計量地理學-35-主成分分析

主成分分析的基本原理主成分分析的計算步驟主成分分析方法應用實例主成分分析問題的提出地理系統(tǒng)是多變量要素的復雜系統(tǒng)。在地理學研究中，多變量問題是經(jīng)常會遇到的。變量太多，無疑會增加分析問題的難度與復雜性，而且在許多實際問題中，多個變量之間是具有一定的相關(guān)關(guān)系的。因此，人們會很自然地想到，能否在相關(guān)分析的基礎(chǔ)上，用較少的新變量代替原來較多的舊變量，而且使這些較少的新變量盡可能多地保留原來變量所反映的信息？事實上，這種想法是可以實現(xiàn)的，主成分分析方法就是綜合處理這種問題的一種強有力的工具。主成分分析是把原來多個變量劃為少數(shù)幾個綜合指標的一種統(tǒng)計分析方法。從數(shù)學角度來看，這是一種降維處理技術(shù)。主成分分析的基本原理在某多要素地理系統(tǒng)中，假定有n個樣本，每個樣本共有p個變量，構(gòu)成一個n×p階的地理數(shù)據(jù)矩陣：地理數(shù)據(jù)樣本數(shù)n，自然是越大越好，也即數(shù)據(jù)矩陣的行數(shù)n越大越好。地理系統(tǒng)的變量數(shù)p值較大時，一方面在p維空間中考察問題較為麻煩，另一方面大量變量之間可能有相關(guān)性的重復。為了克服這一困難，就需要進行降維處理。地理系統(tǒng)的變量數(shù)p值應該是少而精。主成分分析是用較少幾個綜合指標代替原來較多的變量指標，而且使這些較少的綜合指標既能盡量多地反映原來較多變量指標所反映的信息，同時它們之間又是彼此獨立的。記x1，x2，…，xP為原變量指標，z1，z2，…，zm（m≤p）為新的綜合變量指標，則考慮每個新變量都是由原所有變量的線性加權(quán)總和所構(gòu)成：lij如何確定這些系數(shù)lij？系數(shù)lij的確定原則：①

zi與zj（i≠j;i,j=1,2,…,m）相互無關(guān)；②

z1是x1，x2，…，xP的一切線性組合中方差最大者；z2是與z1不相關(guān)的x1，x2，…，xP的所有線性組合中方差最大者;…

……………………………zm是與z1，z2，……，zm－1都不相關(guān)的x1，x2，…xP的所有線性組合中方差最大者。保證新變量之間彼此獨立沒有相關(guān)性新變量依次分別降序排列地保留原變量所包含的信息這樣得到的新變量指標z1，z2，…，zm分別稱為原變量指標x1，x2，…，xP的第1，第2，…，第m主成分。從數(shù)學上可以證明，載荷系數(shù)lij分別是原變量相關(guān)系數(shù)矩陣的m個較大特征根所對應的特征向量。從以上的分析可以看出，主成分分析的實質(zhì)就是確定原來變量xj（j=1，2，…，

p）在諸主成分變量zi（i=1，2，…，m）上的荷載

lij（

i=1，2，…，m；

j=1，2，…，p）。載荷系數(shù)lij的確定遵循兩個原則主成分分析的計算步驟①計算相關(guān)系數(shù)矩陣②計算特征值與特征向量③計算主成分貢獻率及累計貢獻率④計算主成分載荷⑤各主成分的得分數(shù)據(jù)基礎(chǔ)求解出待定的系數(shù)lij確定主成分變量個數(shù)求解主成分變量載荷系數(shù)lij確定主成分變量的數(shù)據(jù)內(nèi)容及貢獻程度①計算相關(guān)系數(shù)矩陣rij(i,j=1,2,…,p)為原變量xi與xj的單相關(guān)系數(shù)，rij=rji，其計算公式為：②計算特征值與特征向量求解特征方程，常用雅可比法（Jacobi）求出特征值，并使其按大小順序排列；相關(guān)系數(shù)矩陣特征根個數(shù)與相關(guān)系數(shù)矩陣的階數(shù)一致，即原變量有p個，特征根也有p個。然后再分別求出對應于特征值的特征向量，要求=1，即，其中表示向量的第j個分量。p個特征根對應于p個主成分變量，與原變量個數(shù)相同，沒有達到數(shù)據(jù)降維要求？③計算主成分貢獻率及累計貢獻率主成分貢獻率：主成分累計貢獻率：一般取累計貢獻率達85%~95%的特征值所對應的第1、第2、…、第m（m≤p）個主成分。一方面新的主成分變量保留了超過85%的原變量信息內(nèi)容；另一方面主成分個數(shù)m少于原變量個數(shù)p，達到了數(shù)據(jù)降維效果。④計算主成分載荷系數(shù)第i個主成分的載荷系數(shù)lij的求解：第i個特征根第i個特征根所對應的特征向量的第j個分量⑤計算各主成分的得分Z1Z2Zm主成分分析方法應用實例對下表的某農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行主成分分析：解：（1）將原數(shù)據(jù)表中的變量統(tǒng)計數(shù)據(jù)作標準差標準化處理，然后將它們代入公式單相關(guān)系數(shù)公式中來計算，得出9個變量的9×9相關(guān)系數(shù)矩陣：（2）由相關(guān)系數(shù)矩陣R構(gòu)成的特征方程，計算其對應的特征值，按照特征根的數(shù)值大小進行降序排序，在此基礎(chǔ)上計算各個主成分的貢獻率與累計貢獻率：第3主成分的累計貢獻率已高達86.596%（大于85%），即第1、2、3主成分已可代表原變量的86.596%的信息內(nèi)容。因此，只需要求出第1、第2、第3主成分z1，z2，z3即可。

（3）對于選擇的3個主成分的3個特征值λ1=4.6610，λ2=2.0890，λ3=1.0430，分別求出其特征向量e1，e2，e3，再用公式計算各變量x1，x2，…，x9在主成分z1，z2，z3上的載荷lij：第1主成分z1與x1，x5，x6，x7，x9呈現(xiàn)出較強的正相關(guān)，與x3呈現(xiàn)出較強的負相關(guān)，而這幾個變量則綜合反映了生態(tài)經(jīng)濟結(jié)構(gòu)狀況，因此可以認為第1主成分z1是生態(tài)經(jīng)濟結(jié)構(gòu)的代表。第2主成分z2與x2，x4，x5呈現(xiàn)出較強的正相關(guān)，與x1呈現(xiàn)出較強的負相關(guān)，其中，除了x1為人口總數(shù)外，x2，x4，x5都反映了人均占有資源量的情況，因此可以認為第2主成分z2代表了人均資源量。第3主成分z3與x8呈現(xiàn)出的正相關(guān)程度最高，其次是x6，而與x7呈負相關(guān)，因此可以認為第3主成分z3在一定程度上代表了農(nóng)業(yè)經(jīng)濟結(jié)構(gòu)。另外，表中最后一列（占方差的百分數(shù)）