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組合數(shù)學(xué)中的計(jì)數(shù)原理一 組合數(shù)學(xué)中的著名問(wèn)二 排=8,=3,玩家一共可以填出的3匹馬號(hào)的排列數(shù)為如果在個(gè)元素中取出個(gè)元素進(jìn)行排列,這個(gè)元素可以重復(fù)出現(xiàn),那么排列數(shù)則有如下公式83=三 組四 要點(diǎn)考注意:0!=1; =????+ ;????=
???? (n?
???? 兩個(gè)公式:①???? ②????+?????1
??!(n? 五 典型例題140404組進(jìn)行單循環(huán)賽,第二輪由各組的前兩名再進(jìn)行單3、(交大)2005!的末尾有連 個(gè)4、某公司欲在某一條街一側(cè)的6個(gè)燈箱中任意布置5個(gè)不同的,中間包括一個(gè)特定的公益。如果要求其中有兩個(gè)燈箱必須布置這個(gè)公益,則公司恰好將公益布置在兩個(gè)相鄰的燈箱中的方法種數(shù)為。79名翻譯中,6名懂英語(yǔ),453人擔(dān)任英語(yǔ)翻譯,2人擔(dān)任日語(yǔ)①1,3,5,7,9,
數(shù)學(xué)歸納法②1,2,6,15,31,一 數(shù)學(xué)歸納法的一般形式(此章適合復(fù)旦班,華約班,名校班例1.1證明:在2n2n的正方形格子中,任意挖去一個(gè)格子,余下的部分均可用及其旋轉(zhuǎn)的四種圖形覆蓋,1.2an,滿(mǎn)足a3a3a3aaa)2,求a 第二歸納法的其他形式(第三歸納法1.3若數(shù)列an滿(mǎn)足a15,a212,且對(duì)一切正整數(shù)n,an25an16an,求an的通項(xiàng)公將質(zhì)數(shù)從小到大編號(hào),2算作第一個(gè)質(zhì)數(shù),3算作第二個(gè),依次類(lèi)推,求證:n個(gè)質(zhì)數(shù)參加過(guò)一次比試,試求n所有可能的值(2012年華約自主招生試題)二 數(shù)學(xué)歸納法的其他形式(此講義適合華約班、名校班例2.1設(shè)a,a,...a是n個(gè)整數(shù),求證 a1a2...an(均值不等式的證明
na1a2 例2.2數(shù)列Fn滿(mǎn)足:F11,F21,Fn2Fn1Fn(n ),證明F2F2
(nmn!(m函數(shù)f:NN具有如下性質(zhì):(1)f(2)2 (2)對(duì)任意的正整數(shù)m,n,f(mn)f(m)f(n) 正整數(shù)m,n,mn,有f(m)f(n) 證明:f(n)n數(shù)列ana
3l2,a2l
1l(4l23l2l
,S
1l(4l23l1)f(mn滿(mǎn)足:f(mnf(mn1)f(m1,nmnmn2f(1,nf(m,1mnN,證明:f(mnk①an:a11,ak1ak
數(shù)列遞歸方法②an:a14,a27,an16an③aa2 an 2an一、 №1.線性遞歸型數(shù)列(本講適合復(fù)旦班,華約班)k階線性遞歸數(shù)列:nk階線性遞歸數(shù)列例1.1已知數(shù)列a滿(mǎn)足:a2,a2 2,求a的通項(xiàng)公 3 不動(dòng)點(diǎn): 1.2已知數(shù)列ana12,a24,以及遞推關(guān)系:an24an1一.求證an例1.3已知數(shù)列a滿(mǎn)足ats,ats2,ats3,且有遞推關(guān)系: qa,求證:at 1.4問(wèn)什么樣的等比數(shù)列xn,才能滿(mǎn)足xn2pxn1qxn呢?(假設(shè)pq給定1.5求證:假設(shè)等比數(shù)列xnyn均滿(mǎn)足遞推xn2pxn1qxn,則數(shù)列an=xnyn也滿(mǎn)足遞推關(guān)系an2pan1qan 特征方程:二階線性遞推數(shù)列an2pan1qan,以及給定a1a2的統(tǒng)一求法 (1)若特征方程有兩個(gè)不同的根xxnyyna 1.6若數(shù)列an滿(mǎn)足a15a212,且對(duì)一切正整n,an25an16an,求an
