結(jié)構(gòu)力學(xué) 矩陣位移法

第九章矩陣位移法

僅限于求解桿系結(jié)構(gòu)在靜荷載作用下的位移和內(nèi)力。以位移法(附加約束法)為基礎(chǔ)，從有限單元法的角度講解結(jié)構(gòu)的靜力分析。既適用于靜定結(jié)構(gòu)，也適用于超靜定結(jié)構(gòu)，易于編寫通用的計(jì)算機(jī)程序，尤其對(duì)于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，該法具有很大的優(yōu)越性，可大大減少手算的工作量，是面向計(jì)算機(jī)的計(jì)算方法。本章內(nèi)容介紹§9-1節(jié)位移法概述§9-2節(jié)單元?jiǎng)偠染仃?局部坐標(biāo)系)§9-3節(jié)單元?jiǎng)偠染仃?整體坐標(biāo)系)§9-4節(jié)連續(xù)梁的整體剛度矩陣§9-5節(jié)剛架的整體剛度矩陣§9-6節(jié)等效結(jié)點(diǎn)荷載§9-7節(jié)計(jì)算步驟和算例§9-8節(jié)忽略軸變時(shí)矩形剛架的整體分析§9-9節(jié)桁架及組合結(jié)構(gòu)的整體分析§9-1節(jié)位移法概述⑴力法和位移法均為傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)力學(xué)的計(jì)算方法，其相應(yīng)的計(jì)算手段手算，因而只能解決計(jì)算簡(jiǎn)圖較粗略基本未知量數(shù)目不太多的結(jié)構(gòu)分析問(wèn)題。⑵計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和廣泛應(yīng)用，使結(jié)構(gòu)力學(xué)的計(jì)算發(fā)生了巨大變化，電算能夠解決手算難以解決的大型復(fù)雜問(wèn)題。由此產(chǎn)生了適合電算的分析方法——結(jié)構(gòu)矩陣分析。⑶根據(jù)所選基本未知量的不同，結(jié)構(gòu)矩陣分析包括：矩陣力法結(jié)構(gòu)矩陣分析一般剛度法矩陣位移法直接剛度法以直接剛度法的程序最為簡(jiǎn)單且通用性強(qiáng)，應(yīng)用最廣。⑷矩陣位移法是有限元法的雛形，故桿件結(jié)構(gòu)的矩陣分析也稱作桿件結(jié)構(gòu)的限元法分析，具體包括兩部分內(nèi)容：§9-1節(jié)位移法概述§9-1節(jié)位移法概述（a）單元分析：將結(jié)構(gòu)離散成有限個(gè)兩端固定桿件作為計(jì)算單元，按照單元的力學(xué)性質(zhì)（物理關(guān)系），建立單元的桿端力和桿端位移的關(guān)系—單元的剛度方程，形成單元?jiǎng)偠染仃?。（b）整體分析：在滿足變形條件和平衡條件的前提下，將這些單元集合成整體，建立統(tǒng)一坐標(biāo)系下的結(jié)構(gòu)整體剛度方程，形成整體剛度矩陣，建立結(jié)構(gòu)的矩陣位移法基本方程，進(jìn)而求出結(jié)構(gòu)的位移和內(nèi)力?！?-2節(jié)單元?jiǎng)偠染仃?局部坐標(biāo)系)一.一般單元的剛度方程和剛度矩陣1.單元兩端采用局部編碼1、22.六個(gè)桿端位移組成桿端位移列向量。3.六個(gè)桿端力組成桿端力列向量。1EAIL2e1e2§9-2節(jié)單元?jiǎng)偠染仃?局部坐標(biāo)系)局部坐標(biāo)系下桿端力與桿端位移的關(guān)系(單元?jiǎng)偠确匠?§9-2節(jié)單元?jiǎng)偠染仃?局部坐標(biāo)系)一般單元的剛度方程§9-2節(jié)單元?jiǎng)偠染仃?局部坐標(biāo)系)桿件一般單元局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚒?-2節(jié)單元?jiǎng)偠染仃?局部坐標(biāo)系)二、單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)⑴單元?jiǎng)偠认禂?shù)的意義單元?jiǎng)偠染仃囍械拿總€(gè)元素都代表單元桿端單位位移引起的桿端力稱之為單元?jiǎng)偠认禂?shù)。其中表示第j個(gè)桿端單位位移引起的第i個(gè)桿端力。⑵單元?jiǎng)偠染仃嚍閷?duì)稱矩陣。⑶一般單元?jiǎng)偠染仃嚍槠娈惥仃嚾?、特殊單元?jiǎng)偠确匠毯蛣偠染仃嚔胚B續(xù)梁中的受彎桿件單元⑵桁架結(jié)構(gòu)中桿件單元⑴連續(xù)梁中的受彎桿件單元§9-2節(jié)單元?jiǎng)偠染仃?局部坐標(biāo)系)⑵桁架結(jié)構(gòu)中桿件單元*特殊單元的剛度矩陣存在逆矩陣為非奇異矩陣§9-2節(jié)單元?jiǎng)偠染仃?局部坐標(biāo)系)忽略軸變時(shí)單元的剛度矩陣§9-3節(jié)單元?jiǎng)偠染仃?整體坐標(biāo)系)一、單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣寫成矩陣形式§9-3節(jié)單元?jiǎng)偠染仃?整體坐標(biāo)系)單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣的性質(zhì)-----正交矩陣§9-3節(jié)單元?jiǎng)偠染仃?整體坐標(biāo)系)二、整體坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃囉捎伞?-3節(jié)單元?jiǎng)偠染仃?整體坐標(biāo)系)三、整體坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)⑴整體坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃嚺c局部坐標(biāo)系下剛度矩陣同階性質(zhì)相同。其元素的力學(xué)意義為：⑵整體坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃嚍閷?duì)稱矩陣。⑶一般單元的剛度矩陣是奇異矩陣。四、特殊單元的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣⑴只考慮彎曲變形時(shí)的桿件單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。⑵桁架軸力桿件單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。§9-4節(jié)連續(xù)梁的整體剛度矩陣一、傳統(tǒng)位移法建立整體剛度方程形成整體剛度矩陣②①§9-4節(jié)連續(xù)梁的整體剛度矩陣寫成矩陣形式§9-4節(jié)連續(xù)梁的整體剛度矩陣連續(xù)梁整體剛度矩陣二、單元集成法的力學(xué)模型和基本概念單元集成法求結(jié)構(gòu)整體結(jié)點(diǎn)力時(shí)，分別考慮每個(gè)單元對(duì)結(jié)點(diǎn)力的單獨(dú)貢獻(xiàn)，然后對(duì)各單元產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)力進(jìn)行疊加。其特點(diǎn)由“單元直接集成”

