高中數(shù)學(xué)蘇教版3第二章概率2．2超幾何分布 第2章超幾何分布

超幾何分布1．了解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用．(重點)2．會利用超幾何分布的概念判斷一個實際問題是否屬于超幾何分布，從而利用相關(guān)公式解題．(難點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理超幾何分布的概率及表示閱讀教材P53～P55，完成下列問題．一般地，若一個隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝r)＝eq\f(C\o\al(r,M)C\o\al(n－r,N－M),C\o\al(n,N))，其中r＝0,1,2,3，…，l，l＝min(n，M)，則稱X服從超幾何分布，記為X～H(n，M，N)，并將P(X＝r)＝eq\f(C\o\al(r,M)C\o\al(n－r,N－M),C\o\al(n,N))記為H(r；n，M，N)．1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)超幾何分布的總體中只有兩類物品．()(2)在產(chǎn)品檢驗中，超幾何分布描述的是有放回抽樣．()(3)若X～H(n，M，N)，則n≤M.()(4)超幾何分布X～H(n，M，N)中n是隨機(jī)一次取出的樣本容量，M是總體中不合格產(chǎn)品的總數(shù)，N是總體中的個體總數(shù)．()【答案】(1)√(2)×(3)×(4)√2．在含有5件次品的10件產(chǎn)品中，任取4件，則取到的次品數(shù)X的分布列為P(X＝r)＝________.【解析】P(X＝r)＝eq\f(C\o\al(r,5)C\o\al(4－r,5),C\o\al(4,10))，r＝0,1,2,3,4.【答案】eq\f(C\o\al(r,5)C\o\al(4－r,5),C\o\al(4,10))，r＝0,1,2,3,43．從有3個黑球，5個白球的盒中取出2個球，其中恰有一個是白球的概率是________.【導(dǎo)學(xué)號：29440038】【解析】由題意，這是一道超幾何分布題，其中N＝8，M＝5，n＝2.所以P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,3),C\o\al(2,8))＝eq\f(15,28).【答案】eq\f(15,28)[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]超幾何分布的辨析下列問題中，哪些屬于超幾何分布問題，說明理由．(1)拋擲三枚骰子，所得向上的數(shù)是6的骰子的個數(shù)記為X，求X的概率分布；(2)有一批種子的發(fā)芽率為70%，任取10顆種子做發(fā)芽實驗，把實驗中發(fā)芽的種子的個數(shù)記為X，求X的概率分布；(3)盒子中有紅球3只，黃球4只，藍(lán)球5只．任取3只球，把不是紅色的球的個數(shù)記為X，求X的概率分布；(4)某班級有男生25人，女生20人．選派4名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動，班長必須參加，其中女生人數(shù)記為X，求X的概率分布；(5)現(xiàn)有100臺MP3播放器未經(jīng)檢測，抽取10臺送檢，把檢驗結(jié)果為不合格的MP3播放器的個數(shù)記為X，求X的概率分布．【精彩點撥】eq\x(總體是否由兩類個體構(gòu)成)→eq\x(隨機(jī)變量是否為樣本中一類個體的個數(shù))→eq\x(是否為不放回抽樣)【自主解答】(1)(2)中樣本沒有分類，不是超幾何分布問題，是重復(fù)試驗問題．(3)(4)符合超幾何分布的特征，樣本都分為兩類．隨機(jī)變量X表示抽取n件樣本，某類樣本被抽取的件數(shù)，是超幾何分布．(5)中沒有給出不合格品數(shù)，無法計算X的概率分布，所以不屬于超幾何分布問題．1．判斷一個隨機(jī)變量是否服從超幾何分布，應(yīng)看三點：(1)總體是否可分為兩類明確的對象；(2)是否為不放回抽樣；(3)隨機(jī)變量是否為樣本中其中一類個體的個數(shù)．2．超幾何分布中，r，n，M，N均為有限數(shù)，且r≤min(n，M)．[再練一題]1．下列隨機(jī)變量中，服從超幾何分布的有________．(填序號)①在10件產(chǎn)品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數(shù)為X；②從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺，記X表示所取的2臺彩電中甲型彩電的臺數(shù)；③一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，途中有6個交通崗，記此學(xué)生遇到紅燈的數(shù)為隨機(jī)變量X.【解析】根據(jù)超幾何分布模型定義可知①中隨機(jī)變量X服從超幾何分布．②中隨機(jī)變量X服從超幾何分布．而③中顯然不能看作一個不放回抽樣問題，故隨機(jī)變量X不服從超幾何分布．【答案】①②超幾何分布的概率現(xiàn)有來自甲、乙兩班學(xué)生共7名，從中任選2名都是甲班的概率為eq\f(1,7).