高中數(shù)學(xué)人教A版第一章三角函數(shù) 任意角的三角函數(shù)學(xué)案

2023學(xué)年高一年級數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案（2023學(xué)年高一年級數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案（32）班級姓名學(xué)號編寫：趙海通審閱：侯國會§1.2.1任意角的三角函數(shù)（1）2．借助任意角三角函數(shù)的定義理解并掌握正弦、余弦、正切函數(shù)在各象限內(nèi)的符號．3．通過對任意角的三角函數(shù)定義的理解，掌握終邊相同角的同一三角函數(shù)值相等．學(xué)習(xí)重點(diǎn)：任意角的三角函數(shù)學(xué)習(xí)難點(diǎn)：理解并掌握正弦、余弦、正切函數(shù)在各象限內(nèi)的符號【學(xué)法指導(dǎo)】1．在初中所學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上過渡到任意角三角函數(shù)的概念．2．緊扣任意角的三角函數(shù)的定義來掌握三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律以及誘導(dǎo)公式一的記憶．3．理解任意角三角函數(shù)的定義不僅是學(xué)好本節(jié)內(nèi)容的關(guān)鍵，也是學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵.一．知識導(dǎo)學(xué)1．任意角三角函數(shù)的定義(1)在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么：①y叫做α的，記作，即；②x叫做α的，記作，即；③eq\f(y,x)叫做α的，記作，即．對于確定的角α，上述三個(gè)值都是唯一確定的．故正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù)．(2)設(shè)角α終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，它與原點(diǎn)的距離為r，則sinα＝___，cosα＝___，tanα＝___.2．正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限的符號3．誘導(dǎo)公式一終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值，即：sin(α＋k·2π)＝，cos(α＋k·2π)＝，tan(α＋k·2π)＝，其中k∈Z.二．探究與發(fā)現(xiàn)【探究點(diǎn)一】銳角三角函數(shù)的定義問題1Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知a＝3，b＝4，c＝5，試求sinA，cosB，sinB，cosA，tanA，tanB的值．問題2如圖，銳角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，在α終邊上任取一點(diǎn)P(a，b)，它與原點(diǎn)的距離為r，作PM⊥x軸，你能根據(jù)直角三角形中三角函數(shù)的定義求出sinα，cosα，tanα嗎？問題3如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心，以單位長度為半徑的圓為單位圓．銳角α的終邊與單位圓交于P(x，y)點(diǎn)，則有：sinα＝，cosα＝，tanα＝.【探究點(diǎn)二】任意角三角函數(shù)的概念關(guān)于任意角三角函數(shù)的定義，總的來說就兩種：“單位圓定義法”與“終邊定義法”．根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例．可知這兩種定義方法本質(zhì)上是一致的．問題1單位圓定義法：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么：叫做α的正弦，記作sinα，即sinα＝；叫做α的余弦，記作cosα，即cosα＝；eq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα，即tanα＝(x≠0)．問題2終邊定義法：設(shè)角α終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，它與原點(diǎn)的距離為r，則有sinα＝___，cosα＝___，tanα＝___(x≠0)，其中r＝eq\r(x2＋y2)>0.問題3由三角函數(shù)的定義知，三角函數(shù)值是一個(gè)比值，即一個(gè)實(shí)數(shù)，它的大小只與角α的終邊位置有關(guān)，即與角有關(guān)，與角α終邊上P點(diǎn)的位置無關(guān)．請以角α為第二象限角為例，借助三角形相似的知識證明上述兩種定義是一致的．問題4利用任意角三角函數(shù)的定義推導(dǎo)特殊角的三角函數(shù)值.角α0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)sinαcosαtanα【探究點(diǎn)三】三角函數(shù)值在各象限的符號三角函數(shù)的定義告訴我們，三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號，取決于x，y的符號．(1)sinα＝eq\f(y,r)(r>0)，因此sinα的符號與y的符號相同，當(dāng)α的終邊在第象限時(shí)，sinα>0；當(dāng)α的終邊在第象限時(shí)，sinα<0.(2)cosα＝eq\f(x,r)(r>0)，因此cosα的符號與x的符號相同，當(dāng)α的終邊在第象限時(shí)，cosα>0；當(dāng)α的終邊在第象限時(shí)，cosα<0.(3)tanα＝eq\f(y,x)，因此tanα的符號由x、y確定，當(dāng)α終邊在第象限時(shí)，xy>0，tanα>0；當(dāng)α終邊在第象限時(shí)，xy<0，tanα<0.三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號，如圖所示：三角函數(shù)值的符號在以后學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到，必須熟記，可根據(jù)定義記，也可按以下口訣記憶：一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)．【探究點(diǎn)四】誘導(dǎo)公式一由任意角的三角函數(shù)的定義可以知道，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．由此得到誘導(dǎo)公式一：sin(k·360°＋α)＝sinα，cos(k·360°＋α)＝cosα，tan(k·360°＋α)＝tanα，其中k∈Z，或者：sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosα，tan(2kπ＋α)＝tanα，其中k∈Z.誘導(dǎo)公式一的作用是將求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求0°～360°的三角函數(shù)值．例如：sin420°＝sin60°＝eq\f(\r(3),2)；cos(－330°)＝＝；tan(－315°)＝＝.【典型例題】例1．已知角α的終邊上一點(diǎn)P(－15a,8a)(a∈R且a≠0)，求α跟蹤訓(xùn)練1。已知角θ的終邊上一點(diǎn)P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝eq\f(\r(10),10)x，求sinθ，tanθ.例2．求下列各式的值．(1)coseq\f(25π,3)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))；(2)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°.跟蹤訓(xùn)練2。求下列各式的值．(1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,3)))＋taneq\f(17π,4)；(2)sin630°＋tan1125°＋tan765°＋cos540°.例3．判斷下列各式的符號：(1)sinα·cosα(其中α是第二象限角)；(2)sin285°cos(－105°)；(3)sin3·cos4·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,4))).小結(jié)準(zhǔn)確確定三角函數(shù)值中角所在象限是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)在各象限的符號是解決這類問題的關(guān)鍵．可以利用口訣“一全正、二正弦、三正切、四余弦”來記憶．跟蹤訓(xùn)練3。(1)若sinαcosα<0，則α是第_________象限角．(2)代數(shù)式：sin2·cos3·tan4的符號是________．三．鞏固訓(xùn)練1．sin(－1380°)的值為 ()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)2．如果角α的終邊過點(diǎn)P(2sin30°，－2cos30°)，則cosα的值等于()\f(1,2) B．－eq\f(1,2) C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)3．若點(diǎn)P(3，y)是角α終邊上的一點(diǎn)，且滿足y<0，cosα＝eq\f(3,5)，則tanα等于 ()A．－eq\f(3,4) B．eq\f(3,4) C．eq\f(4,3) D．－eq\f(4,3)4．如果sinx＝|s