二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

四、二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)1、二階系統(tǒng)其中，T為時間常數(shù)，也稱為無阻尼自由振蕩周期，

為阻尼比；

n＝1/T為系統(tǒng)的無阻尼固有頻率。二階系統(tǒng)的特征方程：極點（特征根）：臨界阻尼二階系統(tǒng)：＝1具有兩個相等的負實數(shù)極點：系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量：過阻尼二階系統(tǒng)：

>1具有兩個不相等的負實數(shù)極點：系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量：欠阻尼二階系統(tǒng)（振蕩環(huán)節(jié)）：0<<1具有一對共軛復(fù)數(shù)極點：系統(tǒng)時域響應(yīng)含有衰減的復(fù)指數(shù)振蕩項：其中，稱為阻尼振蕩頻率。零阻尼二階系統(tǒng)：＝0具有一對共軛虛極點：系統(tǒng)時域響應(yīng)含有復(fù)指數(shù)振蕩項：負阻尼二階系統(tǒng)：

<0極點實部大于零，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。2、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

0<<1：

=1：

=0：

>1：3、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

欠阻尼（0<<1）狀態(tài)

其中，欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線5101500.20.40.60.811.21.41.61.82tpxo(t)=0.2=0.4=0.6=0.8t欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點

xo()=1，無穩(wěn)態(tài)誤差；

瞬態(tài)分量為振幅等于的阻尼

正弦振蕩，其振幅衰減的快慢由和n決定。阻尼振蕩頻率；

振蕩幅值隨減小而加大。10txo(t)特點

單調(diào)上升，無振蕩、無超調(diào)；

xo()=1，無穩(wěn)態(tài)誤差。

臨界阻尼（=1）狀態(tài)

過阻尼（>1）狀態(tài)

01txo(t)特點

單調(diào)上升，無振蕩，過渡過程時間長

xo()=1，無穩(wěn)態(tài)誤差。

無阻尼（=0）狀態(tài)

210txo(t)特點頻率為n的等幅振蕩。

負阻尼（<0）狀態(tài)

0txo(t)-1<<0t0xo(t)<-1

-1<<0：輸出表達式與欠阻尼狀態(tài)相同。

<-1：輸出表達式與過阻尼狀態(tài)相同。

特點：振蕩發(fā)散

特點：單調(diào)發(fā)散

幾點結(jié)論

二階系統(tǒng)的阻尼比

決定了其振蕩特性：

<0時，階躍響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定；

1時，無振蕩、無超調(diào)，過渡過程長；0<<1時，有振蕩，

愈小，振蕩愈嚴重，但響應(yīng)愈快；

=0時，出現(xiàn)等幅振蕩。

工程中除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的應(yīng)用，如指示和記錄儀表系統(tǒng)等，通常采用欠阻尼系統(tǒng)，且阻尼比通常選擇在0.4~0.8之間，以保證系統(tǒng)的快速性同時又不至于產(chǎn)生過

大的振蕩。

一定時，n越大，瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減越

迅速，即系統(tǒng)能夠更快達到穩(wěn)態(tài)值，響應(yīng)

的快速性越好。例題

例1單位脈沖信號輸入時，系統(tǒng)的響應(yīng)為：求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：由題意Xi(s)=1，所以：例2解：1）單位階躍輸入時已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)：求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和單位脈沖響應(yīng)。從而：

2）單位脈沖輸入時，由于因此：6、二階系統(tǒng)的性能指標

控制系統(tǒng)的時域性能指標

控制系統(tǒng)的性能指標是評價系統(tǒng)動態(tài)品質(zhì)的定量指標，是定量分析的基礎(chǔ)。系統(tǒng)的時域性能指標通常通過系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)進行定義。常見的性能指標有：上升時間tr、峰值時間tp、調(diào)整時間ts、最大超調(diào)量Mp、振蕩次數(shù)N。

10tMp允許誤差=0.05或0.02trtpts0.10.9xo(t)控制系統(tǒng)的時域性能指標評價系統(tǒng)快速性的性能指標

上升時間tr響應(yīng)曲線從零時刻出發(fā)首次到達穩(wěn)態(tài)值所需時間。對無超調(diào)系統(tǒng)，上升時間一般定義為響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時間。

峰值時間tp響應(yīng)曲線從零上升到第一個峰值所需時間。

調(diào)整時間ts響應(yīng)曲線到達并保持在允許誤差范圍（穩(wěn)態(tài)值的2%或5%）內(nèi)所需的時間。

最大超調(diào)量Mp響應(yīng)曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值之差。通常用百分數(shù)表示：評價系統(tǒng)平穩(wěn)性的性能指標

