高中數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)一輪復(fù)習(xí) 第二節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系統(tǒng)計案例

課時作業(yè)(六十三)變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例1．(多選)2020年3月15日，某市物價部門對5家商場的某商品一天的銷售量及其價格進行調(diào)查，5家商場的售價x(元)和銷售量y(件)之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：價格x91011銷售量y1110865按公式計算，y與x的回歸直線方程是：eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋eq\o(a,\s\up6(^))，相關(guān)系數(shù)|r|＝，則下列說法正確的有()A．變量x，y線性負(fù)相關(guān)且相關(guān)性較強B．eq\o(a,\s\up6(^))＝40C．當(dāng)x＝時，y的估計值為D．相應(yīng)于點，6)的殘差約為ABC[對A，由表可知y隨x增大而減少，可認(rèn)為變量x，y線性負(fù)相關(guān)，且由相關(guān)系數(shù)|r|＝可知相關(guān)性強，故A正確．對B，價格平均eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(9＋＋10＋＋11)＝10，銷售量eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)(11＋10＋8＋6＋5)＝8.故回歸直線恒過定點(10，8)，故8＝－×10＋eq\o(a,\s\up6(^))?eq\o(a,\s\up6(^))＝40，故B正確．對C，當(dāng)x＝時，eq\o(y,\s\up6(^))＝－×＋40＝，故C正確．對D，相應(yīng)于點，6)的殘差eq\o(e,\s\up6(^))＝6－(－×＋40)＝－，故D不正確．故選ABC.]2．(多選)因防疫的需要，多數(shù)大學(xué)開學(xué)后啟用封閉式管理．某大學(xué)開學(xué)后也啟用封閉式管理，該校有在校學(xué)生9000人，其中男生4000人，女生5000人，為了解學(xué)生在封閉式管理期間對學(xué)校的管理和服務(wù)的滿意度，隨機調(diào)查了40名男生和50名女生，每位被調(diào)查的學(xué)生都對學(xué)校的管理和服務(wù)給出了滿意或不滿意的評價，經(jīng)統(tǒng)計得到如下列聯(lián)表：滿意不滿意男2020女4010附表：P(K2≥k)k附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)以下說法正確的有()A．滿意度的調(diào)查過程采用了分層抽樣的抽樣方法B．該學(xué)校學(xué)生對學(xué)校的管理和服務(wù)滿意的概率的估計值為C．有99%的把握認(rèn)為學(xué)生對學(xué)校的管理和服務(wù)滿意與否與性別有關(guān)系D．沒有99%的把握認(rèn)為學(xué)生對學(xué)校的管理和服務(wù)滿意與否與性別有關(guān)系A(chǔ)C[因為男女比例為4000∶5000，故A正確．滿意的頻率為eq\f(20＋40,90)＝eq\f(2,3)≈，所以該學(xué)校學(xué)生對學(xué)校的管理和服務(wù)滿意的概率的估計值約為，所以B錯誤．由列聯(lián)表K2＝eq\f(90×（20×10－20×40）2,40×50×60×30)＝9＞，故有99%的把握認(rèn)為學(xué)生對學(xué)校的管理和服務(wù)滿意與否與性別有關(guān)系，所以C正確，D錯誤．故選AC.]3．為了研究某種細菌在特定環(huán)境下隨時間變化的繁殖規(guī)律，得如下實驗數(shù)據(jù)，計算得回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－.由以上信息，得到下表中c的值為________．天數(shù)x/天34567繁殖個數(shù)y/千個34c解析：eq\x\to(x)＝eq\f(3＋4＋5＋6＋7,5)＝5，eq\x\to(y)＝eq\f＋3＋4＋＋c,5)＝eq\f(14＋c,5)，代入回歸直線方程中得：eq\f(14＋c,5)＝×5－，解得c＝6.答案：64．某校某次數(shù)學(xué)考試規(guī)定80分以上(含80分)為優(yōu)分，在1000名考生中隨機抽取的100名學(xué)生中，“男生組”中的優(yōu)分有15人，“女生組”中的優(yōu)分有15人，據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下：優(yōu)分非優(yōu)分總計男生154560女生152540總計3070100為了研究數(shù)學(xué)成績與性別是否有關(guān)，采用獨立檢驗的方法進行數(shù)據(jù)處理，則正確的結(jié)論是________________．附表及公式P(K2≥k0)k0K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).解析：K2＝eq\f(100×（15×25－15×45）2,60×40×30×70)≈，因為<，所以沒有90%以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績與性別有關(guān)”．答案：沒有90%以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績與性別有關(guān)”5．某市春節(jié)期間7家超市廣告費支出xi(萬元)和銷售額yi(萬元)數(shù)據(jù)如表：超市ABCDEFG廣告費支出xi1246111319銷售額yi19324044525354(1)若用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求y與x的線性回歸方程；(2)若用二次函數(shù)回歸模型擬合y與x的關(guān)系，可得回歸方程：eq\o(y,\s\up6(^))＝－＋5x＋20，經(jīng)計算，二次函數(shù)回歸模型和線性回歸模型的R2分別約為和，請用R2說明選擇哪個回歸模型更合適，并用此模型預(yù)測A超市廣告費支出3萬元時的銷售額．解析：(1)eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i=1,7,x)iyi－7\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i=1,7,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－7x2)＝eq\f(2794－7×8×42,708－7×82)＝.所以eq\o(a,\s\up6(^))＝y(tǒng)－eq\o(b,\s\up6(^))x＝42－×8＝，故y關(guān)于x的線性回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.