§9-4節(jié)連續(xù)梁的整體剛度矩陣首先考慮單元①的貢獻(xiàn)由單元①單獨(dú)作用產(chǎn)生的整個(gè)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力①①①①①①①+=①②①②①①①②②②①②§9-4節(jié)連續(xù)梁的整體剛度矩陣①-----單元①的貢獻(xiàn)矩陣①①①①①①②②②§9-4節(jié)連續(xù)梁的整體剛度矩陣②-----單元②的貢獻(xiàn)矩陣②②②②②②§9-4節(jié)連續(xù)梁的整體剛度矩陣②②①①總剛度方程②①總剛度矩陣=各單元貢獻(xiàn)矩陣之和*而單元貢獻(xiàn)矩陣實(shí)際上是單元整體坐標(biāo)系下的剛度矩陣中的元素在總剛陣中重新定位而形成，如何將單元整體坐標(biāo)系下的剛度矩陣中的元素定位于總剛陣？§9-4節(jié)連續(xù)梁的整體剛度矩陣三、單元定位向量；單元集成法集成總剛陣⑴桿件單元分析時(shí)每個(gè)桿件單元兩端的結(jié)點(diǎn)位移各有一局部編碼。⑵結(jié)構(gòu)整體分析時(shí)，作為基本未知量的結(jié)點(diǎn)位移在結(jié)構(gòu)中統(tǒng)一進(jìn)行編碼稱總碼。Ex：1、2、3。⑶各單元的桿端結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)構(gòu)整體的結(jié)點(diǎn)位移，即局部編碼和總碼之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系由單元定位向量來(lái)確定。⑷單元定位向量：由單元的結(jié)點(diǎn)位移的（局部編碼）對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)的作為基本未知量的結(jié)點(diǎn)位移的（總碼）組成的向量稱。記作§9-4節(jié)連續(xù)梁的整體剛度矩陣單元定位向量給出了桿件單元的局部碼和總碼的對(duì)應(yīng)關(guān)系。Ex單元①局部碼——總碼（1）——1（2）——2單元②局部碼——總碼