(1)求7名學(xué)生中甲班的學(xué)生數(shù)；(2)設(shè)所選2名學(xué)生中甲班的學(xué)生數(shù)為ξ，求ξ≥1的概率．【精彩點撥】(1)利用古典概型求解．(2)借助超幾何分布的概率公式求解．【自主解答】(1)設(shè)甲班的學(xué)生人數(shù)為M，則eq\f(C\o\al(2,M),C\o\al(2,7))＝eq\f(1,7).即M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2(舍去)．∴7名學(xué)生中甲班的學(xué)生共有3人．(2)由題意可知，ξ～H(2,3,7)，∴P(ξ≥1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,4),C\o\al(2,7))＋eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(0,4),C\o\al(2,7))＝eq\f(4,7)＋eq\f(1,7)＝eq\f(5,7).求解此類問題的關(guān)鍵是先分析隨機(jī)變量是否滿足超幾何分布.如果滿足超幾何分布的條件，則直接利用超幾何分布模型求解，否則借助相應(yīng)概率公式求解.[再練一題]2．高三(1)班的聯(lián)歡會上設(shè)計了一項游戲：準(zhǔn)備了10張相同的卡片，其中只在5張卡片上印有“獎”字．游戲者從10張卡片中任意抽取5張，如果抽到2張或2張以上印有“獎”字的卡片，就可獲得一件精美的小禮品；如果抽到的5張卡片上都印有“獎”字，除精美小禮品外，還可獲贈一套叢書．一名同學(xué)準(zhǔn)備試一試，那么他能獲得精美小禮品的概率是多少？能獲贈一套叢書的概率又是多少？【解】設(shè)X表示抽取5張卡片中印有“獎”字的卡片數(shù)，則X服從參數(shù)為N＝10，M＝5，n＝5的超幾何分布．X的可能取值為0,1,2,3,4,5，則X的分布列為P(X＝r)＝eq\f(C\o\al(r,5)C\o\al(5－r,5),C\o\al(5,10))(r＝0,1,2,3,4,5)．若要獲得精美小禮品，只需X≥2，故獲得精美小禮品的概率為P(X≥2)＝1－P(X<2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－eq\f(C\o\al(0,5)C\o\al(5,5),C\o\al(5,10))－eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(4,5),C\o\al(5,10))＝eq\f(113,126).若要獲贈一套叢書，必須X＝5，故獲贈一套叢書的概率為P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(5,5)C\o\al(0,5),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,252).[探究共研型]兩點分布與超幾何分布探究1利用隨機(jī)變量研究一類問題，如抽取的獎券是否中獎，買回的一件產(chǎn)品是否為正品，新生嬰兒的性別，投籃是否命中等，這些有什么共同點？【提示】這些問題的共同點是隨機(jī)試驗只有兩個可能的結(jié)果．定義一個隨機(jī)變量，使其中一個結(jié)果對應(yīng)于1，另一個結(jié)果對應(yīng)于0，即得到服從兩點分布的隨機(jī)變量．探究2只取兩個不同值的隨機(jī)變量是否一定服從兩點分布？【提示】不一定．如隨機(jī)變量X的分布列由下表給出X25PX不服從兩點分布，因為X的取值不是0或1.探究3在8個大小相同的球中，有2個黑球，6個白球，現(xiàn)從中取3個，求取出的球中白球個數(shù)X是否服從超幾何分布？超幾何分布適合解決什么樣的概率問題？【提示】隨機(jī)變量X服從超幾何分布，超幾何分布適合解決從一個總體(共有N個個體)內(nèi)含有兩種不同事物A(M個)、B(N—M個)，任取n個，其中恰有X個A的概率分布問題．在一次購物抽獎活動中，假設(shè)10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品，有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品，其余6張沒有獎品．(1)顧客甲從10張獎券中任意抽取1張，求中獎次數(shù)X的分布列；(2)顧客乙從10張獎券中任意抽取2張，①求顧客乙中獎的概率；②設(shè)顧客乙獲得的獎品總價值為Y元，求Y的分布列．【精彩點撥】(1)從10張獎券中抽取1張，其結(jié)果有中獎和不中獎兩種，故X～(0,1)．(2)從10張獎券中任意抽取2張，其中含有中獎的獎券的張數(shù)X(X＝1,2)服從超幾何分布．【自主解答】(1)抽獎一次，只有中獎和不中獎兩種情況，故X的取值只有0和1兩種情況．P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4),C\o\al(1,10))＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，則P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).