離散時間信號和系統(tǒng)的變換域分析第二章

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離散時間信號和系統(tǒng)的變換域分析本章主要內容：

1、z變換的定義及收斂域

2、z變換的反變換

3、z變換的基本性質和定理

4、離散信號的DTFT5、z變換與DTFT的關系

6、離散系統(tǒng)的z變換法描述§2.1z變換的定義及收斂域

信號和系統(tǒng)的分析方法有兩種：

——時域分析方法

——變換域分析方法連續(xù)時間信號與系統(tǒng)——LTFT離散時間信號與系統(tǒng)——ZTFT

一、ZT的定義

z是復變量，所在的復平面稱為z平面(z的實部為橫坐標，虛部為縱坐標)單邊Z變換單邊Z變換在大多數(shù)情況下其特性與雙邊z變換相同。可以看做因果序列的雙邊z變換。

二、ZT的收斂域對于任意給定序列x(n)，使其z變換X(z)收斂的所有z值的集合稱為X(z)的收斂域。

級數(shù)收斂的充要條件是滿足絕對可和1）有限長序列除0和∞兩點是否收斂與n1和n2取值情況有關外，整個z平面均收斂。如果n2≤0，則收斂域不包括∞點如果n1≥0，則收斂域不包括0點如果n1<0<n2，收斂域不包括0、∞點2）右邊序列上式中，第一項是有限長序列的Z變換，其收斂域為有限Z平面，第二項是Z的負冪級數(shù)，對于第二項，如果在|Z|=R上收斂，則所有|Z|>R上均收斂，設Rx-是收斂邊界，綜合第一項和第二項的收斂域可知：因果序列的z變換必在∞處收斂在∞處收斂的z變換，其序列必為因果序列（反證法)3）左邊序列上式中，第二項是有限長序列的Z變換，其收斂域為有限Z平面，第一項是Z的正冪級數(shù)，對于第一項，如果在|Z|=R上收斂，則所有|Z|<R上均收斂，設Rx-是收斂邊界，綜合第一項和第二項的收斂域可知：4）雙邊序列雙邊序列可以看做一個左邊序列和右邊序列之和。例1收斂域應是整個z的閉平面例2：求x(n)=RN(n)的z變換及其收斂域例3：求x(n)=anu(n)的變換及其收斂域一般地，右邊序列的收斂域是以最大極點模值為半徑的圓外，在無窮處是否收斂取決于x(n)在n<0時是否為0。例4：求x(n)=-anu(-n-1)的變換及其收斂域一般地，左邊序列的收斂域是以最小極點模值為半徑的圓內，在z=0處是否收斂取決于x(n)在n>0時是否為0。例5：求x(n)=a|n|，a為實數(shù)，求ZT及其收斂域根據(jù)例3，例4等例題可知：給定z變換X(z)不能唯一地確定一個序列，只有同時給出收斂域才能唯一確定。右邊序列的z變換收斂域一定在模最大的有限極點所在圓之外左邊序列的z變換收斂域一定在模最小的有限極點所在圓之內教材上：PP51，列出了幾種序列的Z變換的表達式§2.1.2z反變換實質：求X(z)冪級數(shù)展開式z反變換的求解方法： 圍線積分法（留數(shù)法） 部分分式法 長除法z反變換:從X(z)中還原出原序列x(n)1、柯西積分理論根據(jù)復變函數(shù)理論，若函數(shù)X(z)在環(huán)狀區(qū)域內是解析的，則在此區(qū)域內X(z)可展開成羅朗級數(shù)，即 而

其中圍線c是在X(z)的環(huán)狀收斂域內環(huán)繞原點的一條反時針方向的閉合單圍線。圍線積分法（留數(shù)法） 若函數(shù)X(z)zn-1在圍數(shù)C上連續(xù)，在C以內有K個極點zk，而在C以外有M個極點zm，則有：序列x(n)等于函數(shù)在圍線C內各極點的留數(shù)之和，或者C外各極點留數(shù)和的負值。若F(z)在c外M個極點zm，且分母多項式z的階次比分子多項式高二階或二階以上，則：利用留數(shù)定理求圍線積分，令若F(z)在圍線c上連續(xù)，在c內有K個極點zk，則：留數(shù)的具體求法：單階極點的留數(shù)：l階極點的留數(shù)：2、部分分式展開法求解IZT

