高中數(shù)學(xué)人教A版1第三章空間向量與立體幾何 高質(zhì)作品

空間向量的基本定理學(xué)案編號(hào)：GEXX2-1T3-1-2【學(xué)習(xí)要求】1．掌握空間向量數(shù)乘運(yùn)算的定義和運(yùn)算律，了解共線(平行)向量、共面向量的意義，掌握它們的表示方法．2．能理解共線向量定理和共面向量定理及其推論，并能運(yùn)用它們證明空間向量的共線和共面的問(wèn)題．【學(xué)法指導(dǎo)】利用空間向量的數(shù)乘運(yùn)算，理解和表示共線向量和共面向量充分體現(xiàn)向量的工具性.1．共線向量定理兩個(gè)空間向量a，b(________)，a∥b的充要條件是____________________，使__________．2．向量共面的條件(1)向量a平行平面α的定義已知向量a,作eq\o(OA,\s\up14(→))＝a,如果a的基線OA_______________________，則就說(shuō)向量a平行于平面α，記作________．(2)共面向量的定義平行于____________的向量，叫做共面向量．(3)共面向量定理如果兩個(gè)向量a，b__________，則向量c與向量a，b共面的充要條件是，________________________，使____________．3．空間向量分解定理(1)空間向量分解定理如果三個(gè)向量a，b，c__________，那么對(duì)空間任一向量p，_________________________________，使_____________．(2)基底如果三個(gè)向量a，b，c是三個(gè)________________，則a，b，c的線性組合____________能生成所有的空間向量，這時(shí)a，b，c叫做空間的一個(gè)________，記作____________，其中a，b，c都叫做__________．表達(dá)式xa＋yb＋zc，叫做向量a，b，c的________________________________.探究點(diǎn)一向量共線問(wèn)題問(wèn)題1(1)兩向量共線時(shí)，它們的方向有什么關(guān)系？(2)在兩向量共線的充要條件中，為什么要求b≠0?問(wèn)題2向量共線在幾何中有什么應(yīng)用？例1如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up14(→))＝2eq\o(ED1,\s\up14(→))，F(xiàn)在對(duì)角線A1C上，且eq\o(A1F,\s\up14(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up14(→)).求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．跟蹤1如圖所示，四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是邊CB，CD上的點(diǎn)，且eq\o(CF,\s\up14(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up14(→))，eq\o(CG,\s\up14(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up14(→)).求證：四邊形EFGH是梯形．探究點(diǎn)二向量共面問(wèn)題問(wèn)題1如何理解向量與平面平行？問(wèn)題2在三個(gè)向量共面的充要條件中，若兩向量a、b共線，那么結(jié)論是否還成立？問(wèn)題3向量共面在幾何中有什么應(yīng)用？問(wèn)題4已知空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，滿足向量關(guān)系式eq\o(OP,\s\up14(→))＝xeq\o(OA,\s\up14(→))＋yeq\o(OB,\s\up14(→))＋zeq\o(OC,\s\up14(→))(其中x＋y＋z＝1)的點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，C是否共面？例2已知斜三棱柱ABC—A′B′C′，設(shè)eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AC,\s\up14(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up14(→))＝c.在面對(duì)角線AC′上和棱BC上分別取點(diǎn)M和N，使eq\o(AM,\s\up14(→))＝keq\o(AC′,\s\up14(→))，eq\o(BN,\s\up14(→))＝keq\o(BC,\s\up14(→))(0≤k≤1)．求證：(1)eq\o(MN,\s\up14(→))與向量a和c共面；(2)MN與面A′AB平行嗎？跟蹤2已知A、B、C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足eq\o(OM,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up14(→)).(1)判斷eq\o(MA,\s\up14(→))、eq\o(MB,\s\up14(→))、eq\o(MC,\s\up14(→))三個(gè)向量是否共面；(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)．探究點(diǎn)三空間向量分解定理問(wèn)題1平面向量的基底要求二個(gè)基向量不共線，那么構(gòu)成空間向量基底的三個(gè)向量有什么條件？問(wèn)題2和平面向量基本定理類似，請(qǐng)你思考怎樣用空間的基底來(lái)表示任何一個(gè)空間向量？問(wèn)題3若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底．試判斷{a＋b，b＋c，c＋a}能否作為該空間的一個(gè)基底？例3如圖所示，空間四邊形OABC中，G、H分別是△ABC、△OBC的重心，設(shè)eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，eq\o(OC,\s\up14(→))＝c.試用向量a，b，c表示向量eq\o(GH,\s\up14(→)).