xny)nxyaa 1.7.已知數(shù)列an滿(mǎn)足:an26an19an,a16,a254,求an的通1.810n階樓梯的不*高階其次線性遞推數(shù)列的求法1.9設(shè)數(shù)列an滿(mǎn)足通項(xiàng)公式:3an34an2an12an,且a1a21a32,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式已知數(shù)列a滿(mǎn)足遞推關(guān)系:a1, 3a2n24n4(n=1,2...),求數(shù)列a的通項(xiàng)公式 a2已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1a21,an ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式已知數(shù)列a定義如下:a1, 1(14a ),求數(shù)列a的通項(xiàng)公式.并求出a的極
(2 3)n(2證明:對(duì)(2 3)n(22設(shè)數(shù)列ab滿(mǎn)足a1b0,an17an6bn3,求證a的每一項(xiàng)均為某個(gè)整數(shù)的平方
8a7b *№2分式型遞歸數(shù)列(本講適合華約班)1一階分式型遞推數(shù)列 axnb以及給定a的統(tǒng)一求法1
cxn 2a nnn 7an9,(n1,2,...),求數(shù)列a的通項(xiàng)公n a 不等一 基本不等aabbab,bcaabab0(作差法ab0a1(作商法babaccb(三角不等式nna1a2 調(diào)和平均數(shù):Hn
1
...
aa...算術(shù)平均數(shù):An 2
a 2 nHGAQaaa 2 n n 記兩列數(shù)分別是a,b,則有n
ab
i f 為上凸函數(shù)(滿(mǎn) fx1fx2fx1x2 ), f(x1x2...xn)f(x1)f(x2)...f(xn f(a1x1a2x2...anxn)a1f(x1)a2f(x2)...anf(xn ai 二 例題精 求證:xmnymnxmynxnym,其中x,y0,m,n1a 求證 (a 求證:x4y4z4x2y2y2z2z2x2xyzxyz,其中x,y,z01【例4 4
形的三條邊的邊長(zhǎng),令u=111且
A. B. C. 已知x,y0,x2y1,
a,b,c0且abc1,證明abbcca6】求sin3cos3x22x5 x22x5 x24xgx求fx的最小gx的最大 【例8】求證:1 ... 91*3*5*7...*992*4*6 三 練 1Cauchy(a2)(b2)
i 2、已知aaa...a1,求證 a a a 3M0,NnN1k1復(fù) 關(guān)于復(fù)數(shù)的模運(yùn)算,最顯然的做法是設(shè)出z=a+bi然后z 2Rez=1z+z22Imz=1zz2z2 A. 二 復(fù)數(shù)的幾何意a 在復(fù)平面中,一個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面上的一個(gè)向量。即z=a+bi對(duì)應(yīng)ab,那么arctanbargz由此引申a 1 1 計(jì)算arctan arcsin argzRezImzzz0zz1zzz1z
寫(xiě)出下面式子代表的z1z2z3z4的幾何關(guān)系z(mì)
z4 1 z3
z4 n P,P,....P是平面上的n個(gè)點(diǎn),求點(diǎn)A,使得PA2達(dá)到最小值n i三 多項(xiàng)式與單位 求C0+C3+C6 【例6 (千分考2011.135)設(shè)有復(fù)數(shù)ω1=?1+√3i,ω2=cos2??+isin2??,令ω=ω1ω2,則復(fù)數(shù) 四 練1A1A2A3A4是圓內(nèi)接四邊形,H1H2H3H4A2A3A4A1A3A4A1A2A4
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