因此X的分布列為X01Peq\f(3,5)eq\f(2,5)(2)①顧客乙中獎可分為互斥的兩類事件：所抽取的2張獎券中有1張中獎或2張都中獎．故所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,6)＋C\o\al(2,4)C\o\al(0,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(30,45)＝eq\f(2,3).②Y的所有可能取值為0,10,20,50,60，且P(Y＝0)＝eq\f(C\o\al(0,4)C\o\al(2,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(15,45)＝eq\f(1,3)，P(Y＝10)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(18,45)＝eq\f(2,5)，P(Y＝20)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(0,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(3,45)＝eq\f(1,15)，P(Y＝50)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(6,45)＝eq\f(2,15)，P(Y＝60)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(3,45)＝eq\f(1,15).因此隨機(jī)變量Y的分布列為Y010205060Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)1．兩點分布的幾個特點(1)兩點分布中只有兩個對應(yīng)結(jié)果，且兩個結(jié)果是對立的．(2)由對立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))．2．解決超幾何分布問題的兩個關(guān)鍵點(1)超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范圍及其意義，解決問題時可以直接利用公式求解，但不能機(jī)械地記憶．(2)超幾何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，從而求出X的分布列．[再練一題]3．現(xiàn)有10張獎券，其中8張1元，2張5元，從中同時任取3張，求所得金額的分布列．【解】設(shè)所得金額為X，X的可能取值為3,7,11.P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝7)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝11)＝eq\f(C\o\al(1,8)·C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).故X的分布列為X3711Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)[構(gòu)建·體系]1．盒中有4個白球，5個紅球，從中任取3個球，則取出1個白球和2個紅球的概率是________．【解析】設(shè)隨機(jī)變量X為抽到白球的個數(shù)，X服從超幾何分布，由公式，得P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,5),C\o\al(3,9))＝eq\f(4×10,84)＝eq\f(10,21).【答案】eq\f(10,21)2．有10位同學(xué)，其中男生6位，女生4位，從中任選3人參加數(shù)學(xué)競賽．用X表示女生人數(shù)，則概率P(X≤2)＝________.【導(dǎo)學(xué)號：29440039】【解析】P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,6),C\o\al(3,10))＋eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,6),C\o\al(3,10))＋eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(29,30).【答案】eq\f(29,30)3．若在甲袋內(nèi)裝有8個白球，4個紅球，在乙袋中裝有6個白球，6個紅球，今從兩袋內(nèi)任意取出1個球，設(shè)取出的白球個數(shù)為X，則P(X＝1)＝________.【解析】P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(1,6)＋C\o\al(1,4)C\o\al(1,6),C\o\al(1,12)C\o\al(1,12))＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)4．某12人的興趣小組中，有5名“三好學(xué)生”，現(xiàn)從中任意選6人參加競賽，用X表示這6人中“三好學(xué)生”的人