高中數(shù)學(xué)蘇教版3第二章概率2．2超幾何分布 第2章超幾何分布

超幾何分布1．了解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用．(重點(diǎn))2．會(huì)利用超幾何分布的概念判斷一個(gè)實(shí)際問題是否屬于超幾何分布，從而利用相關(guān)公式解題．(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理超幾何分布的概率及表示閱讀教材P53～P55，完成下列問題．一般地，若一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝r)＝eq\f(C\o\al(r,M)C\o\al(n－r,N－M),C\o\al(n,N))，其中r＝0,1,2,3，…，l，l＝min(n，M)，則稱X服從超幾何分布，記為X～H(n，M，N)，并將P(X＝r)＝eq\f(C\o\al(r,M)C\o\al(n－r,N－M),C\o\al(n,N))記為H(r；n，M，N)．1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)超幾何分布的總體中只有兩類物品．()(2)在產(chǎn)品檢驗(yàn)中，超幾何分布描述的是有放回抽樣．()(3)若X～H(n，M，N)，則n≤M.()(4)超幾何分布X～H(n，M，N)中n是隨機(jī)一次取出的樣本容量，M是總體中不合格產(chǎn)品的總數(shù)，N是總體中的個(gè)體總數(shù)．()【答案】(1)√(2)×(3)×(4)√2．在含有5件次品的10件產(chǎn)品中，任取4件，則取到的次品數(shù)X的分布列為P(X＝r)＝________.【解析】P(X＝r)＝eq\f(C\o\al(r,5)C\o\al(4－r,5),C\o\al(4,10))，r＝0,1,2,3,4.【答案】eq\f(C\o\al(r,5)C\o\al(4－r,5),C\o\al(4,10))，r＝0,1,2,3,43．從有3個(gè)黑球，5個(gè)白球的盒中取出2個(gè)球，其中恰有一個(gè)是白球的概率是________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：29440038】【解析】由題意，這是一道超幾何分布題，其中N＝8，M＝5，n＝2.所以P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,3),C\o\al(2,8))＝eq\f(15,28).【答案】eq\f(15,28)[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]超幾何分布的辨析下列問題中，哪些屬于超幾何分布問題，說明理由．(1)拋擲三枚骰子，所得向上的數(shù)是6的骰子的個(gè)數(shù)記為X，求X的概率分布；(2)有一批種子的發(fā)芽率為70%，任取10顆種子做發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，把實(shí)驗(yàn)中發(fā)芽的種子的個(gè)數(shù)記為X，求X的概率分布；(3)盒子中有紅球3只，黃球4只，藍(lán)球5只．任取3只球，把不是紅色的球的個(gè)數(shù)記為X，求X的概率分布；(4)某班級(jí)有男生25人，女生20人．選派4名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動(dòng)，班長(zhǎng)必須參加，其中女生人數(shù)記為X，求X的概率分布；(5)現(xiàn)有100臺(tái)MP3播放器未經(jīng)檢測(cè)，抽取10臺(tái)送檢，把檢驗(yàn)結(jié)果為不合格的MP3播放器的個(gè)數(shù)記為X，求X的概率分布．【精彩點(diǎn)撥】eq\x(總體是否由兩類個(gè)體構(gòu)成)→eq\x(隨機(jī)變量是否為樣本中一類個(gè)體的個(gè)數(shù))→eq\x(是否為不放回抽樣)【自主解答】(1)(2)中樣本沒有分類，不是超幾何分布問題，是重復(fù)試驗(yàn)問題．(3)(4)符合超幾何分布的特征，樣本都分為兩類．隨機(jī)變量X表示抽取n件樣本，某類樣本被抽取的件數(shù)，是超幾何分布．(5)中沒有給出不合格品數(shù)，無法計(jì)算X的概率分布，所以不屬于超幾何分布問題．1．判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從超幾何分布，應(yīng)看三點(diǎn)：(1)總體是否可分為兩類明確的對(duì)象；(2)是否為不放回抽樣；(3)隨機(jī)變量是否為樣本中其中一類個(gè)體的個(gè)數(shù)．2．超幾何分布中，r，n，M，N均為有限數(shù)，且r≤min(n，M)．[再練一題]1．下列隨機(jī)變量中，服從超幾何分布的有________．(填序號(hào))①在10件產(chǎn)品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數(shù)為X；②從3臺(tái)甲型彩電和2臺(tái)乙型彩電中任取2臺(tái)，記X表示所取的2臺(tái)彩電中甲型彩電的臺(tái)數(shù)；③一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，途中有6個(gè)交通崗，記此學(xué)生遇到紅燈的數(shù)為隨機(jī)變量X.【解析】根據(jù)超幾何分布模型定義可知①中隨機(jī)變量X服從超幾何分布．②中隨機(jī)變量X服從超幾何分布．而③中顯然不能看作一個(gè)不放回抽樣問題，故隨機(jī)變量X不服從超幾何分布．【答案】①②超幾何分布的概率現(xiàn)有來自甲、乙兩班學(xué)生共7名，從中任選2名都是甲班的概率為eq\f(1,7).(1)求7名學(xué)生中甲班的學(xué)生數(shù)；(2)設(shè)所選2名學(xué)生中甲班的學(xué)生數(shù)為ξ，求ξ≥1的概率．【精彩點(diǎn)撥】(1)利用古典概型求解．(2)借助超幾何分布的概率公式求解．