高中數(shù)學蘇教版1第2章圓錐曲線與方程 全國一等獎2

學業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標]一、填空題1．拋物線y＝2x2的焦點坐標是________．【解析】∵拋物線y＝2x2的標準方程是x2＝eq\f(1,2)y，∴2p＝eq\f(1,2)，p＝eq\f(1,4)，eq\f(p,2)＝eq\f(1,8)，∴焦點坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))2．拋物線y2＝10x的焦點到準線的距離是________．【解析】∵2p＝10，p＝5，∴焦點到準線的距離為5.【答案】53．以原點為頂點，坐標軸為對稱軸，并且準線經(jīng)過P(－2，－4)的拋物線方程為________．【解析】若拋物線的準線為x＝－2，則拋物線的方程為y2＝8x；若拋物線的準線為y＝－4，則拋物線的方程為x2＝16y.【答案】y2＝8x或x2＝16y4．已知拋物線y＝4x2上一點M到焦點的距離為1，則點M的坐標是________.【導學號：09390042】【解析】設(shè)M(x0，y0)，把拋物線y＝4x2化為標準方程，得x2＝eq\f(1,4)y.則其準線方程為y＝－eq\f(1,16)，由拋物線的定義，可知y0－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,16)))＝1，得y0＝eq\f(15,16)，代入拋物線的方程，得xeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,4)×eq\f(15,16)＝eq\f(15,64)，解得x0＝±eq\f(\r(15),8)，則M的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(15),8)，\f(15,16))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(15),8)，\f(15,16)))5．拋物線x2＝2y上的點M到其焦點F的距離MF＝eq\f(5,2)，則點M的坐標是________．【解析】設(shè)點M(x，y)，拋物線準線為y＝－eq\f(1,2)，由拋物線定義，y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(5,2)，y＝2，所以x2＝2y＝4，x＝±2，所以點M的坐標為(±2,2)．【答案】(±2,2)6．已知F是拋物線y2＝x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，AF＋BF＝3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為________．【解析】如圖，由拋物線的定義知，AM＋BN＝AF＋BF＝3，CD＝eq\f(3,2)，所以中點C的橫坐標為eq\f(3,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)，即C到y(tǒng)軸的距離為eq\f(5,4).【答案】eq\f(5,4)7．若動圓與圓(x－2)2＋y2＝1外切，又與直線x＋1＝0相切，則動圓圓心的軌跡方程為________．【解析】設(shè)動圓半徑為r，動圓圓心O′(x，y)到點(2,0)的距離為r＋′到直線x＝－1的距離為r，∴O′到(2,0)的距離與O′到直線x＝－2的距離相等，由拋物線的定義知動圓圓心的軌跡方程為y2＝8x.【答案】y2＝8x8．在平面直角坐標系xOy中，有一定點A(2,1)．若線段OA的垂直平分線過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，則該拋物線的準線方程是________．【解析】由題意可求出線段OA的垂直平分線交x軸于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，0))，此點為拋物線的焦點，故準線方程為x＝－eq\f(5,4).【答案】x＝－eq\f(5,4)二、解答題9．已知拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上，拋物線上的點M(－3，m)到焦點的距離等于5，求拋物線的標準方程和m的值．【解】法一：由題意可設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p>0)，則焦點為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，因為點M在拋物線上，且MF＝5，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＝6p，,\r(m2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(p,2)))2＝5，)))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝2\r(6)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝－2\r(6).))故所求的拋物線方程為y2＝－8x，m的值為±2eq\r(6).法二：由題可設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p>0)，則焦點為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，準線方程為x＝eq\f(p,2)，根據(jù)拋物線的定義，點M到焦點的距離等于5，也就是M到準線的距離為5，則3＋eq\f(p,2)＝5，∴p＝4，∴拋物線方程為y2＝－8x.又點M(－3，m)在拋物線上，∴m2＝24，∴m＝±2eq\r(6).10．求焦點在x軸上，且焦點在雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1上的拋物線的標準方程．【解】由題意可設(shè)拋物線方程為y2＝2mx(m≠0)，則焦點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，0)).∵焦點在雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1上，∴eq\f(m2,4×4)＝1，求得m＝±4，∴所求拋物線方程為y2＝8x或y2＝－8x.能力提升]1．設(shè)M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心，F(xiàn)M為半徑的圓和拋物線C的準線相交，則y0的取值范圍是________.【導學號：09390043】【解析】圓心到拋物線準線的距離為p＝4，根據(jù)已知，只要FM>4即可．根據(jù)拋物線定義，F(xiàn)M＝y(tǒng)0＋2，由y0＋2>4，解得y0>2.故y0的取值范圍是(2，＋∞)．【答案】(2，＋∞)2．設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點F，且和y軸交于點A，若△OAF(O為坐標原點)的面積為4，則拋物線的方程為________．【解析】因為拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點F的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，所以直線l的方程為y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,4)))，它與y軸的交點為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(a,2)))，則△OAF的面積為eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝4，解得a＝±8，故拋物線的方程為y2＝8x或y2＝－8x.【答案】y2＝8x或y2＝－8x3．已知點P是拋物線y2＝4x上的點，設(shè)點P到拋物線準線的距離為d1，到圓(x＋3)2＋(y－3)2＝1上的一動點Q的距離為d2，則d1＋d2的最小值是________．【解析】由拋物線的定義得P到拋物線準線的距離為d1＝PF，d1＋d2的最小值即為拋物線的焦點F(1,0)到圓(x＋3)2＋(y－3)2＝1上的一動點Q的距離的最小值，最小值為F與圓心的距離減半徑，即為4，故填4.【答案】44．如圖2-4-1所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由長方形的三條邊和拋物線的一段構(gòu)成，為保證安全，要求行駛車輛頂部(設(shè)為平頂)與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5米．圖2-4-1(1)以拋物線的頂點為原點O，其對稱軸所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系(如圖)，求該拋物線的方程；(2)若行車道總寬度AB