機械工程測試技術(shù)基礎(chǔ) 第一章

學(xué)習(xí)本課程應(yīng)達(dá)到的目的1、掌握信號的時域和頻域的描述方法，建立明確的信號頻譜結(jié)構(gòu)的概念；掌握頻譜分析或相關(guān)分析的基本原理和方法。2、掌握測試裝置的基本特性和不失真測試條件，并能正確地運用于測試裝置的分析和選擇。掌握一階、二階線性系統(tǒng)動態(tài)特性及其測定方法。3、了解常用傳感器、常用信號調(diào)理電路和記錄儀器的工作原理和性能，并能較合理地選用。4、對動態(tài)測試工作的基本問題有一個比較完整的概念，并能初步運用于機械工程中某些參量的測試。2/5/20231第一節(jié)

信號的分類與描述第二節(jié)周期信號與離散頻譜第三節(jié)瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜第四節(jié)隨機信號第一章信號及其描述回主目錄2/5/20232第一節(jié)、信號的分類與描述一、信號的分類二、信號的描述2/5/20233第一節(jié)、信號的分類與描述2/5/20234周期信號

是按一定時間間隔周而復(fù)始出現(xiàn)，無始無終的信號。

式中T

0—周期

彈簧振子

非周期信號

是確定性信號中不具有周期重復(fù)性的信號。

彈簧振子

隨機信號

是不能準(zhǔn)確預(yù)測其未來瞬時值，無法用數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的信號。

第一節(jié)、信號的分類與描述一、信號的分類（1）目錄2/5/20235轉(zhuǎn)換第一節(jié)、信號的分類與描述（2）目錄連續(xù)信號

是其數(shù)學(xué)表示式中的獨立變量取值是連續(xù)的信號。若獨立變量和幅值取連續(xù)的稱為模擬信號。離散信號

是其數(shù)學(xué)表示式中的獨立變量取值是離散的信號。2/5/20236能量有限信號（能量信號）當(dāng)滿足時，則認(rèn)為信號的能量是有限的。例如有限時間段內(nèi)的矩形脈沖信號、衰減指數(shù)函數(shù)等。

彈簧振子

功率有限信號（功率信號）信號在區(qū)間的能量是無限的，但在有限區(qū)間的平均功率是有限的，即第一節(jié)、信號的分類與描述（3）目錄彈簧振子2/5/20237周期信號功率信號非周期信號能量信號目錄2/5/20238時域描述以時間t為獨立變量的，直接觀測或記錄到的信號。信號時域描述直觀地出信號瞬時值隨時間變化的情況。頻域描述信號以頻率f為獨立變量，稱為信號的頻域描述。反映信號的頻率組成及其幅值、相角之大小。第一節(jié)、信號的分類與描述二、信號的描述實際，兩種描述方法可以相互轉(zhuǎn)換，包含同樣的信息目錄2/5/20239周期方波的時域、頻域描述由上圖可以看到，時域周期方波經(jīng)過一定的方法進行變換之后，可以得到其頻域描述——幅頻譜圖和相頻譜圖。2/5/202310一、傅立葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式二、傅立葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式三、周期信號的強度表述第二節(jié)、周期信號與離散頻譜2/5/202311第二節(jié)、周期信號與離散頻譜周期信號分解的條件：狄里赫利條件：

一周期信號若能分解為諧波分量，代表這一周期信號的函數(shù)f(t)應(yīng)當(dāng)滿足下列條件：在一周期內(nèi)，函數(shù)是絕對可積的，即應(yīng)為有限值；在一周期內(nèi)，函數(shù)的極值數(shù)目為有限；在一周期內(nèi)，函數(shù)f(t)或者為連續(xù)的，或者具有有限個第一類的間斷點，即當(dāng)t從較大的時間值和較小的時間值分別趨向間斷點時，函數(shù)具有兩個不同的有限的函數(shù)值。2/5/202312一、傅立葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式在有限的區(qū)間上，凡滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)（信號）可以展開成傅立葉級數(shù)。含義例題進入復(fù)指數(shù)第二節(jié)、周期信號與離散頻譜2/5/202313常值分量余弦分量的幅值正弦分量的幅值周期圓頻率，返回三角展開式2/5/202314求右圖周期性三角波的傅立葉級數(shù)解：在x(t)的一個周期中可表示為常值分量返回小結(jié)Ⅰ2/5/202315返回余弦分量的幅值正弦分量的幅值2/5/202316返回說明結(jié)果：返回周期頻譜特點2/5/202317對于例1-1的小結(jié)

周期性三角波頻譜，其幅頻譜只包含常值分量、基波、和奇次諧波的頻率分量，諧波的幅值以1/n2的規(guī)律收斂。在其相頻譜中基波和各次諧波的初相位為均為零。返回2/5/202318第二節(jié)、周期信號與離散頻譜傅立葉級數(shù)的物理意義對任一以T為周期的波信號f(t)都可分解為一系列的簡諧波Xn(t)＝Ancos(nω0t+φn)之和。其中n＝1時的諧波稱為基波，其角頻率ω0稱為基頻。一般，n次諧波的角頻率是基頻的n倍，振幅An反映了角頻率為nω0的n次諧波在f(t)中所占的比重;而φn表示n次諧波沿時間軸移動的大小，稱為相位。在工程技術(shù)上，一般把振幅An稱為周期函數(shù)f(t)的頻譜，振幅An與角頻率nω0的關(guān)系圖稱為頻譜圖。頻譜圖完全刻畫了波信號f(t)的頻率特性，在工程技術(shù)中有廣泛應(yīng)用。若把振幅An與角頻率nω0的關(guān)系記為An

