高中數(shù)學(xué)人教A版第一章三角函數(shù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 優(yōu)秀作品

課題名稱：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(一)課程模塊及章節(jié)：必修4第一章節(jié)備課時(shí)間：學(xué)科：數(shù)學(xué)備課組：高一年級(jí)數(shù)學(xué)主備教師：黃澤專備課組長(zhǎng)：龍清華組員：邱建成、張秋花、保德懷、趙明烈、張國(guó)彪教師二次備課教學(xué)背景分析（一）課標(biāo)的理解與把握能夠借助三角函數(shù)的定義及單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（二）教材分析：本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容“誘導(dǎo)公式（二）、（三）、（四）”是人教版數(shù)學(xué)4，第一章1、3節(jié)內(nèi)容，是學(xué)生已學(xué)習(xí)過(guò)的三角函數(shù)定義、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式（一）等知識(shí)的延續(xù)和拓展，又是推導(dǎo)誘導(dǎo)公式（五）的理論依據(jù)。（三）學(xué)情分析：如何引導(dǎo)學(xué)生從單位圓的對(duì)稱性與任意角終邊的對(duì)稱性中，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出研究方法．教學(xué)目標(biāo)1記憶正弦、余弦的誘導(dǎo)公式．2.誘導(dǎo)公式并運(yùn)用其進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)以及簡(jiǎn)單三角恒等式的證明．教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)與恒等式的證明教學(xué)準(zhǔn)備、教學(xué)資源和主要教學(xué)方法模型、直尺、多媒體。自主性學(xué)習(xí)法；反饋練習(xí)式學(xué)習(xí)法教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)教師為主的活動(dòng)學(xué)生為主的活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入新課一．問(wèn)題引入：角的概念已經(jīng)由銳角擴(kuò)充到了任意角，前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)任意角的三角函數(shù)，那么任意角的三角函數(shù)值怎么求呢？先看一個(gè)具體的問(wèn)題。求390°角的正弦、余弦值.一般地，由三角函數(shù)的定義可以知道，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等，即有：sin(+2kπ)=sinα，cos(+2kπ)=cosα，tan(+2kπ)=tanα(k∈Z)。(公式一)通過(guò)復(fù)習(xí)知識(shí)引人新課激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣目標(biāo)引領(lǐng)把學(xué)習(xí)目標(biāo)板在黑板的右上角，并對(duì)目標(biāo)進(jìn)行解讀?；顒?dòng)導(dǎo)學(xué)二．嘗試推導(dǎo)由上一組公式，我們知道，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值一定相等。反過(guò)來(lái)呢？問(wèn)題：你能找出和30°角正弦值相等，但終邊不同的角嗎？角π與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱,有sin(π)=sin，cos(π)=cos，（公式二）tan(π)=tan。因?yàn)榕c角終邊關(guān)于y軸對(duì)稱是角π-，，利用這種對(duì)稱關(guān)系，得到它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。于是，我們就得到了角π與角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:正弦值相等，余弦值互為相反數(shù)，進(jìn)而，就得到我們研究三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的路線圖：角間關(guān)系→對(duì)稱關(guān)系→坐標(biāo)關(guān)系→三角函數(shù)值間關(guān)系。三．自主探究問(wèn)題：兩個(gè)角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱,你有什么結(jié)論?兩個(gè)角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱呢？角與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，有：sin()=sin，cos()=cos，（公式三）tan()=tan。角π+與角終邊關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，有：sin(π+)=sin，cos(π+)=cos，（公式四）tan(π+)=tan。上面的公式一~四都稱為三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式。結(jié)論：的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)．總結(jié)為一句話：函數(shù)名不變，符號(hào)看象限四．