāo)．案例分析1．某種筆記本的單價是5元，買個筆記本需要元，試用三種表示法表示函數(shù)．【解析】這個函數(shù)的定義域是，用解析法可將函數(shù)表示為：．用列表法可將函數(shù)表示為：筆記本數(shù)12345錢數(shù)510152025用圖象可將函數(shù)表示為（如右圖）：注：本例的設(shè)問，此處“”有三種含義，它可以是解析表達(dá)示，可以是圖象，也可以是對應(yīng)值表，本題的定義域是有限集，且僅有5個元素．2．下表是某高校高一（1）班三位同學(xué)在高一學(xué)年度幾次數(shù)學(xué)測試的成績及班級平均分表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次王偉988791928895張城907688758680趙磊686573727582班平均分請你對這三位同學(xué)在高一學(xué)年度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況做一個分析．【解析】把“成績”看成“測試序號”的函數(shù)，用圖象法表示函數(shù)，如圖所示．由圖可看到：王偉同學(xué)的數(shù)學(xué)成績始終高于班級平均分，學(xué)習(xí)情況比較穩(wěn)定而且成績優(yōu)秀；張城同學(xué)的數(shù)學(xué)成績不穩(wěn)定，總是在班級平均分水平上下波動，而且波動幅度較大：趙磊同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績呈上升趨勢，表明他的數(shù)學(xué)成績和穩(wěn)步提高．說明：本題主要考查根據(jù)實(shí)際情境需要選擇恰當(dāng)解決實(shí)際問題的能力．為了研究學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，將離散的點(diǎn)用虛線連接，這樣便于研究成績的變化特點(diǎn)．通過本題可見，圖象法比列表法和解析法更能直觀反映函數(shù)值的變化趨勢．3．水池有2個進(jìn)水口，1個出水口，每個水口進(jìn)出水的速度如圖甲、乙所示．某天0點(diǎn)到6點(diǎn)，該水池的蓄水量如圖丙所示．給出以下三個論斷：①0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水；②3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水；③4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水不出水．其中一定正確的論斷是（）．A．① B．①② C．①③ D．①②③【答案】A．【解析】由圖甲可看出：如果進(jìn)水口與出水口同時打開，每個進(jìn)水口的速度為出水口速度的一半，即；由圖丙可看出在0點(diǎn)到3點(diǎn)之間蓄水量以速度2勻速增加，所以在此時間段內(nèi)一定是兩個進(jìn)水口均可打開，出水口關(guān)閉，故①正確．由圖丙可看出：在3點(diǎn)到4點(diǎn)之間蓄水量以速度1勻速減少，所以在此時間段內(nèi)一定是一個進(jìn)水口打開，出水口打開，故②正確．由圖丙可看出：在4點(diǎn)到6點(diǎn)之間蓄水量不變，所以在此時間段內(nèi)一定是兩個進(jìn)水口打開，出水口打開，或者兩個進(jìn)水口關(guān)閉，出水口關(guān)閉，故③不正確．綜上所述論斷僅有①正確．4．如圖所示，在邊長為2的正方形的邊上有一個動點(diǎn)，從點(diǎn)出發(fā)沿折線移動一周后，回到點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)移動的路程為，的面積為（可取0）．（1）求函數(shù)的解析式；（2）畫出函數(shù)的圖象；（3）求函數(shù)的值域．【解析】（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時，即，則；當(dāng)點(diǎn)在線段上時，即，則；當(dāng)點(diǎn)在線段上時，即，則；當(dāng)點(diǎn)在線段上時，即，則．綜上所述：函數(shù)的解析式為（2）函數(shù)的圖象如圖所示：（3）由函數(shù)圖象可知，函數(shù)的值域是．三、能力提升1．（1）畫出=的圖象，①若，試比較與的大小．②是否存在，使得？（2）畫出的圖象，①若，試比較與的大小；②利用圖象解不等式；③若不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2．如圖，是邊長為2的正三角形，記位于直線左側(cè)的圖形的面積為．（1）試求函數(shù)的解析式；（2）畫出函數(shù)的圖象．3．已知函數(shù)且，，試研究關(guān)于的方程實(shí)數(shù)根個數(shù)．拓展遷移4．若函數(shù)則方程的解為__________．5．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，其值為正，時，其值為負(fù)，求的值及的表達(dá)式；（2）設(shè)，為何值時，函數(shù)的值恒為負(fù)值？挑戰(zhàn)極限6．對于任意的實(shí)數(shù)，規(guī)定取，，三個值中的最小值．（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并畫出此函數(shù)的圖象；（2）為何值時，最大？最大值是多少？（3）由圖象可知：當(dāng)時，最大，其最大值為．課程小結(jié)1．函數(shù)有三種基本表示方法：解析法、列表法、圖象法．2．描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象應(yīng)注意：（1）先確定函數(shù)的定義域與值域（甚至可以初步考慮函數(shù)圖象所在的象限）；（2）列表時，注意函數(shù)值隨自變量的變化規(guī)律；（3）連線要用光滑的曲線（離散的點(diǎn)則不要連）．3．要能利用函數(shù)圖象，直觀地了解函數(shù)的某些性質(zhì)，如值域，函數(shù)值大小關(guān)系，方程的解，不等式的解集等．4．對于分段函數(shù)，要會分析它的定義域、值域、最值等，能根據(jù)函數(shù)值求相應(yīng)的自變量，并會畫出它的圖象，帶有絕對值符號的函數(shù)一般采用零點(diǎn)分段法（讓每一個絕對值等于零，解出相應(yīng)的）去絕對值符號，把函數(shù)變?yōu)榉侄魏瘮?shù)，再來分段畫出．5．會根據(jù)實(shí)際情境建立函數(shù)模型．想一想1．映射是函數(shù)嗎？2．分段函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，那么分段函數(shù)是由幾個函數(shù)構(gòu)成的嗎？3．是否所有函數(shù)都可以用解析法、列表法、圖象法三種形式表示？

