高中數(shù)學(xué)人教A版1直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)10

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(十)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．如圖2-5-17，⊙O的兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)E，EC＝1，DE＝4，AE＝2，則BE＝()圖2-5-17A．1 B．2C．3 D．4【解析】由相交弦定理得AE·EB＝DE·EC，即2EB＝4×1，∴BE＝2.【答案】B2．PT切⊙O于T，割線(xiàn)PAB經(jīng)過(guò)點(diǎn)O交⊙O于A，B，若PT＝4，PA＝2，則cos∠BPT＝()\f(4,5) \f(1,2)\f(3,8) \f(3,4)【解析】如圖所示，連接OT，根據(jù)切割線(xiàn)定理，可得PT2＝PA·PB，即42＝2×PB，∴PB＝8，∴AB＝PB－PA＝6，∴OT＝r＝3，PO＝PA＋r＝5，∴cos∠BPT＝eq\f(PT,PO)＝eq\f(4,5).【答案】A3．如圖2-5-18，⊙O的直徑CD與弦AB交于P點(diǎn)，若AP＝4，BP＝6，CP＝3，則⊙O的半徑為()圖2-5-18A． B．5C．6 D．【解析】由相交弦定理知AP·BP＝CP·PD，∵AP＝4，BP＝6，CP＝3，∴PD＝eq\f(AP·BP,CP)＝eq\f(4×6,3)＝8，∴CD＝3＋8＝11，∴⊙O的半徑為.【答案】A4．如圖2-5-19，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.以BC上一點(diǎn)O為圓心作⊙O與AC，AB都相切，又⊙O與BC的另一個(gè)交點(diǎn)為D，則線(xiàn)段BD的長(zhǎng)為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07370047】圖2-5-19A．1 \f(1,2)\f(1,3) \f(1,4)【解析】觀察圖形，AC與⊙O切于點(diǎn)C，AB與⊙O切于點(diǎn)E，則AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝5.如圖，連接OE，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理得AE＝AC＝4，故BE＝AB－AE＝5－4＝1.根據(jù)切割線(xiàn)定理得BD·BC＝BE2，即3BD＝1，故BD＝eq\f(1,3).【答案】C5.如圖2-5-20，AD，AE，BC分別與圓O切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，延長(zhǎng)AF與圓O交于另一點(diǎn)G.給出下列三個(gè)結(jié)論：圖2-5-20①AD＋AE＝AB＋BC＋AC；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正確結(jié)論的序號(hào)是()A．①② B．②③C．①③ D．①②③【解析】①項(xiàng)，∵BD＝BF，CE＝CF，∴AD＋AE＝AC＋CE＋AB＋BD＝AC＋AB＋CF＋BF＝AC＋AB＋BC，故①正確；②項(xiàng)，∵AD＝AE，AD2＝AF·AG，∴AF·AG＝AD·AE，故②正確；③項(xiàng)，延長(zhǎng)AD于M，連接FD，∵AD與圓O切于點(diǎn)D，則∠GDM＝∠GFD，∴∠ADG＝∠AFD≠∠AFB，則△AFB與△ADG不相似，故③錯(cuò)誤，故選A.【答案】A二、填空題6．如圖2-5-21，已知AB和AC是圓的兩條弦，過(guò)點(diǎn)B作圓的切線(xiàn)與AC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于D，過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線(xiàn)與圓交于點(diǎn)E，與AB交于點(diǎn)F，AF＝3，F(xiàn)B＝1，EF＝eq\f(3,2)，則CD＝________.圖2-5-21【解析】因?yàn)锳F·BF＝EF·CF，解得CF＝2，由CE∥BD，得eq\f(AF,AB)＝eq\f(CF,BD)，所以eq\f(3,4)＝eq\f(2,BD)，即BD＝eq\f(8,3).設(shè)CD＝x，AD＝4x，所以4x2＝eq\f(64,9)，所以x＝eq\f(4,3).【答案】eq\f(4,3)7．如圖2-5-22，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線(xiàn)，PB與圓O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，則PD＝________，AB＝________.圖2-5-22【解析】由于PD∶DB＝9∶16，設(shè)PD＝9a，則DB＝16a.根據(jù)切割線(xiàn)定理有PA2＝PD·P B.又PA＝3，PB＝25a，∴9＝9a·25a，∴a＝eq\f(1,5)，∴PD＝eq\f(9,5)，PB＝5.在Rt△PAB中，AB2＝PB2－AP2＝25－9＝16，故AB＝4.【答案】eq\f(9,5)48．如圖2-5-23所示，過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)與⊙O相交于A，B兩點(diǎn)．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，則⊙O的半徑等于________．