簡(jiǎn)單應(yīng)用例1利用公式求下列三角函數(shù)值:(1)cos225°;(2)sin;(3)sin();(4)cos(-2040°).活動(dòng):這是直接運(yùn)用公式的題目類型,讓學(xué)生熟悉公式,通過(guò)練習(xí)加深印象,逐步達(dá)到熟練、正確地應(yīng)用.讓學(xué)生觀察題目中的角的范圍,對(duì)照公式找出哪個(gè)公式適合解決這個(gè)問(wèn)題.解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=;(2)sin=sin(4π)=-sin=;(3)sin()=-sin=-sin(5π+)=-(-sin)=;(4)cos(-2040°)=cos2040°=cos(6×360°-120°)=cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°=.點(diǎn)評(píng):利用公式一—四把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù),一般可按下列步驟進(jìn)行:上述步驟體現(xiàn)了由未知轉(zhuǎn)化為已知的轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.學(xué)生閱讀、觀察、思考、討論交流。提問(wèn)式回答，教師再補(bǔ)充完整。學(xué)生觀察圖形，思考學(xué)生觀察、思考、討論以問(wèn)題式給出，把課堂較給學(xué)生，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性。培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力當(dāng)堂評(píng)價(jià)目標(biāo)檢測(cè)(1)cos(-510°15′);(2)sin(π).解:(1)cos(-510°15′)=cos510°15′=cos(360°+150°15′)=cos150°15′=cos(180°-29°45′)=-cos29°45′=2;(2)sin(π)=sin(-3×2π)=sin=.例22023全國(guó)高考,1cos330°等于()A.B.C.D.答案:C課堂小結(jié)今天學(xué)習(xí)哪些知識(shí),的哪些收獲?板書(shū)設(shè)計(jì)一．問(wèn)題引入例1練習(xí)二．嘗試推導(dǎo)三．自主探究四．簡(jiǎn)單應(yīng)用教學(xué)反思課題名稱：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(二)課程模塊及章節(jié)：必修4第一章節(jié)備課時(shí)間：2023-2學(xué)科：數(shù)學(xué)備課組：高一年級(jí)數(shù)學(xué)主備教師：黃澤專備課組長(zhǎng)：龍清華組員：邱建成、張秋花、保德懷、趙明烈、張國(guó)彪教師二次備課教學(xué)背景分析（一）課標(biāo)的理解與把握能夠借助三角函數(shù)的定義及單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（二）教材分析：本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容“誘導(dǎo)公式（二）、（三）、（四）”是人教版數(shù)學(xué)4，第一章1、3節(jié)內(nèi)容，是學(xué)生已學(xué)習(xí)過(guò)的三角函數(shù)定義、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式（一）等知識(shí)的延續(xù)和拓展，又是推導(dǎo)誘導(dǎo)公式（五）的理論依據(jù)。±α,±α的三角函數(shù)公式為:“函數(shù)名改變,符號(hào)看象限.”其中α看成銳角.（三）學(xué)情分析：如何引導(dǎo)學(xué)生從單位圓的對(duì)稱性與任意角終邊的對(duì)稱性中，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出研究方法．教學(xué)目標(biāo)1記憶正弦、余弦的誘導(dǎo)公式．2.誘導(dǎo)公式并運(yùn)用其進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)以及簡(jiǎn)單三角恒等式的證明．教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)與恒等式的證明教學(xué)準(zhǔn)備、教學(xué)資源和主要教學(xué)方法模型、直尺、多媒體。自主性學(xué)習(xí)法；反饋練習(xí)式學(xué)習(xí)法教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)教師為主的活動(dòng)學(xué)生為主的活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入新課一．問(wèn)題引入：上一節(jié)課我們研究了誘導(dǎo)公式二、三、四.現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們回憶一下相應(yīng)的公式.提問(wèn)多名學(xué)生上黑板默寫(xiě)公式.在此基礎(chǔ)上,我們今天繼續(xù)探究別的誘導(dǎo)公式,揭示課題.通過(guò)復(fù)習(xí)知識(shí)引人新課激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣目標(biāo)引領(lǐng)把學(xué)習(xí)目標(biāo)板在黑板的右上角，并對(duì)目標(biāo)進(jìn)行解讀?；顒?dòng)導(dǎo)學(xué)二．推進(jìn)新課提出問(wèn)題終邊與角α的終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱的角有何數(shù)量關(guān)系?