【自主解答】(1)設(shè)甲班的學(xué)生人數(shù)為M，則eq\f(C\o\al(2,M),C\o\al(2,7))＝eq\f(1,7).即M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2(舍去)．∴7名學(xué)生中甲班的學(xué)生共有3人．(2)由題意可知，ξ～H(2,3,7)，∴P(ξ≥1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,4),C\o\al(2,7))＋eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(0,4),C\o\al(2,7))＝eq\f(4,7)＋eq\f(1,7)＝eq\f(5,7).求解此類問題的關(guān)鍵是先分析隨機(jī)變量是否滿足超幾何分布.如果滿足超幾何分布的條件，則直接利用超幾何分布模型求解，否則借助相應(yīng)概率公式求解.[再練一題]2．高三(1)班的聯(lián)歡會(huì)上設(shè)計(jì)了一項(xiàng)游戲：準(zhǔn)備了10張相同的卡片，其中只在5張卡片上印有“獎(jiǎng)”字．游戲者從10張卡片中任意抽取5張，如果抽到2張或2張以上印有“獎(jiǎng)”字的卡片，就可獲得一件精美的小禮品；如果抽到的5張卡片上都印有“獎(jiǎng)”字，除精美小禮品外，還可獲贈(zèng)一套叢書．一名同學(xué)準(zhǔn)備試一試，那么他能獲得精美小禮品的概率是多少？能獲贈(zèng)一套叢書的概率又是多少？【解】設(shè)X表示抽取5張卡片中印有“獎(jiǎng)”字的卡片數(shù)，則X服從參數(shù)為N＝10，M＝5，n＝5的超幾何分布．X的可能取值為0,1,2,3,4,5，則X的分布列為P(X＝r)＝eq\f(C\o\al(r,5)C\o\al(5－r,5),C\o\al(5,10))(r＝0,1,2,3,4,5)．若要獲得精美小禮品，只需X≥2，故獲得精美小禮品的概率為P(X≥2)＝1－P(X<2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－eq\f(C\o\al(0,5)C\o\al(5,5),C\o\al(5,10))－eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(4,5),C\o\al(5,10))＝eq\f(113,126).若要獲贈(zèng)一套叢書，必須X＝5，故獲贈(zèng)一套叢書的概率為P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(5,5)C\o\al(0,5),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,252).[探究共研型]兩點(diǎn)分布與超幾何分布探究1利用隨機(jī)變量研究一類問題，如抽取的獎(jiǎng)券是否中獎(jiǎng)，買回的一件產(chǎn)品是否為正品，新生嬰兒的性別，投籃是否命中等，這些有什么共同點(diǎn)？【提示】這些問題的共同點(diǎn)是隨機(jī)試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果．定義一個(gè)隨機(jī)變量，使其中一個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)于1，另一個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)于0，即得到服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量．探究2只取兩個(gè)不同值的隨機(jī)變量是否一定服從兩點(diǎn)分布？【提示】不一定．如隨機(jī)變量X的分布列由下表給出X25PX不服從兩點(diǎn)分布，因?yàn)閄的取值不是0或1.探究3在8個(gè)大小相同的球中，有2個(gè)黑球，6個(gè)白球，現(xiàn)從中取3個(gè)，求取出的球中白球個(gè)數(shù)X是否服從超幾何分布？超幾何分布適合解決什么樣的概率問題？【提示】隨機(jī)變量X服從超幾何分布，超幾何分布適合解決從一個(gè)總體(共有N個(gè)個(gè)體)內(nèi)含有兩種不同事物A(M個(gè))、B(N—M個(gè))，任取n個(gè)，其中恰有X個(gè)A的概率分布問題．在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)10張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券1張，可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品，有二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券3張，每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品，其余6張沒有獎(jiǎng)品．(1)顧客甲從10張獎(jiǎng)券中任意抽取1張，求中獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列；(2)顧客乙從10張獎(jiǎng)券中任意抽取2張，①求顧客乙中獎(jiǎng)的概率；②設(shè)顧客乙獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值為Y元，求Y的分布列．【精彩點(diǎn)撥】(1)從10張獎(jiǎng)券中抽取1張，其結(jié)果有中獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)兩種，故X～(0,1)．(2)從10張獎(jiǎng)券中任意抽取2張，其中含有中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券的張數(shù)X(X＝1,2)服從超幾何分布．