＝F(nω0)，由于n＝1,2……所以頻譜圖是不連續(xù)的，稱為離散頻譜。也就是說，對周期函數(shù)有離散頻譜。另外把Cn的輻角主值φn

＝argCn稱為離散相位頻譜。2/5/202319二、傅立葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式一般情況下cn

是復(fù)數(shù)定義分析

與

共軛，即推導(dǎo)目錄依據(jù)歐拉公式：第二節(jié)、周期信號與離散頻譜例題2/5/202320傅立葉級數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù)形式根據(jù)歐拉公式：有

傅立葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式式可改寫成為

2/5/202321令則或返回2/5/202322一些分析

周期函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)形式后，可分別以幅值或相位與頻率的關(guān)系作幅頻譜圖或相頻譜圖，也可分別以的實部或虛部與頻率的關(guān)系作幅頻圖，并分別稱為實頻譜圖和虛頻譜圖?？偨Y(jié)：

復(fù)指數(shù)函數(shù)形式的頻譜為雙邊譜，三角函數(shù)形式的頻譜為單邊譜；兩種頻譜各諧波幅值在量值上有確定的關(guān)系：；而雙邊幅頻譜為偶函數(shù)，雙邊相頻譜為奇函數(shù)。負(fù)頻率的說明第二節(jié)、周期信號與離散頻譜返回2/5/202323把周期函數(shù)X（t）展開為傅立葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)形式后，可分別以和作幅頻譜圖和相頻譜圖；也可以的實部或虛部與頻率的關(guān)系作幅頻圖，分別稱為實頻譜圖和虛頻譜圖例題1-2畫出余弦、正弦函數(shù)的實、虛部頻譜圖。解：根據(jù)式子故余弦函數(shù)只有實頻譜圖，與縱軸偶對稱正余弦頻譜圖小結(jié)2/5/202324正弦、余弦函數(shù)實、虛部頻譜圖時域函數(shù)圖形正、余弦函數(shù)的傅氏變換2/5/202325周期信號頻譜的三大特點1）離散性周期信號的頻譜是離散的。2）諧波性每條譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上，基波頻率是諸分量頻率的公約數(shù)。3）收斂性各頻率分量的譜線高度表示該諧波的幅值(或相位角)。工程中常見的周期信號，其諧波幅值的總趨勢是隨諧波次數(shù)的增高而降低的。因此，在頻譜分析中沒必要考慮較高階次諧波成分。（參見No.15）舉工程實例說明傅氏變換應(yīng)用返回2/5/202326三、周期信號的強度表述

周期信號（參見No.24）的強度表述方式有四種：

1）峰值峰值是信號可能出現(xiàn)的最大瞬時值，即

峰-峰值是一個周期中最大瞬時值和最小瞬時值之差(測試系統(tǒng))2）絕對均值（全波整流后的均值）

3）有效值（均方根值）

4）平均功率(有效值的平方)2/5/202327第三節(jié)、瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜

周期信號、非周期信號及其頻譜的有關(guān)說明周期信號均可以展開成多項簡諧信號之和，各分量頻率之間存在公約數(shù)，即基頻，其信號分量即成為基波。因此其頻譜是離散的（參見周期性三角波的頻譜圖）。反過來，簡諧信號的疊加不一定就是周期信號，也就是說具有離散頻譜的信號不一定是周期信號。

1、各簡諧信號頻率比是有理數(shù)，則為周期信號

2、各簡諧信號頻率比不是有理數(shù)，雖不是周期信號，但有離散頻譜如：稱為準(zhǔn)周期信號

3、各簡諧信號頻率比不是有理數(shù)，也沒有離散頻譜（具有連續(xù)頻譜），則為非周期信號。我們所說的非周期信號通常指瞬變非周期信號。2/5/202328非周期信號常見示例指數(shù)衰減信號矩形脈沖信號衰減振蕩信號單一脈沖信號第三節(jié)、瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜目錄2/5/202329一、傅立葉變換對于非周期信號的理解

周期信號頻譜譜線的頻率間隔，當(dāng)周期T0

趨于無窮時，其頻率間隔ω

趨于無窮小，譜線無限靠近。頻率變量連續(xù)取值以至離散譜線的頂點最后變成一條連續(xù)曲線。所以非周期信號的頻譜是連續(xù)的。公式分析例題第三節(jié)、瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜目錄△2/5/202330設(shè)有一個周期信號x(t)在區(qū)間以傅立葉級數(shù)表示為式中