跟蹤3在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AD,\s\up14(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up14(→))＝c，P是CA′的中點(diǎn)，M是CD′的中點(diǎn)，N是C′D′的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是CA′上的點(diǎn)，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)eq\o(AP,\s\up14(→))；(2)eq\o(AM,\s\up14(→))；(3)eq\o(AN,\s\up14(→))；(4)eq\o(AQ,\s\up14(→)).【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．空間的任意三個(gè)向量a，b,3a－2bA．共線向量 B．共面向量C．不共面向量 D．既不共線也不共面向量2．對(duì)于空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C有6eq\o(OP,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋2eq\o(OB,\s\up14(→))＋3eq\o(OC,\s\up14(→))，則 （）A．四點(diǎn)O，A，B，C必共面B．四點(diǎn)P，A，B，C必共面C．四點(diǎn)O，P，B，C必共面D．五點(diǎn)O，P，A，B，C必共面3．設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，給出下列向量組：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作為空間的基底的向量組有()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．從空間一點(diǎn)P引出三條射線PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分別取eq\o(PQ,\s\up14(→))＝a，eq\o(PR,\s\up14(→))＝b，eq\o(PS,\s\up14(→))＝c，點(diǎn)G在PQ上，且PG＝2GQ,H為RS的中點(diǎn)，則eq\o(GH,\s\up14(→))＝__________________.(用a，b，c表示)【課堂小結(jié)】1．利用空間向量的數(shù)乘運(yùn)算可以劃定兩個(gè)向量共線．2．空間三個(gè)向量a、b、c共面，只要找到一個(gè)向量能用其余兩個(gè)向量線性表示即可．3．空間任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底；基底選定后，任一向量可由基底唯一表示．3.1.2空間向量的基本定理一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1．“a＝xb”是“向量a、b共線”的 ()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既非充分也非必要條件2．滿足下列條件，能說(shuō)明空間不重合的A、B、C三點(diǎn)共線的是 ()\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)) \o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)) D．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|3．已知{a，b，c}是空間向量的一個(gè)基底，則可以與向量p＝a＋b，q＝a－b構(gòu)成基底的向量是()A．a(chǎn) B．bC．a(chǎn)＋2b D．a(chǎn)＋24．設(shè)M是△ABC的重心，記eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，則eq\o(AM,\s\up6(→))等于 ()\f(b－c,2) \f(c－b,2)\f(b－c,3) \f(c－b,3)5．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外任一點(diǎn)，若由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋λeq\o(OC,\s\up6(→))確定的一點(diǎn)P與A，B，C三點(diǎn)共面，則λ＝________.6．在四面體O—ABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則eq\o(OE,\s\up6(→))＝________(用a，b，c表示)．二、能力提升7．已知向量a、b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，則一定共線的三點(diǎn)是()A．A、B、D B．A、B、CC．B、C、D D．A、C、D8．在下列等式中，使點(diǎn)M與點(diǎn)A，B，C一定共面的是 ()\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,5)eq\o(OC,\s\up6(→))\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝09．在以下3個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是________．①三個(gè)非零向量a，b，c不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則a，b，c共面．②若兩個(gè)非零向量a，b與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則a，b共線．③若a，b是兩個(gè)不共線向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，則{a，b，c}構(gòu)成空間一個(gè)基底．10．設(shè)e1，e2是平面上不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，若A，B，D三點(diǎn)共線，試求實(shí)數(shù)k的值．11.如圖所示，四邊形ABCD和四邊形ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，判斷eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))是否共線．12.正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為BB1和A1D1的中點(diǎn)．證明：向量eq