5．函數(shù)的表示方法基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)2．分段函數(shù)：不同的對應(yīng)關(guān)系3．映射：非空，唯一確定．基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．．【解析】∵，∴，則，∴．由構(gòu)成三角形的條件（兩邊之和大于第三邊）可知，得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，所以?．．3．．4．．5．【解析】（1）由題意得．（2）若電動車的輛次不小于，但不大于，則，即，畫出函數(shù)的圖象，可得函數(shù)，的值域是，即收入在元至元之間．說明：本題主要考查函數(shù)的解析式和值域，以及應(yīng)用函數(shù)知識解決實(shí)際問題的能力．解函數(shù)應(yīng)用題的步驟是：①審清題意讀懂題；②恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)；③列出函數(shù)解析式，并指明定義域；④轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，并解決函數(shù)問題；⑤將數(shù)學(xué)問題的答案還原為實(shí)際答案．自主探究1．【解析】（1）（3）（4）是函數(shù)，（2）不是函數(shù)．2．【解析】這三種表示方法的特點(diǎn)如下：表示法優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)解析法簡明、全面概括了變量間的關(guān)系；容易求出任意一個自變量的值所對應(yīng)的函數(shù)值．不夠形象、直觀、具體，而且并不是所有的函數(shù)都能用解析式表示出來．列表法簡潔明了，函數(shù)的“輸入值”與“輸出值”一目了然．只能表示自變量取較少的有限值的對應(yīng)關(guān)系．圖象法直觀地反映函數(shù)值隨自變量的變化的趨勢．只能近似地求出自變量所對應(yīng)的函數(shù)值．3．【解析】（1）并不是每個函數(shù)都可以用解析法來表示，有的函數(shù)用解析法表示將會很煩瑣且沒有必要．如：任一自然數(shù)與其各位上的數(shù)字之和之間的關(guān)系，是一個函數(shù)關(guān)系，這個函數(shù)的作用就是計(jì)算任一自然數(shù)的各位上的數(shù)字之和，這個函數(shù)用解析法來表示就很不方便．又如把某單位全體職工編號，分別為，則職工的月工資與其編號之間能形成函數(shù)關(guān)系，這個函數(shù)關(guān)系用解析式表示也很不方便，而用列表法表示則非常好；又如把質(zhì)數(shù)按從小到大的方式排列，并依次編號為則質(zhì)數(shù)與其編號之間形成了一個函數(shù)關(guān)系，此函數(shù)關(guān)系到目前為止，還沒有人能找到解析表達(dá)式；又如某天某股票成交價格與時間之間也形成一個函數(shù)關(guān)系，我們可以用函數(shù)圖象來表示這種變化關(guān)系，但無法用解析式表示．綜上所述：我們可以通過解析式研究函數(shù)，也可以通過表格或圖象研究函數(shù)關(guān)系，研究函數(shù)就是研究函數(shù)解析法這種說法是錯誤的．（2）并不是每個能用解析法表示的函數(shù)都可以只用一個數(shù)學(xué)式子來表示．如圖所表示的函數(shù)，這個函數(shù)如果要用解析法來表示，就必須分成兩段，該函數(shù)為：通常，我們稱這種函數(shù)為分段函數(shù)，其特征是，在定義域的不同部分上，函數(shù)的解析式不同．但我們必須明確，分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是多個函數(shù)．4．【解析】（1）個．（2）①是，不能．②是，能．說明：認(rèn)真理解映射的概念，知道什么是一個映射．5．動手實(shí)驗(yàn)：【解析】（1）取，得或的圖象如下：（2）觀察發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱．（3）的圖象是一條折線，共有個折點(diǎn)，讓每一個絕對值等于零，我們就可以得到這些折點(diǎn)的橫坐標(biāo)．能力闖關(guān)1．【解析】（1）①．②．（2）．②或．兩函數(shù)圖象如下．③不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立等價于函數(shù)所有函數(shù)值都大于，這又等價于函數(shù)最小函數(shù)值都大于．由函數(shù)圖象可知最小函數(shù)值為，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．說明：本題解法中應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合思想，等價轉(zhuǎn)化思想，這些數(shù)學(xué)思想對于解決函數(shù)問題極為重要．2．【解析】（1）當(dāng)時，．當(dāng)時，．綜上，（2）畫出函數(shù)的圖象如右：3．【解析】有得①，由得②，由①②解之，則或解得或或，綜上知方程有三個實(shí)數(shù)根．注：本題也可以畫出函數(shù)圖象進(jìn)行判斷，關(guān)于的方程的實(shí)數(shù)根就是函數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)．因此本問題等價于觀察函數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)個數(shù)．拓展遷移4．或．【解析】或或