滬教版八年級上冊-線段垂直平分線及角平分線講義

創(chuàng)新三維學習法讓您全面發(fā)展創(chuàng)新三維學習法讓您全面發(fā)展基本內容線段的垂直平分線及角的平分線知識精要一、線段的垂直平分線1、線段的垂直平分線定理：線段的垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等。2、線段的垂直平分線逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。二、角的平分線1、角平分線定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。2、角平分線逆定理：在一個角的內部（包括頂點）且到這個角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。3、角平分線可以看作是在這個角內部（包括頂點）到角兩邊的距離相等的點的集合提問：在使用角平分線的性質定理及其逆定理時，應注意哪些方面？回答：必須有兩個垂直的條件，若缺少垂直條件時，可考慮添加輔助線；熱身練習所以BE=FC3、如圖△ABC的外角平分線NDBC、NECB的平分線相交于點F,求證：點F在NA的平分線上證明：過F作AE的垂線交于點M,作AD的垂線交于點N,作BC的垂線交于點O因為CF是/ECB平分線，所以MF=FOABD因為FB是/DBC平分線，所以NF=FO所以MF=NF,又因為MF垂直AE,NF垂直AD所以AF是NA的平分線4、如圖，過^ABC的邊BC的中點M,作直線平行于NA的平分線AA’,而交直線AB于E、F,求證:CF=1/2(AB+AC)證明：延長FM到點G，使FM=MG，連接BGTOC\o"1-5"\h\z??,M為BC的中點ABMG二ACMF二BG=CF5又?「AA’平分NBAC且EM〃AA',/,AJ/??./E=/BAA，=ZA'AF=/AFE=/CFG=/G「?，.AE=AF,BE=BG=CF/]「BE=AB+AE,CF=AC-AFB&MC???AB+AC=BE+CF=2CF.??CF=1/2(AB+AC)5、如圖，求作點P,使P到C、D的距離相等，同時到角兩邊的距離也相等解：先作線段DC的垂直平分線，再作NA的平分線，兩直線所交的點即為點P精解名題

例1、如圖，AD是^ABC的角平分線，EF是AD的中垂線，求證：(1)NEAD=NEDA；(2)DF〃AC；(3)ZEAC=ZB證明：（1）因為EF是AD的中垂線所以AE=DE,所以NEAD=NEDA（2）因為EF是AD的中垂線，所以FA=FD所以NFAD=NFDA又因為AD是角平分線，所以NFAD=NDACA所以/尸口人=/口人0所以DF〃AC(3)因為NEDA=NB+NBAD；ZEAD=ZEAC+ZDAC又因為N又因為NEAD=NEDA,NBAD=NDAC；BDCVBM平分VBM平分/ABC,CM平分/ACB,.MF=MG,MG=MH即MF=MH?AM平分/BAC同理AN平分/BACAEDMBNC所以NB=NEAC；例2、AP、BP分別平分NDAB、NCBA,PM，AD于點M,PN±BC于點N,求證：點P在線段MN的垂直平分線上.證明：過點P作PEXAB于點E,連接MN?,AP平分NDAB???PM=PE?,BP平分NCBA???PE=PN.??PM=PN?.點P在線段MN的垂直平分線上例3、如圖，在4ABC中，點D、E分別在AC、AB上，BM平分NABC,CM平分NACB,EN平分/BED,DN平分NEDC。求證：A、M、N三點在一條直線上.證明：過點M作MF1AB,MG±BC,MH±AC垂足分別為F,G,H,過點N作NI1AB,NJ1ED,NK1AC,垂足分別為I,J,K,??A、M、N三點在一條直線上.例4、一張長方形紙片沿對角線剪開,得到兩張三角形紙片,再將這兩張三角形紙片擺成如下右圖形式，使點B、F、C、D在同一直線上，（1）求證：AB1ED；并給予證明(2)若PB=BC,請找出圖中與此條件有關的一對全等三角形，并給予證明NANP=NDNC,ND+NDNC=90所以NA+NANP=90,所以NAPN=90,即AB±ED(NANP=NDNC,ND+NDNC=90所以NA+NANP=90,所以NAPN=90,即AB±ED(2)AABC=ADPB備選例題1、證明下列命題：(1)三角形的三條角平分線交于一點；(2)三角形三條邊的垂直平分線交于一點。解析：證明三條直線交于同一個點，沒有公理或定理可直接應用，幫通常采用如下的方法：找出兩條直線的交點，證明這個點也在第三條直線上。證明：(1)如圖，設?、8￡是4ABC的兩條角平分線，相交于點H,過H作三角形三邊的垂線，垂足分別M、N、P因為H在NBAC的平分線上，所以HM=HN同理HN=HP^HM=HP由H到邊CA、BC的距離相等，可知H在NACB的平分線上，即三角形的三條角平分線交于一點。(2)在^ABC中，設邊AB、BC的垂直平分線DP、EP交于點P,邊結PA、PB、PC因為P在AB的垂直平分線上，所以PA=PB,同理PB=PC,所以PA=PC所以P在AC的垂直平分線上，即三角形三條邊的垂直平分線交于一點。鞏固練習1、如圖，AP平分/BAC,且PE1、如圖，AP平分/BAC,且PE±AB,PF±AC,PE=3，貝|PF=第1題第3題第4題2、在4ABC中，NC=90°,BD是/ABC的平分線.已知，AC=32,且AD：DC=5：3,則點D到AB的距離為123、如圖，在RtAABC中，NC=90°,AC=BC,AD是/CAB的角平分線，口￡，八3.若八3=8,則4DEB的周長是84、如圖，在4ABC中，OB平分/ABC，OC平分/ACB，MNIIBC且過點0,若AB=8,AC=7,貝4^AMN的周長是155、如圖，在^ABC中，AD是角平分線，EF是AD的垂直平分線，垂足為E，EF交BC的延長線證明：因為EF是AD的垂直平分線，所以AF=DFA于點F，求證：N證明：因為EF是AD的垂直平分線，所以AF=DFA因為AD是角平分線，所以NBAD=N因為AD是角平分線，所以NBAD=NDAC因為NADF=NB+NBADNDAF=NCAF+NDAC所以NB=NCAF6、已知在△ABC中，AD平分NBAC,DE,AB于點E，DF,AC于點F，求證：AD垂直平分EF。證明：在AAED和AA方D中/AED=/AFD=30oAD=AD??.AAED=AAFD.??AE=AF,DE=DF

