高中數(shù)學(xué)北師大版2本冊(cè)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)1

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(十一)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．用反證法證明“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角為鈍角”，下列假設(shè)中正確的是()A．有兩個(gè)內(nèi)角是鈍角B．有三個(gè)內(nèi)角是鈍角C．至少有兩個(gè)內(nèi)角是鈍角D．沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角是鈍角【解析】“最多有一個(gè)”的反設(shè)是“至少有兩個(gè)”，故選C.【答案】C2．下列命題錯(cuò)誤的是()A．三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°B．四面體的三組對(duì)棱都是異面直線C．閉區(qū)間[a，b]上的單調(diào)函數(shù)f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)D．設(shè)a，b∈Z，若a，b中至少有一個(gè)為奇數(shù)，則a＋b是奇數(shù)【解析】a＋b為奇數(shù)?a，b中有一個(gè)為奇數(shù)，另一個(gè)為偶數(shù)，故D錯(cuò)誤．【答案】D3．“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”的否定正確的為()A．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù)B．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù)C．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)D．a(chǎn)，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)【解析】自然數(shù)a，b，c的奇偶性共有四種情形：(1)3個(gè)都是奇數(shù)；(2)2個(gè)奇數(shù)，1個(gè)偶數(shù)；(3)1個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)；(4)3個(gè)都是偶數(shù)．所以否定正確的是a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)．【答案】D4．設(shè)x，y，z都是正實(shí)數(shù)，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y(tǒng)＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，則a，b，c三個(gè)數(shù)()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67720231】A．至少有一個(gè)不大于2B．都小于2C．至少有一個(gè)不小于2D．都大于2【解析】若a，b，c都小于2，則a＋b＋c<6，①而a＋b＋c＝x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f(1,y)＋z＋eq\f(1,z)≥6，②顯然①②矛盾，所以C正確．【答案】C5．用反證法證明命題：“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過(guò)程歸納為以下三個(gè)步驟：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角；③假設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角A，B，C中有兩個(gè)直角，不妨設(shè)A＝B＝90°，正確順序的序號(hào)為()A．①②③ B．①③②C．②③① D．③①②【解析】根據(jù)反證法的步驟，應(yīng)該是先提出假設(shè)，再推出矛盾，最后否定假設(shè)，從而肯定結(jié)論．【答案】D二、填空題6．命題“任意多面體的面至少有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形”的結(jié)論的否定是__________________．【解析】“至少有一個(gè)”的否定是“沒(méi)有一個(gè)”．【答案】任意多面體的面沒(méi)有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形7．用反證法證明命題“如果a>b，那么eq\r(3,a)>eq\r(3,b)”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是________．【解析】eq\r(3,a)與eq\r(3,b)的關(guān)系有三種情況：eq\r(3,a)>eq\r(3,b)，eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)和eq\r(3,a)<eq\r(3,b)，所以“eq\r(3,a)>eq\r(3,b)”的反設(shè)應(yīng)為“eq\r(3,a)≤eq\r(3,b)”．【答案】eq\r(3,a)≤eq\r(3,b)8．設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一個(gè)大于1”【解析】若a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)，則a＋b＝1，但a<1，b<1，故①不能推出．若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②不能推出．若a＝－2，b＝1，則a2＋b2>2，故④不能推出．對(duì)于③，即a＋b>2，則a，b中至少有一個(gè)大于1.反證法：假設(shè)a≤1且b≤1，則a＋b≤2與a＋b>2矛盾，因此假設(shè)不成立，故a，b中至少有一個(gè)大于1.【答案】③三、解答題9．已知x∈R，a＝x2＋eq\f(1,2)，b＝2－x，c＝x2－x＋1，試證明：a，b，c至少有一個(gè)不小于1.【證明】假設(shè)a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，則有a＋b＋c<3.而與a＋b＋c＝2x2－2x＋eq\f(1,2)＋3＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋3≥3矛盾，故假設(shè)不成立，即a，b，c至少有一個(gè)不小于1.10．已知三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列．【證明】假設(shè)eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差數(shù)列，則eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，兩邊同時(shí)平方得a＋c＋2eq\r(ac)＝4b.把b2＝ac代入a＋c＋2eq\r(ac)＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差數(shù)列，這與a，b，c不成等差數(shù)列矛盾．所以eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列．[能力提升]1．有以下結(jié)論：①已知p3＋q3＝2，求證p＋q≤2，用反證法證明時(shí)，可假設(shè)p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求證方程x2＋ax＋b＝0的兩根的絕對(duì)值都小于1，用反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x1的絕對(duì)值大于或等于1，即假設(shè)|x1|≥1.下列說(shuō)法中正確的是()A．①與②的假設(shè)都錯(cuò)誤B．①與②的假設(shè)都正確C．①的假設(shè)正確；②的假設(shè)錯(cuò)誤D．①的假設(shè)錯(cuò)誤；②的假設(shè)正確【解析】用反證法證題時(shí)一定要將對(duì)立面找準(zhǔn)．在①中應(yīng)假設(shè)p＋q>2，故①的假設(shè)是錯(cuò)誤的，而②的假設(shè)是正確的．【答案】D2．已知命題“在△ABC中，A≠B.求證sinA≠sinB”．若用反證法證明，得出的矛盾是()A．與已知條件矛盾B．與三角形內(nèi)角和定理矛盾C．與已知條件矛盾且與三角形內(nèi)角和定理矛盾D．與大邊對(duì)大角定理矛盾【解析】證明過(guò)程如下：假設(shè)sinA＝sinB，因?yàn)?<A<π，0<B<π，所以A＝B或A＋B＝π.其中A＝B與A≠B矛盾；A＋B＝π與三角形內(nèi)角和定理矛盾，所以假設(shè)不成立．所以sinA≠sinB.【答案】C3．劉老師帶甲、乙、丙、丁四名學(xué)生去西安參加自主招生考試，考試結(jié)束后老師向四名學(xué)生了解考試情況．四名學(xué)生回答如下：甲說(shuō)：“我們四人都沒(méi)考好”．乙說(shuō)：“我們四人中有人考得好”．丙說(shuō)：“乙和丁至少有一人沒(méi)考好”．丁說(shuō)：“我沒(méi)考好”．結(jié)果，四名學(xué)生中有兩人說(shuō)對(duì)了，則這四名學(xué)生中的________兩人說(shuō)對(duì)了．【解析】甲與乙的關(guān)系是對(duì)立事件，二人說(shuō)話矛盾，必有一對(duì)一錯(cuò)，如果選丁正確，則丙也是對(duì)的，所以丁錯(cuò)誤，可得丙正確，此時(shí)乙正確．故答案為乙，丙．【答案】乙，丙4．設(shè){an}，{bn}是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，cn＝an＋bn，證明：數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列．【證明】假設(shè)數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，則(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)． ①因?yàn)閧an}，{bn}是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，設(shè)公比分別為p，q，所以aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1，beq\o\al(2,n)＝bn－1bn＋1.代入①并整理，得2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbneq\b\lc\(\rc\)(\a\