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利息與利率累積函數(shù)(本息),終值實(shí)際利率單利復(fù)利名義利率利息力利息:貼現(xiàn):實(shí)際貼現(xiàn)率名義貼現(xiàn)率貼現(xiàn)力1、利息:利息(interest)是在一定時期內(nèi)借款為了一筆資金而付給出借者的報酬。(1)資金擁有者角度:希望從自己的出借中得到補(bǔ)償;(2)資金使用者角度:必須付給出借者一定的報酬以獲得使用資金的權(quán)利。因此,利息可被視為借款者所繳納的租金,用以補(bǔ)償出借者因為不能使用這筆資金而蒙受的損失。1.1累積函數(shù)(accumulationfunction):指期初的一元本金在t時刻的本金累積值,通常記為a(t),具有以下性質(zhì):a(0)=1;a(t)為時間t的遞增函數(shù),即利息是非負(fù)的。若期初本金不為1,為A(0),則在t時刻的累積函數(shù)為:A(t)=A(0)a(t),a(t)=A(t)/A(0).用I(t)表示0~t時刻的利息額,則I(t)=A(t)-A(0).1.1.2實(shí)際利率(effectiverateofinterest)實(shí)際利率指的是一元本金在期末時賺取的利息,通常用百分?jǐn)?shù)表示,例如i=5%。
用累積函數(shù)表示:1.1.3單利(simpleinterest)定義:指只對本金計算利息,而對前期已經(jīng)產(chǎn)生的利息在后期不再產(chǎn)生利息。在單利條件下,每期的利息都是常數(shù)。若a(0)=1,則a(t)=1+it,t=0,1,2,…。a(t)1+i101t1+it圖1單利的累積函數(shù)單利與實(shí)際利率的關(guān)系:在單利條件下,從t時刻起的實(shí)際利率為:由右式可以看到,隨著時間t的增大,實(shí)際利率越來越低。1.1.4復(fù)利(compoundinterest)定義復(fù)利指前期賺取的利息在后期會繼續(xù)產(chǎn)生利息。這意味著前期的利息將自動進(jìn)行投資。設(shè)年利率為i,那么1元本金在第一年末的利息為i,本息累積值a(1)=1+i,作為第二年的本金進(jìn)行投資;第二年末賺取的利息為i(1+i),累積值為(1+i)*(1+i),做為第二年的本金進(jìn)行投資;……第n年末賺取的利息為i(1+i)n-1,累積值為(1+i)*(1+i)n-1=(1+i)n
,做為第n+1年的本金進(jìn)行投資.實(shí)際上,對非整數(shù)的t年末,累積值a(t)=(1+i)t
也成立。(將月,日轉(zhuǎn)化為年做單位)。例2若復(fù)利的年利率為5%,初始本金為2000元,試計算(1)9個月后的累積值;(2)在2年零三個月后的累積值。解:9個月等于0。75年,故9個月的累積值為2年3個月等于2.25年,故2年3個月后的累積值為復(fù)利與實(shí)際利率的關(guān)系:在復(fù)利條件下,從t時刻起的實(shí)際利率為:由右式可以看到,在復(fù)利條件下,實(shí)際利率等于實(shí)際利率。例3小張從銀行借款20000元,4年后需償還25249.54元,請計算該筆借款的年實(shí)際利率。解令(年)實(shí)際利率為i,則根據(jù)題意得1.1.5名義利率(nominalrateofinterest)名義利率指給定一年的年利率,但是該利率是分多次結(jié)轉(zhuǎn)。給出名義利率是為了給出不足一年的區(qū)間的實(shí)際利率。例如,銀行的貸款利率為12%(一般指年利率),如果借款人從銀行借得期限為1年,金額為100元的貸款,則一年的利息為12元。如果銀行要求年末支付利息,則12%為實(shí)際利率。如果銀行要求每個月末支付一次利息1元,那么12%就為名義利率,一個月的實(shí)際利率為1%。反之,如果一個月的實(shí)際利率為1%,則年名義利率為12%。如果一個季度的實(shí)際利率為2%,則年名義利率為8%。年名義利率必須與一年所包含的小區(qū)間(月,季度等)相聯(lián)系例年名義利率為12%,每年結(jié)轉(zhuǎn)4次(或每個季度復(fù)利一次),則月實(shí)際利率為12%/4=3%,年實(shí)際利率為(1+3%)4-1=12.55%如果年名義利率為i,復(fù)利m次,則年實(shí)際利率為令則年實(shí)際利率年累積值(本息)為t年累積值(本息)為例42000元的本金按每年復(fù)利4次的年名義利率6%投資,試計算2年零6個月后的累積值。解名義利率為6%,每年復(fù)利4次,即每季度復(fù)利一次,季度利率為6%/4=1.5%.(法一)2年零6個月等于10季度,故10個季度后累積值為2000*(1+1.5%)10=2321.08(元)(法二)年實(shí)際利率為(1+1.5%)4-1=6.137%.故2年零6個月后的累積值為2000*(1+6.137%)2.5=2321.08(元)表1年實(shí)際利率隨復(fù)利次數(shù)的變化情況