：若函數(shù)X(z)是z的有理分式，可表示為：將X(z)分解為有理多項式和有理真分式之和其中有理多項式的逆z變換是單位脈沖序列及其移位有理真分式的逆z變換利用部分分式的z反變換和可以得到；通常先對X(z)/z進行展開，然后再乘以z通常會用到一些典型序列的Z變換；常見序列的ZT參見教材例2 設利用部分分式法求z反變換。解：3、冪級數(shù)展開法求解（長除法）:一般X(z)是有理分式，可利用分子多項式除分母多項式（長除法法）得到冪級數(shù)展開式，從而得到x(n)。根據(jù)收斂域判斷x(n)的性質，在展開成相應的z的冪級數(shù)將X(z)X(z)的

x(n) 展成z的分子分母按z的

因果序列負冪級數(shù)降冪排列左邊序列正冪級數(shù)升冪排列例1ROC1:)1

長除法示例解：由Roc判定x(n)是因果序列，用長除法展成z的負冪級數(shù)ROC2:)1解：由Roc判定x(n)是左邊序列，用長除法展成z的正冪級數(shù)1、線性性Z變換的基本性質和定理R1∩R2R|a|RR2、序列的移位3、z域尺度變換（乘以指數(shù)序列）4、z域求導（序列線性加權）收斂域一般是原序列收斂域的公共部分，但如果產生極點零點抵消，有可能收斂域擴大序列移位后的收斂域在0和無窮處可能發(fā)生變化，需要重新判斷。如果原收斂域是環(huán)形區(qū)域，移位后不變。Z變換的基本性質（續(xù)）5、翻褶序列1/RR6、共軛序列7、初值定理（對于因果序列)8、終值定理序列為因果序列，且極點都處于單位圓以內（最多在單位圓上的z=1處有單階極點)。Z變換的基本性質（續(xù)）9、有限項累加特性(因果序列)ZT的主要性質參見書pp63頁的表2-1-210、序列的卷積和11、序列乘法12、帕塞瓦定理Matlab計算z變換序列的z變換X(z)一般是z.^-1的有理分式。Matlab提供了對X(z)進行部分分式展開的函數(shù)residuez，其調用形式為[r,p,k]=residuez(B,A)B和A分別表示X(z)的分子多項式系數(shù)向量和分母多項式系數(shù)向量。注意：用的時候如何正確的書寫B(tài)和A向量。返回參數(shù)r是部分分式系數(shù)向量，p是極點向量，如果有重極點，則會在p中重復出現(xiàn)，k表示多項式系數(shù)向量。例2-1-9部分分式展開的Matlab實現(xiàn)%program2_1b=[1.50.98-2.6081.2-0.144];a=[1-1.40.6-0.072];[r,p,k]=residuez(b,a);disp('r=');disp(r);disp('p=');disp(p);disp('k=');disp(k);可見0.6為重極點用Matlab計算z變換和逆z變換Matlab的符號數(shù)學工具箱提供了計算Z變換的函數(shù)ztrans和計算逆z變換的函數(shù)iztrans，其調用形式為：F=ztrans(f)f=iztrans(F)上式中的f和F分別為時域和z域表示式的符號表示，可以用函數(shù)sym來實現(xiàn)S=sym(A)：A為待分析的表示式的字符串；S為符號化的數(shù)字或變量例2-1-10%program2_2x=sym('cos(a*n)');X=ztrans(x);disp('X(z)=');