若xo(tp)

xo()，則響應(yīng)無超調(diào)。

振蕩次數(shù)N在調(diào)整時間ts內(nèi)系統(tǒng)響應(yīng)曲線的振蕩次數(shù)。實測時，可按響應(yīng)曲線穿越穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半計數(shù)。欠阻尼二階系統(tǒng)的時域性能指標

上升時間tr根據(jù)上升時間的定義有：欠阻尼二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為：從而：即：顯然，一定時，n越大，tr越小；n一定時，

越大，tr

越大。峰值時間tp，并將t=tp代入可得：

令即：

根據(jù)tp的定義解上方程可得：

可見，峰值時間等于阻尼振蕩周期Td＝2/d的一半。且一定，n越大，tp越?。籲一定，

越大，tp

越大。

最大超調(diào)量

Mp顯然，Mp僅與阻尼比有關(guān)。最大超調(diào)量直接說明了系統(tǒng)的阻尼特性。

越大，Mp越小，系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好，當(dāng)

=0.4~0.8時，可以求得相應(yīng)的Mp

=25.4%~1.5%。00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100Mp二階系統(tǒng)Mp—

圖

調(diào)整時間ts對于欠阻尼二階系統(tǒng)，其單位階躍響應(yīng)的包絡(luò)線為一對對稱于響應(yīng)穩(wěn)態(tài)分量

1的指數(shù)曲線：

t01xo(t)T2T3T4T當(dāng)包絡(luò)線進入允許誤差范圍之內(nèi)時，階躍響應(yīng)曲線必然也處于允許誤差范圍內(nèi)。因此利用：可以求得：由上式求得的ts包通常偏保守。當(dāng)一定時，n越大，ts越小，系統(tǒng)響應(yīng)越快。當(dāng)0<<0.7時，

振蕩次數(shù)NN僅與

有關(guān)。與Mp一樣直接說明了系統(tǒng)的阻尼特性。越大，N越小，系統(tǒng)平穩(wěn)性越好。對欠阻尼二階系統(tǒng)，振蕩周期則

二階系統(tǒng)的動態(tài)性能由n和決定。

結(jié)論

通常根據(jù)允許的最大超調(diào)量來確定。一般選擇在0.4~0.8之間，然后再調(diào)整n以獲得合適的瞬態(tài)響應(yīng)時間。

一定，n越大，系統(tǒng)響應(yīng)快速性越好，tr、

tp、ts越小。

增加可以降低振蕩，減小超調(diào)量Mp和振蕩次數(shù)N，但系統(tǒng)快速性降低，tr、tp增加；510150=0.2=0.4=0.6=0.8例題1圖a)所示機械系統(tǒng)，當(dāng)在質(zhì)量塊M上施加f(t)=8.9N的階躍力后，M的位移時間響應(yīng)如圖b)。試求系統(tǒng)的質(zhì)量M、彈性系數(shù)K和粘性阻尼系數(shù)C的值。

mf(t)KCxo(t)a)00.030.00292t/s13xo(t)/mtpb)解：根據(jù)牛頓第二定律：

其中，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：由于F(s)=L[f(t)]=L[8.9]=8.9/s，因此根據(jù)拉氏變換的終值定理：由圖b)知xo()=0.03m，因此：K=8.9/0.03=297N/m又由圖b)知：解得：

=0.6又由：代入，可得n=1.96rad/s根據(jù)解得M=77.3Kg，C=181.8Nm/s

例題2已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：求K=200時，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的動態(tài)性能指標。若K增大到1500或減小到13.5，試分析動態(tài)性能指標的變化情況。

解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

1）K=200時

n=31.6rad/s，=0.5452）K=1500時

n=86.2rad/s，=0.2，同樣可計算得：

tr=0.021s，tp=0.037s，Mp=52.7%ts=0.174s，N=2.34可見，增大K，減小，n提高，引起tp減小，Mp增大，而ts無變化

即系統(tǒng)可以視為由兩個時間常數(shù)不同的一階系統(tǒng)串聯(lián)組成，其中

T1=0.481s,T2=0.0308s3）K=13.5時

n=8.22rad/s，=2.1，系統(tǒng)工作于過阻尼狀態(tài)，傳遞函數(shù)可以改寫為：

對于過阻尼系統(tǒng)，tp，Mp，N已無意義，而調(diào)整時間ts間可以通過其中時間常數(shù)大的一階系統(tǒng)進行估算，即：

ts=3T1=1.443s(=0.05)顯然，ts比前兩種情形要大得多，雖然系統(tǒng)無超調(diào)，但過渡過程緩慢。五、高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)1、高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)考慮系統(tǒng)假設(shè)系統(tǒng)極點互不相同。其中，a,aj為Xo(s)在極點s=0和s=-pj處的留數(shù)；

bk、ck是與Xo(s)在極點處的留數(shù)有關(guān)的常數(shù)。當(dāng)Xi(s)=1/s時，其中，=arctg(bk/ck)。2、高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的特點