【自主解答】(1)抽獎(jiǎng)一次，只有中獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)兩種情況，故X的取值只有0和1兩種情況．P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4),C\o\al(1,10))＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，則P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).因此X的分布列為X01Peq\f(3,5)eq\f(2,5)(2)①顧客乙中獎(jiǎng)可分為互斥的兩類事件：所抽取的2張獎(jiǎng)券中有1張中獎(jiǎng)或2張都中獎(jiǎng)．故所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,6)＋C\o\al(2,4)C\o\al(0,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(30,45)＝eq\f(2,3).②Y的所有可能取值為0,10,20,50,60，且P(Y＝0)＝eq\f(C\o\al(0,4)C\o\al(2,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(15,45)＝eq\f(1,3)，P(Y＝10)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(18,45)＝eq\f(2,5)，P(Y＝20)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(0,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(3,45)＝eq\f(1,15)，P(Y＝50)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(6,45)＝eq\f(2,15)，P(Y＝60)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(3,45)＝eq\f(1,15).因此隨機(jī)變量Y的分布列為Y010205060Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)1．兩點(diǎn)分布的幾個(gè)特點(diǎn)(1)兩點(diǎn)分布中只有兩個(gè)對(duì)應(yīng)結(jié)果，且兩個(gè)結(jié)果是對(duì)立的．(2)由對(duì)立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))．2．解決超幾何分布問題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范圍及其意義，解決問題時(shí)可以直接利用公式求解，但不能機(jī)械地記憶．(2)超幾何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，從而求出X的分布列．[再練一題]3．現(xiàn)有10張獎(jiǎng)券，其中8張1元，2張5元，從中同時(shí)任取3張，求所得金額的分布列．【解】設(shè)所得金額為X，X的可能取值為3,7,11.P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝7)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝11)＝eq\f(C\o\al(1,8)·C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).故X的分布列為X3711Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)[構(gòu)建·體系]1．盒中有4個(gè)白球，5個(gè)紅球，從中任取3個(gè)球，則取出1個(gè)白球和2個(gè)紅球的概率是________．【解析】設(shè)隨機(jī)變量X為抽到白球的個(gè)數(shù)，X服從超幾何分布，由公式，得P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,5),C\o\al(3,9))＝eq\f(4×10,84)＝eq\f(10,21).【答案】eq\f(10,21)2．有10位同學(xué)，其中男生6位，女生4位，從中任選3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽．用X表示女生人數(shù)，則概率P(X≤2)＝________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：29440039】【解析】P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,6),C\o\al(3,10))＋eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,6),C\o\al(3,10))＋eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(29,30).【答案】eq\f(29,30)3．若在甲袋內(nèi)裝有8個(gè)白球，4個(gè)紅球，在乙袋中裝有6個(gè)白球，6個(gè)紅球，今從兩袋內(nèi)任意取出1個(gè)球，設(shè)取出的白球個(gè)數(shù)為X，則P(X＝1)＝________.【解析】P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(1,6)＋C\o\al(1,4)C\o\al(1,6),C\o\al(1,12)C\o\al(1,12))＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)4．某12人的興趣小組中，有5名“三好學(xué)生”，現(xiàn)從中任意選6人參加競(jìng)賽，用X表示這6人中“三好學(xué)生”的人