disp(X);%program2_3X=sym('z/((a+z)^2)');x=iztrans(X);disp('x(n)=');disp(x);也可以先用Matlab進行部分分式展開，再進行逆z變換%program2_4b=[1,-0.5];a=[1,0.75,0.125];[r,p,k]=residuez(b,a);disp('r=');disp(r);disp('p=');disp(p);disp('k=');disp(k);注意：這里k沒有返回值%program2_5b=[1,-0.5,0.5,1];a=[1,-3,2];[r,p,k]=residuez(b,a);disp('r=');disp(r);disp('p=');disp(p);disp('k=');disp(k);注意：如何根據(jù)部分分式展開寫x(n)2.2單邊z變換單邊z變換序列在n<0時如何定義，對序列的單邊z變換沒有影響。因果序列的單邊和雙邊z變換的結果相同。單邊z變換的收斂域其冪級數(shù)中只包含z的負指數(shù)項，因此收斂域是某圓外的部分，包含無窮。單邊z變換的性質除了移序性質以外其余性質與雙邊z變換的性質均相同。右移性質左移性質用單邊z變換解差分方程單邊z變換適用于需要根據(jù)初始條件求解因果系統(tǒng)響應的問題。數(shù)字系統(tǒng)的全響應包括零狀態(tài)響應和零輸入響應。零輸入響應：僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)決定的響應，即輸入x(n)=0。求解方法，令x(n)=0，對差分方程求z變換，再做逆變換，即可求得零輸入解。逆z變換得到零輸入解注意：這里進行z變換時，采用的是單邊z變換的性質零狀態(tài)響應：僅由系統(tǒng)的輸入決定的響應，即y(n)的初始狀態(tài)為0時的響應。求解方法，令x(n)=0，對差分方程求z變換，再做逆變換，即可求得零輸入解。逆z變換得到零狀態(tài)解系統(tǒng)響應是上面的零輸入響應和零狀態(tài)響應之和。例2-2-1已知系統(tǒng)差分方程：初始條件：y(-1)=2;輸入信號：x(n)=u(n)，求系統(tǒng)響應。解：對差分方程進行z變換得將初始條件y(-1)=2和X(z)代入上式可得上式收斂域取|z|>1注意：這里進行z變換時，采用的是單邊z變換的性質注意：這個時候要確定Y(z)的收斂域例2-2-2已知系統(tǒng)差分方程：初始條件：y(-1)=k;|a|<1,輸入信號：x(n)=exp(jw0n)(n>=0)，求系統(tǒng)響應。解：對差分方程進行z變換得注意：X(z)只有當|z|>1的時候才收斂，也就是說其收斂域為|z|>1將X(z)及初始條件代入Y(z)可得到:注意：這個時候要確定Y(z)的收斂域因為|a|<1,所以Y(z)的收斂域為|z|>1,對Y(z)用部分分式展開并求逆z變換得：§2.3離散時間傅里葉變換DTFT一、DTFT的定義變換對：稱為離散時間傅里葉變換（DTFT）。FT存在的充分必要條件是：如果引入沖激函數(shù)，一些絕對不可和的序列，如周期序列，其傅里葉變換可用沖激函數(shù)的形式表示出來。是x(n)的頻譜，是連續(xù)變量w的連續(xù)復函數(shù)，而且是以2pi為周期的周期函數(shù)。