活動(dòng):我們借助單位圓探究終邊與角α的終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱的角的數(shù)量關(guān)系.教師充分讓學(xué)生探究,啟發(fā)學(xué)生借助單位圓,點(diǎn)撥學(xué)生從終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱的兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系,關(guān)于直線y=x對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系進(jìn)行引導(dǎo).圖3討論結(jié)果:如圖3,設(shè)任意角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(x,y),由于角-α的終邊與角α的終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱,角-α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P2與點(diǎn)P1關(guān)于直線y=x對(duì)稱,因此點(diǎn)P2的坐標(biāo)是(y,x),于是,我們有sinα=y,cosα=x,cos(-α)=y,sin(-α)=x.從而得到公式五:cos(-α)=sinα,sin(-α)=cosα.提出問(wèn)題能否用已有公式得出+α的正弦、余弦與α的正弦、余弦之間的關(guān)系式?活動(dòng):教師點(diǎn)撥學(xué)生將+α轉(zhuǎn)化為π-(-α),從而利用公式四和公式五達(dá)到我們的目的.因?yàn)?α可以轉(zhuǎn)化為π-(-α),所以求+α角的正余弦問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為利用公式四接著轉(zhuǎn)化為利用公式五,這時(shí)可以讓學(xué)生獨(dú)立推導(dǎo)公式六.討論結(jié)果:公式六Sin(+α)=cosα,cos(+α)=-sinα.提出問(wèn)題你能概括一下公式五、六嗎?活動(dòng):結(jié)合上一堂課研究公式一—四的共同特征引導(dǎo)學(xué)生尋求公式五、六的共同特征,指導(dǎo)學(xué)生用類比的方法即可將公式五和公式六進(jìn)行概括.討論結(jié)果:±α的正弦(余弦)函數(shù)值,分別等于α的余弦(正弦)函數(shù)值,前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).進(jìn)一步可以簡(jiǎn)記為:函數(shù)名改變,符號(hào)看象限.利用公式五或公式六,可以實(shí)現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化.公式一—六都叫做誘導(dǎo)公式.示例應(yīng)用例1證明(1)sin(-α)=-cosα;(2)cos(-α)=-sinα.活動(dòng):直接應(yīng)用公式五、六或者通過(guò)轉(zhuǎn)化后利用公式五、六解決化簡(jiǎn)、證明問(wèn)題.證明:(1)sin(-α)=sin[π+(-α)]=-sin(-α)=-cosα;(2)cos(-α)=cos[π+(-α)]=-cos(-α)=-sinα.點(diǎn)評(píng):由公式五及六推得±α的三角函數(shù)值與角α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系,從而進(jìn)一步可以推廣到π(k∈Z)的情形.本例的結(jié)果可以直接作為誘導(dǎo)公式直接使用.例2化簡(jiǎn)活動(dòng):仔細(xì)觀察題目中的角,哪些是可以利用公式二—四的,哪些是可以利用公式五、六的.認(rèn)真應(yīng)用誘導(dǎo)公式,達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.解:原式====-tanα.學(xué)生閱讀、觀察、思考、討論交流。提問(wèn)式回答，教師再補(bǔ)充完整。學(xué)生觀察圖形，思考學(xué)生觀察、思考、討論以問(wèn)題式給出，把課堂較給學(xué)生，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性。培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力當(dāng)堂評(píng)價(jià)目標(biāo)檢測(cè)知能訓(xùn)練課本練習(xí)4—7.課堂小結(jié)本節(jié)課同學(xué)們自己導(dǎo)出了公式五、公式六,完成了教材中誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)任務(wù),為求任意角的三角函數(shù)值“鋪平了道路”.公式一至六可用一句話“縱變橫不變,符號(hào)看象限”來(lái)記憶,板書(shū)設(shè)計(jì)一．問(wèn)題引入例1例2練習(xí)二．嘗試推導(dǎo)三．自主探究四．簡(jiǎn)單應(yīng)用教學(xué)反思課題名稱：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(三)課程模塊及章節(jié)：必修4第一章節(jié)備課時(shí)間：學(xué)科：數(shù)學(xué)備課組：高一年級(jí)數(shù)學(xué)主備教師：黃澤專備課組長(zhǎng)：龍清華組員：邱建成、張秋花、保德懷、趙明烈、張國(guó)彪教師二次備課教學(xué)背景分析（一）課標(biāo)的理解與把握.