高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由一階和二階系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)疊加而成。

如果所有閉環(huán)極點都在

s平面的左半平面內(nèi)，即所有閉環(huán)極點都具有負實部(pj

、

kk大于零)，則隨著時間t，xo()=a。即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。極點距虛軸的距離決定了其所對應(yīng)的暫態(tài)分量衰減的快慢，距離越遠衰減越快；3、系統(tǒng)零極點分布對時域響應(yīng)的影響0j-n-8n-5n-10np1p2p3p4p5z10txo(t)p1、p2p3p4、p5通常如果閉環(huán)零點和極點的距離比其模值小一個數(shù)量級，則該極點和零點構(gòu)成一對偶極子，可以對消。

系統(tǒng)零點影響各極點處的留數(shù)的大?。锤鱾€瞬態(tài)分量的相對強度），如果在某一極點附近存在零點，則其對應(yīng)的瞬態(tài)分量的強度將變小，所以一對靠得很近的零點和極點其瞬態(tài)響應(yīng)分量可以忽略。這對零極點稱為偶極子。綜上所述，對于高階系統(tǒng)，如果能夠找到主導(dǎo)極點（通常選為一對共軛復(fù)數(shù)極點，即二階系統(tǒng)），就可以忽略其它遠離虛軸的極點和偶極子的影響，近似為二階系統(tǒng)進行處理。

主導(dǎo)極點（

距虛軸最近、實部的絕對值為其它極點實部絕對值的1/5或更小，且其附近沒有零點的閉環(huán)極點）對高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用。

4、例題已知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：求系統(tǒng)近似單位階躍響應(yīng)。解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的零極點形式為：-10-20-20.03-6071.4-71.40j由系統(tǒng)零極點分布圖可見，零點z1＝-20.03和極點p1＝-20構(gòu)成一對偶極子，可以消去，共軛復(fù)數(shù)極點p3,4＝-10±j71.4與極點p2＝-60相距很遠，p3,4為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點，p2對響應(yīng)的影響可以忽略，從而系統(tǒng)簡化為：系統(tǒng)的近似單位階躍響應(yīng)為：n=72.11rad/s，=0.139txo(t)0原系統(tǒng)等效二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)txo(t)0-10±j71.4-60-20瞬態(tài)輸出分量六、誤差分析和計算1、控制系統(tǒng)的偏差與誤差考慮圖示反饋控制系統(tǒng)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G(s)偏差信號(s)(s)=Xi(s)－B(s)＝Xi(s)－H(s)Xo(s)偏差信號(s)定義為系統(tǒng)輸入Xi(s)與系統(tǒng)主反饋信號B(s)之差，即：誤差信號E(s)誤差信號e(s)定義為系統(tǒng)期望輸出Xor(s)與系統(tǒng)實際輸出Xo(s)之差，即：E(s)=Xor(s)－Xo(s)控制系統(tǒng)的期望輸出Xor(s)為偏差信號(s)＝0時的實際輸出值，即此時控制系統(tǒng)無控制作用，實際輸出等于期望輸出：Xo(s)＝Xor(s)由：(s)=Xi(s)－H(s)Xor(s)＝0可得：Xor(s)＝Xi(s)/H(s)對于單位反饋系統(tǒng)，H(s)＝1，Xor(s)＝Xi(s)偏差信號(s)與誤差信號E(s)的關(guān)系對單位反饋系統(tǒng)：E(s)＝

(s)2、穩(wěn)態(tài)誤差及其計算穩(wěn)態(tài)誤差ess穩(wěn)態(tài)誤差：系統(tǒng)的期望輸出與實際輸出在穩(wěn)定狀態(tài)（t）下的差值，即誤差信號e(t)的穩(wěn)態(tài)分量：當(dāng)sE(s)的極點均位于s平面左半平面（包括坐標原點）時，根據(jù)拉氏變換的終值定理，有：穩(wěn)態(tài)誤差的計算系統(tǒng)在輸入作用下的偏差傳遞函數(shù)為：

即：利用拉氏變換的終值定理，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差為：穩(wěn)態(tài)誤差：H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G(s)對于單位反饋系統(tǒng)：顯然，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差(誤差)決定于輸入Xi(s)和開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)，即決定于輸入信號的特性及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。

例題已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

G(s)=1/Ts求其在單位階躍輸入、單位單位速度輸入、單位加速度輸入以及正弦信號sint輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差。解：該單位反饋系統(tǒng)在輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)為：在單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為：在單位速度輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為：在單位加速度輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為：sint輸入時：由于上式在虛軸上有一對共軛極點，不能利用拉氏變換的終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差。對上式拉氏變換后得：穩(wěn)態(tài)輸出為：而如果采用拉氏變換的終值定理求解，將得到錯誤得結(jié)論：此例表明，輸入信號不同，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差也不相同。3、穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的概念