??.點A和D在線段EF的垂直平分線AAD垂直平分EF7、在AABC中，/C=900,DE垂直平分人8于點E,交BC于點D,且ED=CD,求證：/B=30。。證明VDEXAB,DCLAC,證明VDEXAB,DCLAC,且DE二DC8、BN平分/ABC,P為BN上的一點，PD1BC于點D,AB+BC=2BD,求證：ZBAP+ZBCP=1800.證明：過點P作PELBA,交BA延長線于點E在ABPE和ABPD中ZPEB=ZPDB=90°VZPBAVZPBA=ZPBDAABPE=ABPD(AAS)BP=BPABE=BD,PE=PD:AB+BC=AB+BD+DC=2BDAAB+DC=BD=BE=AB+AEADC=AE:ZAAB+DC=BD=BE=AB+AEADC=AE:ZPDC=ZPEA=90°,PD=PEAAPDC=APEAAZPAE=ZBCP=90°:ZBAP+ZPAE=180°AZBAP+ZBCP=90°自我測試則PD與PC的大小關系為（1、如圖，0P是NAOB的角平分線，PC±AO,則PD與PC的大小關系為（A、PC>PDA、PC>PDB、PC=PDC、PC<PDD、不能確定第1題第2題第3題2、如圖，有A、B、C三個居民小區(qū)的位置成三角形，現決定在三個小區(qū)之間修一個超市，使超市到三個小區(qū)的距離相等，則超市應建在（C）A、在AC、BC兩邊高線的交點處B.、在AC、BC兩邊中線的交點處C、在AC、BC兩邊垂直平分線的交點處D.、在NA、NB的角平分線的交點處3、如圖，CD是RtAABC斜邊AB上的高，將^BCD沿CD折疊，B點恰好落在AB的中點E處，則NA等于（B）（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半A、25°BA、25°B、30°C、45°D、60°4、如圖，在4ABC中，AB=AC,NA=108°,（1）若BD平分NABC,求證：BC=AB+CD；（2）若D在AC上且BC=AB+CD,求證：80平分/人8（3證明：（1）在BC上截取BE=BA,連接DE先證AABD二AEBD??./BED=/A=108。??./BEC=72。,?AB=AC???/ABC=/C=18°。一108°=36。??./EDC=108。一36。=72。=/DEC???CD=CE.??BC=BE+EC=AB+CD(2)證明在BC上截取BE=BA,連接DE,AEVAB=AC,ZBAC=108°AZABC=ZC=36°???BC=BE+EC=AB+EC=AB+CD?.EC=CD.??/CDE=/DEC=72。?./BED=180。一72。=108。=/A??BA=BE.??/BAE=/BEA

??/EAD:/DAEADA=DEABD垂直平分AEABD平分/ABC5、已知如圖，在45、已知如圖，在4ABC中，AD平分NBAC,交BC