高中數(shù)學蘇教版2逆變換與逆矩陣 名師獲獎

學業(yè)分層測評(九)學業(yè)達標]1.如圖2-6-6試用矩陣表示下列網(wǎng)絡圖(一級路矩陣和二級路矩陣)：圖2-6-6【解】(1)一級路矩陣M＝，二級路矩陣N＝.(2)一級路矩陣P＝，二級路矩陣Q＝.2.小明家附近有兩個公共汽車站A和B，小明上學總是到這兩個公共汽車站乘車且他到A站乘車的概率是eq\f(1,3).已知在A站他可以搭乘3路或者8路上學，且搭每一路汽車的概率相等，而在B站他只能搭乘3路上學，問小明搭3路汽車上學的概率有多大？【導學號：30650059】【解】由題意知：所以小明乘3路汽車上學的概率為eq\f(5,6).3.一家食品店做三種不同規(guī)格的生日蛋糕，每種蛋糕配料的比例(取適當單位質(zhì)量來度量)，可以用下面的配料矩陣M表示根據(jù)預訂，該食品店要做A種的兩個，B種的四個，C種的三個，各種配料的單位質(zhì)量的單價(以元為單位)用物價向量P表示試計算完成預訂所需各種配料的總量及總成本.【解】預訂向量N可表示為N＝，則完成預訂所需各種配料的總量為N·M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(243))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(288\f(3,4)5,\f(3,2)66\f(1,2)4,144\f(1,4)3))＝，總成本為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(135252\f(17,4)35))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(711,2)))，即所需的總成本355eq\f(1,2)元.4.某人進行股票投資，獲利與虧損的規(guī)律為：如果某年投資獲利，則第二年投資虧損的概率為eq\f(2,3)；如果某年投資虧損，則第二年投資獲利的概率為eq\f(1,2)，假設2023年他獲利的概率為eq\f(3,4).(1)求他2023年投資獲利的概率；(2)問他2023年與2023年哪一年投資獲利機會大？【解】(1)2023年他獲利的概率為eq\f(3,4)，則投資虧損的概率為eq\f(1,4)，它可以用W＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4),\f(1,4)))表示.2023年他獲利與虧損的概率為W2023＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\f(1,2),\f(2,3)\f(1,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4),\f(1,4)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8),\f(5,8)))，所以2023年他獲利的概率為eq\f(3,8).(2)2023年獲利與虧損的概率為W2023＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\f(1,2),\f(2,3)\f(1,2)))eq\s\up35(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4),\f(1,4)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\f(1,2),\f(2,3)\f(1,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8),\f(5,8)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,16),\f(9,16))).所以2023年他獲利的概率eq\f(7,16)，2023年投資他獲利機會大.5.根據(jù)教材P78例5的原理，約定可逆矩陣為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(23,45))，現(xiàn)已知發(fā)送的密碼為73，137，28，56，試破解這種密碼.【解】據(jù)例5，令B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(7328,13756))，A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(23,45))，則由A－1B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)\f(3,2),2－1))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(7328,13756))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2314,90))，即發(fā)送方所發(fā)密碼對應的明碼為23，9，14，0，再對照英文字母表知所發(fā)信息為“win”.能力提升]6.假設兩個相互影響的種群X、Y隨時間段變化的數(shù)量分別為{an}，{bn}，有關系式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an＋1＝an＋2bn，,bn＋1＝3an＋2bn.))其中a1＝6，b1＝4.試分析20個時段后這兩種種群的數(shù)量變化趨勢.【導學號：30650060】【解】設β＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a1,b1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6,4))，M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,32))，則由題意，得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(an＋1,bn＋1))＝Meq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(an,bn)).因此，M的特征多項式為f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－1－2,－3λ－2))＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得特征值為λ1＝4，λ2＝－1，不難得它們對應的特征向量為α1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,3))，α2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1)).又因為β＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6,4))＝2α1＋2α2，所以eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a21,b21))＝Meq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a20,b20))＝M2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a19,b19))＝…＝M20eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a1,b1)).而M20eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a1,b1))＝M20β＝M20(2α1＋2α2)＝2M20α1＋2M20α2，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a21,b21))＝2×420eq\b\lc\[\