(年名義利率為10%)復(fù)利次數(shù)年實(shí)際利率年初1000元本金年末的本息(累積值)1(每年復(fù)利1次)0.100001100.002(每半年復(fù)利1次)0.102501102.504(每季度復(fù)利1次)0.103811103.8112(每月復(fù)利1次)0.104711104.7152(每周復(fù)利1次)0.105071105.07365(每天復(fù)利1次)0.105161105.161.1.6利息力(forceofinterest)定義利息力指的是資本在任意一個時間點(diǎn)上獲取利息的能力。
t時刻的利息力可用累積值來表示:上式中,表示的是在區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生的利息。每個區(qū)間的實(shí)際利率與一年所包含的區(qū)間個數(shù)相乘就是年名義利率一年內(nèi)包含的區(qū)間個數(shù)為意味著連續(xù)結(jié)轉(zhuǎn)利息(即連續(xù)復(fù)利).因此,利息力是連續(xù)結(jié)轉(zhuǎn)利息時的名義利率。由利息力得到累積函數(shù):由利息力的定義式關(guān)于s在[0,t]上進(jìn)行積分得用s代替t,若初始資本不為1,為A(0),t時刻累積值為A(t),有
表示金額A(s)在ds時段內(nèi)因利息力的作用而賺取的利息。將其在[0,t]上積分,得到在t個度量期內(nèi)賺取的利息總額。1.2終值、現(xiàn)值與貼現(xiàn)由于貸出貨幣具有收益(獲得利息),持有貨幣具有成本(需要支付或損失利息),因此,在不同時間獲得的貨幣其價值是不同的?,F(xiàn)在獲得的一定量的貨幣比未來獲得的等量貨幣具有更高的價值。這就是貨幣的時間價值(TimeValueofMoney)。這種貨幣的時間價值可以通過計算現(xiàn)金流的現(xiàn)值或終值來反映。1.2.1終值與終值系數(shù)終值(FutureValue)是用復(fù)利計息方法計算的一筆投資在未來某個時間獲得的本息和,計算公式為:式中,A(t)為t年后的本息和,即以復(fù)利計算的t年終值。A(0)為初始本金。與初始本金A(0)相乘的系數(shù)(1+i)t稱為終值系數(shù),本質(zhì)是1元本金在t年后的累積值,故為
a(t)。利率相同,期限相同的投資的終值系數(shù)是相同的,因此,不同金額的投資的終值是其投資額與同一終值系數(shù)的乘積。如果現(xiàn)在的X在1年后的終值為Y,意味著如果想在1年后想得到的價值為Y的資金,必須在當(dāng)前投資X。即:Y的現(xiàn)在價值為X,簡稱現(xiàn)值。例如:年實(shí)際利率為5%,則當(dāng)前的1000元在一年后的終值為1050元,而一年末的1050元,在當(dāng)前的現(xiàn)值為1000元。如果在t期末獲得1元的累積值,期初的本金應(yīng)該是多少?這是一個求現(xiàn)值的問題。求現(xiàn)值的過程也被稱作貼現(xiàn)過程。顯然貼現(xiàn)過程與累積過程是互逆的。1.2.2現(xiàn)值與貼現(xiàn)系數(shù)復(fù)利的貼現(xiàn)系數(shù)為:
a-1(t)=1/(1+i)t=v
t
v=1/(1+i)稱為貼現(xiàn)因子。v的意義:第一期末的一元錢的期初本金。期初的x元在t期末的累積值為x(1+i)t,t期末的y元在期初的現(xiàn)值為yv
t=y(1+i)-t。如果在t期末希望獲得1元終值,期初的本金就應(yīng)該是a-1(t)。稱a-1(t)為貼現(xiàn)系數(shù)(discountfactor)。例
假設(shè)復(fù)利的年利率為5%。(1)如果希望在9個月末獲得2000元;(2)如果希望在2年零3個月后獲得2000元,試分別計算期初的本金應(yīng)為多少?解:貼現(xiàn)的本質(zhì)是預(yù)付利息:0時刻1時刻1元1+i
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