穩(wěn)態(tài)位置誤差（偏差）系數(shù)單位階躍輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差稱為穩(wěn)態(tài)位置誤差（偏差）系數(shù)。其中，

穩(wěn)態(tài)速度誤差（偏差）系數(shù)單位速度輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差稱為穩(wěn)態(tài)速度誤差（偏差）系數(shù)。其中，對于單位反饋系統(tǒng)，易知：對于單位反饋系統(tǒng)，易知：

穩(wěn)態(tài)加速度誤差（偏差）系數(shù)單位加速度輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差稱為穩(wěn)態(tài)加速度誤差（偏差）系數(shù)。其中，結(jié)論當(dāng)輸入信號形式一定后，系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差取決于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。

對于單位反饋系統(tǒng)，易知：系統(tǒng)類型將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)寫成如下形式：

則：

即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）取決于系統(tǒng)的開環(huán)增益、輸入信號以及開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v。根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的多少，當(dāng)

v=0,1,2,…時，系統(tǒng)分別稱為0型、I型、Ⅱ型、……系統(tǒng)。

不同類型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差

0型系統(tǒng)

I型系統(tǒng)

Ⅱ型系統(tǒng)表1、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)偏差00KII型00KI型00K0型單位加速度輸入單位速度輸入單位階躍輸入KaKvKp穩(wěn)態(tài)偏差穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)系統(tǒng)類型

幾點結(jié)論

不同類型的輸入信號作用于同一控制系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差不同；相同的輸入信號作用于不同類型的控制系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差也不同。

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與其開環(huán)增益有關(guān)，開環(huán)增益越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小。

在階躍輸入作用下，0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為定值，常稱為有差系統(tǒng)；I型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0，常稱為一階無差系統(tǒng)；

在速度輸入作用下，II

型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

0，常稱為二階無差系統(tǒng)。xi(t)xo(t)t0xi(t)xo(t)0型系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)xi(t)xo(t)t0xi(t)xo(t)I型系統(tǒng)的單位速度響應(yīng)xi(t)xo(t)t0xi(t)xo(t)II型系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)

系統(tǒng)在多個信號共同作用下總的穩(wěn)態(tài)偏差誤差）等于多個信號單獨作用下的穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）之和。如：總的穩(wěn)態(tài)偏差：

如果輸入量非單位量時，其穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）按比例增加。

穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)只對相應(yīng)的階躍、速度及加速度輸入有意義。有擾動存在時的穩(wěn)態(tài)偏差1.僅由擾動產(chǎn)生的偏差2.僅由擾動產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)偏差3.輸入和擾動共同作用下的穩(wěn)態(tài)誤差（單位反饋）六系統(tǒng)誤差分析和計算系統(tǒng)總誤差

當(dāng)系統(tǒng)同時受到輸入信號Xi(s)和擾動信號N(s)作用時，由疊加原理，系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)偏差：穩(wěn)態(tài)誤差：六系統(tǒng)誤差分析和計算減小系統(tǒng)誤差的途徑，方法。1按干擾補償2按輸入補償

Xi(s)E(s)Xo(s)+-G1(s)G2(s)Gc(s)+例題系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，其中K1、K2、K3、K4、T為常數(shù)，試求當(dāng)輸入xi(t)=1+t以及擾動作用下，使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為零的K4值和G0(s)。K1G0(s)Xi(s)Xo(s)+_+_K4N(s)解：n(t)=0時K1Xi(s)Xo(s)_+K4系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：注：已知輸入作用下閉環(huán)傳遞函數(shù)時，穩(wěn)態(tài)誤差也可由其等效單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)通過穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)求解。要使系統(tǒng)對輸入xi(t)=1+t無穩(wěn)態(tài)誤差，Gi(s)需為II型系統(tǒng)，即1－K3

K4

=0?K4=1/K3

。只有擾動作用時(xi(t)=0)+G0(s)N(s)Xon(s)__減小穩(wěn)態(tài)誤差的方法提高系統(tǒng)開環(huán)增益；增加系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)；通過順饋控制或復(fù)合控制進行補償；第三章例題講解例3.1已知系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：求：1）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)；

2）系統(tǒng)阻尼比和無阻尼固有頻率n。解：1）

2）對比二階系統(tǒng)的標準形式：

有：

例3.2已知系統(tǒng)方框圖如下：圖中虛線方框稱為“比例＋微分”控制。求系統(tǒng)的上升時間tr、峰值時間tp、調(diào)節(jié)時間ts

及最大超調(diào)量Mp。并分析“比例