反變換二、比較ZT和DTFT的定義：利用ZT和DTFT的關系可以有ZT計算DTFT。序列的傅里葉變換是序列的z變換在單位圓上的值例2.1.1計算門序列的DTFT解：根據(jù)DTFT的定義)(wX0p2p2-pp-N=8Nw(線性相位),但需要注意該函數(shù)是不連續(xù)的（圖2-3-1)幅頻特性：相頻特性：例2.1.1用z變換計算門序列的DTFT(線性相位)解：DTFT幅頻特性：相頻特性：性質1、周期性時域離散信號傅里葉變換是頻率的周期函數(shù)，周期是。這和模擬信號的傅里葉變換是不同的。由于DTFT的周期性，一般只分析之間或之間的DTFT。DTFT的一些性質性質2、線性性質性質3、時移性質性質4、頻移性質性質5、共軛性質這些性質和z變換的性質有不少都很相似，請大家對比學習性質6、時域卷積定理該定理表明在時域兩序列卷積，轉換到頻域服從相乘關系。性質7、頻域卷積定理交換積分與求和的次序該定理表明在時域兩序列相乘，轉換到頻域服從卷積關系。性質8、Parseval定理Parseval定理說明：信號時域的總能量等于頻域的總能量。注意：這里頻域總能量是指DTFT在一個周期中的積分再乘以。一般不做特殊說明，序列x(n)就是復序列。用下標r表示它的實部，用下標i表示它的虛部：共軛對稱序列和共軛反對稱序列復序列中有共軛對稱序列和共軛反對稱序列，分別用下標e和o表示共軛對稱序列：實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)共軛反對稱序列：實部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)性質9、DTFT的對稱性一般序列可以表示為共軛對稱部分和共軛反對稱部分之和

頻域函數(shù)也可以表示為共軛對稱部分和共軛反對稱部分之和從序列分為實部和虛部之和研究其對稱性具有共軛對稱性具有共軛反對稱性一般序列的DTFT分成共軛對稱分量和共軛反對稱分量兩部分，其中共軛對稱分量對應序列的實部，而共軛反對稱分量對應這序列的虛部（包括j）。另外，根據(jù)實部的DTFT可以看出，實序列的DTFT具有共軛對稱性。從序列分為共軛對稱部分和共軛反對稱部分之和研究其對稱性序列DTFT的實部對應序列的共軛對稱部分，而它的虛部(包括j)對應序列的共軛反對稱部分。實因果序列的對稱性實序列的DTFT的實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。實序列的DTFT的模平方是偶函數(shù)，相位函數(shù)是奇函數(shù)。實序列可以表示為偶序列和奇序列之和。解：

例：求下列有限長序列的DTFT，并觀察其對稱性。把序列分別右移兩位，左移一位，觀察時移對DTFT的影響。序列的DTFT是連續(xù)函數(shù)，時域的離散序列對應頻域的連續(xù)頻譜序列的DTFT是周期函數(shù)本題給出的是實序列，實序列的DTFT具有對稱性，幅頻和實頻是偶對稱的，相頻和虛頻是奇對稱的序列的時移不影響其DTFT的幅頻特性，只影響其相頻特性

例：求下列復序列和實序列的DTFT，用Matlab畫出其幅頻和相頻特性，并比較分析兩者對稱性和周期性。解：兩序列的DTFT理論計算留作課后練習；這里給出Matlab繪出的幅頻和相頻曲線圖。復序列的DTFT的幅頻和相頻特性都具有周期性；但都不是對稱的。實序列的幅頻和相頻特性都是周期性的，幅頻特性偶對稱，相頻特性奇對稱；其DTFT是共軛對稱的。實序列相當于復序列乘以一個相移因子，因此實序列的DTFT是復序列DTFT的頻移，可以從圖上看出。小結：DTFT的對稱性質 共軛對稱序列：共軛反對稱序列：任意序列可表示成xe(n)和xo(n)之和:其中：定義：其中：同樣，x(n)的Fourier變換也可分解成：對稱性質

序列Fourier變換實數(shù)序列的對稱性質

序列Fourier變換實數(shù)序列的Fourier變換滿足共軛對稱性實部是ω的偶函數(shù)虛部是ω的奇函數(shù)幅度是ω的偶函數(shù)幅角是ω的奇函數(shù)2.3.3序列ZT、連續(xù)信號LT和FT的關系若：連續(xù)信號采樣后的拉氏變換LT——拉氏變換是傅里葉變換在S平面的解析延拓可見，采樣信號的拉氏變換是連續(xù)信號拉氏變換以j2pi/T為周期的周期延拓。采樣序列：當兩變換之間的關系，就是由復變量s平面到復變量z平面的映射，其映射關系為對比：進一步討論這一映射關系：將s用直角坐標表示，而z用極坐標表示Z的模只與s的實部有關，而z的相角只與s的虛部有關。1s平面到z平面的映射是多值映射。S=0對應于z=1。輻射線ω=Ω0T平行直線Ω