(2)因為<，所以二次函數(shù)回歸模型更合適．當(dāng)x＝3時，eq\o(y,\s\up6(^))＝.故選擇二次函數(shù)回歸模型更合適，并且用此模型預(yù)測A超市廣告費支出3萬元時的銷售額為萬元．6．為了解某校學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的情況，采用按性別分層抽樣的方法進行調(diào)查．已知該校共有學(xué)生960人，其中男生560人，從全校學(xué)生中抽取了容量為n的樣本，得到一周參加社區(qū)服務(wù)時間的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：超過1小時不超過1小時男208女12m(1)求m，n；(2)能否有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時間是否超過1小時與性別有關(guān)？(3)以樣本中學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的頻率作為該事件發(fā)生的概率，現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機調(diào)查6名學(xué)生，試估計這6名學(xué)生中一周參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的人數(shù)．附：P(K2≥k)kK2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)解析：(1)由已知，該校有女生400人，故eq\f(12＋m,20＋8)＝eq\f(400,560)，得m＝8，從而n＝20＋8＋12＋8＝48.(2)作出2×2列聯(lián)表如下：超過1小時的人數(shù)不超過1小時的人數(shù)合計男20828女12820合計321648K2＝eq\f(48×（160－96）2,28×20×32×16)＝eq\f(24,35)≈7<.所以沒有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時間是否超過1小時與性別有關(guān)．(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的概率P＝eq\f(32,48)＝eq\f(2,3)，故估計這6名學(xué)生中一周參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的人數(shù)是4.7．(2023·全國卷Ⅲ)某學(xué)生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級[0，200](200，400](400，600]1(優(yōu))216252(良)510123(輕度污染)6784(中度污染)720(1)分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率；(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；(3)若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次≤400人次＞400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，P(K2≥k)k解析：(1)由所給數(shù)據(jù)，該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率的估計值如下表：空氣質(zhì)量等級1234概率的估計值(2)一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值為eq\f(1,100)(100×20＋300×35＋500×45)＝350.(3)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表：人次≤400人次＞400空氣質(zhì)量好3337空氣質(zhì)量不好228根據(jù)列聯(lián)表得K2＝eq\f(100×（33×8－22×37）2,55×45×70×30)≈.由于＞，故有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)．8．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響，對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1，2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖散點圖及一些統(tǒng)計量的值．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))2eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))·(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))·(yi－eq\x\to(y))563表中wi＝eq\r(xi)，eq\x\to(w)＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,w)i.(1)根據(jù)散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋deq\r(x)哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型(給出判斷即可，不必說明理由)?(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程．(3)已知這種產(chǎn)品的利潤z與x，y的關(guān)系為z＝－x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：①年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？②年宣傳費x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估計分別為：解析：(1)由散點圖可以判斷，y＝c＋deq\r(x)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型．(2)令w＝eq\r(x)，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程，由eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i=1,8,)（wi－w）·（yi－y）,\i\su(i=1,8,)（wi－w）2)＝eq\f,＝68.得eq\o(c,\s\up6(^))＝y(tǒng)－eq\o(d,\s\up6(^))w＝563－68×＝.所以y關(guān)于w的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋68w，因此y關(guān)于x的回歸方程為y∧＝＋68eq\r(x).(3