通過(guò)學(xué)生的探究,明了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的來(lái)龍去脈,理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過(guò)程;培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力及運(yùn)算能力,滲透轉(zhuǎn)化及分類討論的思想.（二）教材分析：本節(jié)主要是推導(dǎo)誘導(dǎo)公式二、三、四,并利用它們解決一些求解、化簡(jiǎn)、證明問(wèn)題.本小節(jié)介紹的五組誘導(dǎo)公式在內(nèi)容上既是公式一的延續(xù),又是后繼學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ),它們與公式一組成的六組誘導(dǎo)公式,用于解決求任意角的三角函數(shù)值的問(wèn)題以及有關(guān)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、證明等問(wèn)題.±α,±α的三角函數(shù)公式為:“函數(shù)名改變,符號(hào)看象限.”其中α看成銳角.（三）學(xué)情分析：通過(guò)誘導(dǎo)公式的具體運(yùn)用,熟練正確地運(yùn)用公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明問(wèn)題,體會(huì)數(shù)式變形在數(shù)學(xué)中的作用.教學(xué)目標(biāo)1記憶正弦、余弦的誘導(dǎo)公式．2.誘導(dǎo)公式并運(yùn)用其進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)以及簡(jiǎn)單三角恒等式的證明．教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):五個(gè)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)和六組誘導(dǎo)公式的靈活運(yùn)用,三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)和證明等.教學(xué)難點(diǎn):六組誘導(dǎo)公式的靈活運(yùn)用.教學(xué)準(zhǔn)備、教學(xué)資源和主要教學(xué)方法模型、直尺、多媒體。自主性學(xué)習(xí)法；反饋練習(xí)式學(xué)習(xí)法教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)教師為主的活動(dòng)學(xué)生為主的活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入新課一．問(wèn)題引入：上一節(jié)課我們研究了誘導(dǎo)公式一、二、三、四、五、六.現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們回憶一下相應(yīng)的公式.提問(wèn)多名學(xué)生上黑板默寫(xiě)公式.通過(guò)復(fù)習(xí)知識(shí)引人課激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣目標(biāo)引領(lǐng)把學(xué)習(xí)目標(biāo)板在黑板的右上角，并對(duì)目標(biāo)進(jìn)行解讀。活動(dòng)導(dǎo)學(xué)二．推進(jìn)新課公式一:sin(+2kπ)=sinα，cos(+2kπ)=cosα，tan(+2kπ)=tanα(k∈Z)。（公式二）sin(π)=sin，cos(π)=cos，tan(π)=tan。（公式三）sin()=sin，cos()=cos，tan()=tan。（公式四）sin(π+)=sin，cos(π+)=cos，tan(π+)=tan。公式五:cos(-α)=sinα,sin(-α)=cosα.公式六Sin(+α)=cosα,cos(+α)=-sinα.示例應(yīng)用例1化簡(jiǎn)eq\f(cosθ＋4π·cos2θ＋π·sin2θ＋3π,sinθ－4πsin5π＋θcos2－π＋θ).解:原式＝eq\f(cosθ·－cosθ2·sin2θ＋π,sinθ·sinπ＋θcos2π－θ)＝eq\f(cosθ·cos2θ·－sinθ2,sinθ·－sinθ·－cosθ2)＝eq\f(cos3θsin2θ,－sin2θ·cos2θ)＝－cosθ.例2:已知角α終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－4,3)，求eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin－π－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α)))的值．【解】∵角α終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－4,3)，∴tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f(3,4)，∴eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin－π－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α)))＝eq\f(－sinα·sinα,－sinα·cosα)＝tanα＝－eq\f(3,4).例3:已知cos(α－75°)＝－eq\f(1,3)，且α為第四象限角，求sin(105°＋α)的值．【思路探究】由于105°＋α＝180°＋(α－75°)，故需利用條件求出sin(α－75°)即可．解∵cos(α－75°)＝－eq\f(1,3)<0，且α為第四象限角，∴α－75°是第三象限角．∴sin(α－75°)＝－eq\r(1－cos2α－75°)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2)＝－eq\f(2\r(2),3)