高中數(shù)學(xué)人教A版第二章基本初等函數(shù)（Ⅰ）指數(shù)函數(shù) 優(yōu)秀

8．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪張長(zhǎng)印學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，理解次方根式的概念．2．熟練掌握用根式與分?jǐn)?shù)指導(dǎo)數(shù)冪表示一個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)根．3．能運(yùn)用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算和化簡(jiǎn)，會(huì)進(jìn)行根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的相互轉(zhuǎn)化．一、夯實(shí)基礎(chǔ)基礎(chǔ)梳理1．整數(shù)指數(shù)冪的概念．（1）正整數(shù)指數(shù)冪：．（2）零指數(shù)冪：．（3）負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：．2．整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：（1）；（2）；（3）．3．如果一個(gè)數(shù)的平方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的平方根；如果一個(gè)數(shù)的立方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的立方根．4．如果，那么叫做的次方根，其中，且．（1）當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)．此時(shí)，的次方根用符號(hào)表示．（2）當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)．此時(shí)，正數(shù)的正的次方根用符號(hào)表示，負(fù)的次方根有符號(hào)表示．正的次方根與負(fù)的次方根可以合并成．（3）負(fù)數(shù)沒有偶次方根．0的任何次方根都是0，記作．（4）式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．（5）負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是，記作．5．次方根的意義，．6．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（1）正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：__________（）（2）正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：__________（）0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．7．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則：（1）__________（）（2）__________（）（3）__________（）基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．將化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，其正確的形式是（）A． B． C． D．2．可化簡(jiǎn)為（）．A．1 B． C． D．3．下列各式中成立的是（）A． B． C． D．4．27的平方根和立方根分別是__________．5．化簡(jiǎn)__________．二、學(xué)習(xí)指引自主探究1．初中，我們學(xué)過平方根、立方根這一重要數(shù)學(xué)概念，請(qǐng)敘述平方根、立方根這兩個(gè)概念內(nèi)容，并指出它們的表示方法．2．冪指數(shù)表示與我們的生活息息相關(guān)，下一列實(shí)際問題的結(jié)果果都要用到冪指數(shù)表示，請(qǐng)用冪指數(shù)把它們的結(jié)果表示出來，并總結(jié)這些問題的共同特點(diǎn)．（1）某市人口平均每年增長(zhǎng)率為，2000年人口數(shù)為1萬，則3年后人口數(shù)為多少萬？（2）國(guó)務(wù)院發(fā)展研究中心在2000年分析，我國(guó)未來20年（國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值）年平均增長(zhǎng)率為，則十年后為2000年的多少倍？（3）生物死亡后，體內(nèi)碳14每過5730年衰減一半（半衰期），則死亡年后體內(nèi)碳14的含量與死亡時(shí)碳14的關(guān)系為？（4）某人有銀行存入萬元，年利率為，按復(fù)利計(jì)算，5年后，從銀行連本帶息全部取出，他能取出多少錢？3．閱讀課本，請(qǐng)敘述根式的概念．4．請(qǐng)總結(jié)根式運(yùn)算性質(zhì)及根式化簡(jiǎn)方法．5．閱讀課本，看看分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是如何規(guī)定的？指數(shù)冪有哪些運(yùn)算性質(zhì)？案例分析1．求下列各式的值：（1）；（2）；（3）．【解析】（1）；（2）；（3）．2．用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式：（1）；（2）；（3）．【解析】根式運(yùn)算一般先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪再進(jìn)行運(yùn)算比較方便．（1）；（2）；（3）．3．求下列函數(shù)的定義域；（1）；（2）．【解析】（1）有意義當(dāng)且僅當(dāng)；對(duì)一切實(shí)數(shù)都有意義：有意義當(dāng)且僅當(dāng)，故所求函數(shù)定義域?yàn)椋海?）