將上邊右式代入左式則得：目錄2/5/202331

當(dāng)T0

趨于無窮時，頻率間隔成為，離散譜中相鄰的譜線緊靠在一起，成為連續(xù)變量，求和符號就變?yōu)榉e分符號，則

這就是傅立葉積分我們由此也可以看到由具有離散頻譜的周期信號的傅立葉級數(shù)在周期T0趨向于無窮大時，而轉(zhuǎn)變成傅立葉積分。目錄2/5/202332其中上邊的公式稱為x(t)的傅立葉變換，而下式稱為X(ω)

的傅立葉逆變換，兩者稱為傅立葉變換對，可記為

由ω=2πf

，則傅氏變換及其逆變換變?yōu)槟夸?/5/202333關(guān)系是

一般X(f)

是實變量f

的復(fù)函數(shù)，可以寫成式中為信號的連續(xù)幅值譜,為信號的連續(xù)相位譜。公式簡化后有返回目錄2/5/202334例題1-3求矩形窗函數(shù)的頻譜常稱為矩形窗函數(shù)，其頻譜為目錄Ⅰ2/5/202335由做簡單變換以代替，代入上邊的W（f）則可以得到：式中T稱為窗寬，在工程應(yīng)用中常用作激勵信號第三節(jié)、瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜頻譜sincθ目錄Ⅱ2/5/202336矩形窗函數(shù)及其頻譜返回典型信號介紹2/5/202337傅立葉變換的主要性質(zhì)熟悉傅立葉變換的性質(zhì)的重要意義傅立葉變換將一個信號的時域描述轉(zhuǎn)換為頻域描述，同時根據(jù)傅立葉變換對，又可以得到時域描述，因此兩種描述相互包含同樣的信息量，存在一一對應(yīng)關(guān)系。因此我們了解了傅立葉變換的一些主要性質(zhì)，對于簡化我們的分析計算工作有重要意義。簡化作用?。?！目錄2/5/202338（一）、奇偶虛實性一般X（f）是實變量的復(fù)變函數(shù).余弦函數(shù)是偶函數(shù)，正弦函數(shù)是奇函數(shù)。若X（t）為實偶函數(shù)或者為實奇函數(shù)，則X（f）將會怎樣？了解其性質(zhì)，減少不必要的計算！目錄2/5/202339（二）、對稱性若則證明以-t代替t得將t與f互換，即得X（t）的傅立葉變換為所以目錄2/5/202340（三）、時間尺度改變特性窗函數(shù)特性舉例若則證明目錄2/5/2023412/5/202342（四）、時移與頻移特性若則，時域頻域目錄工程中常需要將低頻信號搬到高頻段發(fā)射出去，則可使用這種方法。2/5/202343（五）、卷積特性若則目錄定義：兩個函數(shù)與的卷積：記為：頻域卷積特性又稱為調(diào)制特性2/5/202344（六）、微分和積分特性若可得常見信號頻譜目錄2/5/202345幾種典型信號的頻譜分析第三節(jié)、瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜矩形窗函數(shù)的頻譜函數(shù)及其頻譜正、余弦函數(shù)的頻譜密度函數(shù)周期單位脈沖序列的頻譜目錄δ2/5/202346一、矩形窗函數(shù)及其頻譜公式：頻譜：目錄頻譜2/5/202347一、定義二、

函數(shù)及其頻譜

在ε時間內(nèi)激發(fā)一個矩形脈沖，其面積為1。當(dāng)ε趨于0時，的極限就稱為δ函數(shù)，記做δ(t)。δ函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)。δ(t)的特點有：從面積的角度來看（也稱為δ函數(shù)的強度）二、δ函數(shù)的采樣性質(zhì)頻譜δδ函數(shù)應(yīng)用2/5/202348三、函數(shù)與其他函數(shù)的卷積特性由此可見：x(t)函數(shù)和δ函數(shù)的卷積的結(jié)果，就是在發(fā)生δ函數(shù)的坐標(biāo)位置上簡單地將x(t)重新構(gòu)圖。目錄δδ函數(shù)與函數(shù)x(t)的卷積若δ函數(shù)有個時移，變?yōu)棣?t±t0)時，其卷積為：2/5/202349返回四、δ函數(shù)的頻譜所有頻段上等強度——“均勻譜”2/5/202350δ函數(shù)的相關(guān)傅立葉變換對δ(t)—單位瞬時脈沖1－均勻頻譜密度函數(shù)1－均勻頻譜密度函數(shù)δ(f)—在f＝0處有脈沖譜線δ(t－t0)—δ函數(shù)時移t0e-j2πft0各頻率成分分別相移2πft0角ej2πf0t

—復(fù)指數(shù)函數(shù)δ(f－f0)—將δ(f)頻移到f02/5/202351三、正、余弦函數(shù)的頻譜密度函數(shù)一、定義正余弦函數(shù)的傅立葉變換如下：目錄頻譜2/5/202352一、定義等間隔的周期單位脈沖序列常稱為梳狀函數(shù)，并用其傅立葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式四、周期單位脈沖序列的頻譜頻譜目錄2/5/202353梳狀函數(shù)的頻譜也是梳狀函數(shù)?？梢姇r域里的周期單位脈沖序列的頻譜也是周期脈沖序列。若時域周期為T