（1）——2

（2）——3單元集成法的實(shí)施方案：EX10—2求連續(xù)梁總剛陣。見(jiàn)書p389

“邊定位，邊累加”由單元?jiǎng)偠染仃囍苯蛹煽倓傟嚒２襟E：（1）將K置零。（2）將

的元素在K中按定位并累加。此時(shí)K=K①（3）將的元素在K中按定位并累加。此時(shí)K=K①+K②②①②①

§9-4節(jié)連續(xù)梁的整體剛度矩陣四、整體剛度矩陣的性質(zhì)⑴整體剛度系數(shù)的力學(xué)意義。⑵K為對(duì)稱矩陣。⑶連續(xù)梁的整體剛度矩陣K是可逆矩陣。⑷連續(xù)梁的整體剛度矩陣K是稀疏矩陣和帶狀矩陣。§9-5節(jié)剛架的整體剛度矩陣*剛架的整體剛度矩陣的建立仍為：由單元在整體坐標(biāo)系下的剛度矩陣按單元定位向量定位累加形成，但其復(fù)雜性表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：⑴一般情況下考慮各桿的軸向變形，而略軸變的情況作為特例處理。⑵剛架中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移分量要增加到三個(gè)：一個(gè)角位移和兩個(gè)線位移。⑶剛架中各桿方向不盡相同，整體分析中需采用整體坐標(biāo)系。⑷剛架中除剛結(jié)點(diǎn)外，還要考慮鉸結(jié)點(diǎn)等其他情況?！Y(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量一、結(jié)點(diǎn)位移分量的同一編碼——總碼ABC①②123000040xy§9-5節(jié)剛架的整體剛度矩陣——結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力向量二、單元定位向量§9-5節(jié)剛架的整體剛度矩陣三、單元集成過(guò)程單元①②整體坐標(biāo)系下的剛度矩陣見(jiàn)ex9—1§9-5節(jié)剛架的整體剛度矩陣§9-5節(jié)剛架的整體剛度矩陣四、鉸結(jié)點(diǎn)的處理——結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量單元定位向量7③06543210000②①0yxC2ABDC1§9-5節(jié)剛架的整體剛度矩陣⑴⑵⑶⑷⑸⑹1234567⑴⑵⑶⑷⑸⑹123456§9-5節(jié)剛架的整體剛度矩陣⑴⑵⑶1234567⑴⑵⑶1234567§9-6節(jié)等效結(jié)點(diǎn)荷載一、矩陣位移法基本方程矩陣位移法方程的建立，采用了位移法方程建立的思路——即利用基本體系在結(jié)點(diǎn)位移和實(shí)際荷載共同作用下在附加約束處產(chǎn)生的總的附加約束反力為零的條件。⑴設(shè)結(jié)點(diǎn)位移單獨(dú)作用在基本體系中引起的附加約束反力為⑵設(shè)荷載單獨(dú)作用在基本體系中引起的附加約束反力為記作則：矩陣位移法方程為二、綜合結(jié)點(diǎn)荷載（和等效結(jié)點(diǎn)荷載）綜合結(jié)點(diǎn)荷載與原荷載在基本體系中引起的附加約束反力相等效，存在如下關(guān)系——標(biāo)準(zhǔn)形式的矩陣位移法方程§9-6節(jié)等效結(jié)點(diǎn)荷載三、單元集成法求整體結(jié)構(gòu)的綜合結(jié)點(diǎn)荷載⑴單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載（局部坐標(biāo)系）①查表組建桿件單元固端力向量②確定桿件單元等效結(jié)點(diǎn)荷載⑵單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載（整體坐標(biāo)系）⑶整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載記將桿件單元整體坐標(biāo)系下的等效結(jié)點(diǎn)荷載按單元定位向量在中進(jìn)行定位累加即得§9-6節(jié)等效結(jié)點(diǎn)荷載⑷整體結(jié)構(gòu)的綜合結(jié)點(diǎn)荷載設(shè)整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載為直接結(jié)點(diǎn)荷載為則：整體結(jié)構(gòu)的綜合結(jié)點(diǎn)荷載為Ex9-3見(jiàn)書P400§9-7節(jié)計(jì)算步驟和算例一、矩陣位移法計(jì)算平面剛架的步驟⑴整理數(shù)據(jù)，對(duì)單元和剛架的結(jié)點(diǎn)位移進(jìn)行局部和總體編碼。⑵形成局部坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃?。⑶形成整體坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃?。⑷單元集成法形成結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣。①寫出各單元的單元定位向量。②按單元的單元定位向量，定位總剛度矩陣。⑸求綜合結(jié)點(diǎn)荷載。①求固端約束力向量。②求單元整體坐標(biāo)系下等效結(jié)點(diǎn)荷載。③按單元的單元定位向量，定位累加結(jié)構(gòu)整體等效結(jié)點(diǎn)荷載。④計(jì)算綜合結(jié)點(diǎn)荷載。e§9-7節(jié)計(jì)算步驟和算例⑹解矩陣位移法方程。⑺求局部坐標(biāo)系下單元桿端力。①先求②再求⑻作內(nèi)力圖。Ex9-4見(jiàn)書P403§9-8節(jié)忽略軸向變形時(shí)矩形剛架的整體分析yx4③03012010000②①0C2ABDC1Ex略軸變時(shí)求剛架的總剛陣⑴判斷位移法的基本未知量對(duì)結(jié)點(diǎn)位移分量進(jìn)行統(tǒng)一編碼，組成結(jié)點(diǎn)位移向量。⑵確定各桿的單元定位向量③②①§9-8節(jié)忽略軸向變形時(shí)矩形剛架的整體分析⑶形成整體坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃?。剛架中各桿尺寸相同，均采用ex9—1中各桿尺寸。①②③§9-8節(jié)忽略軸向變形時(shí)矩形剛架的整體分析⑷集成整體剛度矩陣300-300-300+3000+00+00010050005010000000⑴⑷⑶⑹1234⑴⑷⑶⑹1234*104§9-8節(jié)忽略軸向變形時(shí)矩形剛架的整體分析0+（12）（-30）00（-30）100+（100）50005010000000⑴⑶1234⑴⑶1234*104§9-8節(jié)忽略軸向變形時(shí)矩形剛架的整體分析12+（12）-300（-30）-302005000501000（-30）00