=Ω0正實軸ω=0實軸Ω

=0Z平面S平面Ω:Ω:ω:ω:序列在單位圓上的z變換，就是序列的離散時間傅里葉變換 數(shù)字頻率w表示z平面的輻角，它和模擬角頻率W的關系為 在以后的討論中，將用數(shù)字頻率w來作為z平面上單位圓的參數(shù)，即 所以說，數(shù)字頻率是模擬角頻率的歸一化值，或是模擬頻率對抽樣頻率的相對比值乘以2p§2.4離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)：

單位抽樣響應h(n)的z變換其中：y(n)=x(n)*h(n)Y(z)=X(z)H(z)系統(tǒng)的頻率響應：單位圓上的系統(tǒng)函數(shù),單位抽樣響應h(n)的DTFT1、系統(tǒng)函數(shù)與差分方程常系數(shù)線性差分方程：若系統(tǒng)初始狀態(tài)為0，取z變換則系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)的分子、分母多項式的系數(shù)分別與差分方程的系數(shù)對應。H(z)的零點：使分子為0H(z)的極點：使分母為0系統(tǒng)函數(shù)的特性由全部極點和零點來確定注意：同一系統(tǒng)函數(shù)，收斂域不同，所代表的系統(tǒng)不同；必須同時給定系統(tǒng)函數(shù)和收斂域才能確定系統(tǒng)。2、若LSI系統(tǒng)為因果穩(wěn)定系統(tǒng)

穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的Roc須包含單位圓， 即頻率響應存在且連續(xù)H(z)須從單位圓到∞的整個z域內收斂，即系統(tǒng)函數(shù)H(z)的全部極點必須在單位圓內1）因果：2）穩(wěn)定：序列h(n)絕對可和，即而h(n)的z變換的Roc：3）因果穩(wěn)定：Roc：系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性可以由系統(tǒng)函數(shù)的收斂域確定。3、系統(tǒng)的頻率響應的意義1）LSI系統(tǒng)對復指數(shù)序列的穩(wěn)態(tài)響應：由此可見，當輸入為復指數(shù)序列時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應也是復指數(shù)序列，只不過是被系統(tǒng)頻率響應H加權2）LSI系統(tǒng)對正弦序列的穩(wěn)態(tài)響應輸出同頻正弦序列幅度受頻率響應幅度加權相位為輸入相位與系統(tǒng)相位響應之和4、頻率響應的幾何確定法利用H(z)在z平面上的零極點分布頻率響應：則頻率響應的令幅角：幅度：零點位置影響凹谷點的位置與深度零點在單位圓上，谷點為零零點趨向于單位圓，谷點趨向于零極點位置影響凸峰的位置和深度極點趨向于單位圓，峰值趨向于無窮系統(tǒng)的單位脈沖響應是無限長序列系統(tǒng)的單位脈沖響應是有限長序列IIR系統(tǒng)和FIR系統(tǒng)無限長單位沖激響應（IIR）系統(tǒng)：單位沖激響應h(n)是無限長序列有限長單位沖激響應（FIR）系統(tǒng)：單位沖激響應h(n)是有限長序列2.4.4數(shù)字全通系統(tǒng)和最小相移系統(tǒng)全通系統(tǒng)系統(tǒng)頻率響應的幅度恒等于一個常數(shù)。全通系統(tǒng)的極零點相對單位圓是鏡像共軛成對的。又由于因果穩(wěn)定系統(tǒng)的所有極點都必須位于單位圓內，再加上系統(tǒng)的零極點具有鏡像共軛成對的特性，所以其零點將全部在單位圓外。最小相移系統(tǒng)對于因果穩(wěn)定系統(tǒng)，當其全部的極零點都在單位圓內時，具有最小相位滯后，稱為最小相移系統(tǒng)。2.4.5用Matlab分析系統(tǒng)頻率響應1.