有意義當(dāng)且僅當(dāng)；有意義當(dāng)且僅當(dāng)，故所求函數(shù)定義域?yàn)椋海?．已知，若，求．【解析】由得，，即．所以，故．5．從盛滿1升純酒精的容器中倒出升，然后用水填滿，再倒出升，又用水填滿，這樣進(jìn)行5次，則容器中剩下的純酒精的升數(shù)為多少？【解析】設(shè)第次倒完后容器中剩下的純酒精的升數(shù)為，則第次倒完后容器中剩下的純酒精的升數(shù)為，則從第1次開始，容器中剩下的純酒精的升數(shù)依次為：，，，，．這樣進(jìn)行5次，容器中和剩下的純酒精的升數(shù)為．三、能力提升能力闖關(guān)1．已知，求的值．2．化簡(jiǎn)．3．設(shè)．（1）將化簡(jiǎn)為關(guān)于的冪的形式．（2）是否存在，使得是關(guān)于的整數(shù)指數(shù)冪？拓展遷移1．化簡(jiǎn)得（）A． B． C． D．2．已知實(shí)數(shù)滿足方程．（1）試找出一組滿足方程的實(shí)數(shù)；（2）化簡(jiǎn)方程，使結(jié)果不含根式．挑戰(zhàn)極限1．是否存在無理數(shù)，使得是有理數(shù)？若存在，請(qǐng)舉例說明；若不存在，請(qǐng)說明理由．課程小結(jié)1．對(duì)于根式符號(hào)，要注意以下幾點(diǎn)；（1）當(dāng)時(shí)，一般省略不寫，即；（2）0的次方根一定為0，即；（3）當(dāng)是大于1的奇數(shù)時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有意義，它表示實(shí)數(shù)的次方根，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．（4）當(dāng)是大于1的偶數(shù)時(shí)，對(duì)任意非負(fù)實(shí)數(shù)，都有意義，且時(shí)，它表示正數(shù)的正的次方根，是一個(gè)確定的正實(shí)數(shù)，另一個(gè)負(fù)的次方根為．2．若，，則（哦奇數(shù)時(shí)，可取一切實(shí)數(shù)；為偶數(shù)時(shí)，）；3．對(duì)于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪根，要注意以下幾點(diǎn)：（1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是根式的另一種表示形式．，（，且），0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義，．（2）引入分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后，指數(shù)概念就實(shí)現(xiàn)了由整數(shù)到有理數(shù)的擴(kuò)充，同樣，運(yùn)算性質(zhì)也擴(kuò)充了適用范圍：設(shè)，則，．（3）進(jìn)行根式運(yùn)算一般先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪再進(jìn)行運(yùn)算往往比較方便，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的計(jì)算與化簡(jiǎn)，要注意多項(xiàng)式乘法分式的應(yīng)用．

8．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪基礎(chǔ)梳理6．（，且）：（，且）．7．（）：：基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．．2．．【解析】．3．．【解析】A．；B．；C．；D．．4．，．【解析】因?yàn)椋缘钠椒礁袃蓚€(gè)：與；而，所以的立方根是．5．．【解析】．自主探究1．【解析】平方根、立方根含義及符號(hào)表示如下：（1）如果，那么叫做的平方根．正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)，其中正平方根稱為算術(shù)平方根，記作，負(fù)平方根記作，的平方根記為．（2）如果，那么叫做的立方根．若，則；若，則；若，則．實(shí)數(shù)的立方根是唯一的，記作：．2．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．這些問題的共同特點(diǎn)就是：?jiǎn)栴}都是和變化率有關(guān)，且這些變化率是固定常數(shù)．3．【解析】一般地，若，那么叫做的次方根，其中．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正常的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)．記為．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，記為；負(fù)數(shù)沒有偶次方根．的次方根都是，記作．4．【解析】根式有如下運(yùn)算性質(zhì)：（1）；（2）；（3）．化簡(jiǎn)方法：當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，5．【解析】分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定如下：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；若是正分?jǐn)?shù)，則；符號(hào)沒有意義．指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)規(guī)定如下：（1）；；（2）；（3）．從上述運(yùn)算性質(zhì)，我們可以看出：若，則．能力闖關(guān)1．【解析】由得，兩邊平方得，所以，．2．【解析】原式．3．【解析】（1）．（2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，可化為關(guān)于的整數(shù)指數(shù)冪．說明：確定指數(shù)為整數(shù)時(shí)，可在的允許取值范圍內(nèi)由小到大依次取值檢驗(yàn)，決定取舍．拓