圖2-5-23【解析】設(shè)⊙O的半徑為r(r>0)，∵PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3.延長(zhǎng)PO交⊙O于點(diǎn)C，則PC＝PO＋r＝3＋r.設(shè)PO交⊙O于點(diǎn)D，則PD＝3－r.由圓的割線(xiàn)定理知，PA·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r＝eq\r(6).【答案】eq\r(6)三、解答題9．(2023·山西四校聯(lián)考)如圖2-5-24所示，PA為圓O的切線(xiàn)，A為切點(diǎn)，PO交圓O于B，C兩點(diǎn)，PA＝10，PB＝5，∠BAC的角平分線(xiàn)與BC和圓O分別交于點(diǎn)D和E.圖2-5-24(1)求證：eq\f(AB,AC)＝eq\f(PA,PC)；(2)求AD·AE的值．【解】(1)證明：∵PA為圓O的切線(xiàn)，∴∠PAB＝∠ACP.又∠P為公共角，△PAB∽△PCA，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(PA,PC).(2)∵PA為圓O的切線(xiàn)，PC是過(guò)點(diǎn)O的割線(xiàn)，∴PA2＝PB·PC，∴PC＝20，BC＝15.又∵∠CAB＝90°，∴AC2＋AB2＝BC2＝225.又由(1)知eq\f(AB,AC)＝eq\f(PA,PC)＝eq\f(1,2)，∴AC＝6eq\r(5)，AB＝3eq\r(5)，連接EC，則∠CAE＝∠EAB，∠AEC＝∠ABD.∴△ACE∽△ADB，∴eq\f(AB,AE)＝eq\f(AD,AC).∴AD·AE＝AB·AC＝3eq\r(5)×6eq\r(5)＝90.10．如圖2-5-25，已知PA，PB切⊙O于A，B兩點(diǎn)，PO＝4cm，∠APB＝60°，求陰影部分的周長(zhǎng)．圖2-5-25【解】如圖所示，連接OA，O B.∵PA，PB是⊙O的切線(xiàn)，A，B為切點(diǎn)，∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝eq\f(π,2)，∠APO＝eq\f(1,2)∠APB＝eq\f(π,6)，在Rt△PAO中，AP＝PO·coseq\f(π,6)＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)(cm)，OA＝eq\f(1,2)PO＝2(cm)，PB＝2eq\r(3)(cm)．∵∠APO＝eq\f(π,6)，∠PAO＝∠PBO＝eq\f(π,2)，∴∠AOB＝eq\f(2π,3)，∴l(xiāng)eq\x\to(AB)＝∠AOB·R＝eq\f(2π,3)×2＝eq\f(4,3)π(cm)，∴陰影部分的周長(zhǎng)為PA＋PB＋leq\x\to(AB)＝2eq\r(3)＋2eq\r(3)＋eq\f(4,3)π＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\r(3)＋\f(4π,3)))(cm)．[能力提升]1．如圖2-5-26，已知PT切⊙O于點(diǎn)T，TC是⊙O的直徑，割線(xiàn)PBA交TC于點(diǎn)D，交⊙O于B，A(B在PD上)，DA＝3，DB＝4，DC＝2，則PB等于()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07370048】圖2-5-26A．20 B．10C．5 D．8eq\r(5)【解析】∵DA＝3，DB＝4，DC＝2，由相交弦定理得DB·DA＝DC·DT，即DT＝eq\f(DB·DA,DC)＝eq\f(4×3,2)＝6.因?yàn)門(mén)C為⊙O的直徑，所以PT⊥DT.設(shè)PB＝x，則在Rt△PDT中，PT2＝PD2－DT2＝(4＋x)2－36.由切割線(xiàn)定理得PT2＝PB·PA＝x(x＋7)，所以(4＋x)2－36＝x(x＋7)，解得x＝20，即PB＝20.【答案】A2．如圖2-5-27，△ABC中，∠C＝90°，⊙O的直徑CE在BC上，且與AB相切于D點(diǎn)，若CO∶OB＝1∶3，AD＝2，則BE等于()圖2-5-27\r(3) B．2eq\r(2)C．2 D．1【解析】連接OD，則OD⊥BD，∴Rt△BOD∽R(shí)t△BAC，∴eq\f(OD,AC)＝eq\f(BD,BC).設(shè)⊙O的半徑為a，∵OC∶OB＝1∶3，OE＝OC，∴BE＝EC＝2a.由題知AD，AC均為⊙O的切線(xiàn)，AD＝2，∴AC＝2.∴eq\f(a,2)＝eq\f(BD,4a)，∴BD＝2a2.又BD2＝BE·BC，∴BD2＝2a·4a＝8a2，∴4a4＝8a2，∴a＝eq\r(2)，∴BE＝2a＝2eq\r(2).【答案】B3．如圖2-5-28，已知P是⊙O外一點(diǎn)，PD為⊙O的切線(xiàn)，D為切點(diǎn)，割線(xiàn)PEF經(jīng)過(guò)圓心O，若PF＝12，PD＝4eq\r(3)，則圓O的半徑長(zhǎng)為_(kāi)_________，∠EFD的度數(shù)為_(kāi)_________．圖2-5-28【解析】由切割線(xiàn)定理得，PD2＝PE·PF，∴PE＝eq\f(PD2,PF)＝eq\f(16×3,12)＝4，EF＝8，OD＝4.∵OD⊥PD，OD＝eq\f(1,2)PO，∴∠P＝30°，∠POD＝60°，∴∠EFD＝30°.【答案】430°4．如圖2-5-29，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線(xiàn)，BC交⊙O于點(diǎn)E.圖2-5-29(1)若D為AC的中點(diǎn)，證明：DE是⊙O的切線(xiàn)；(2)若OA＝eq\r(3)CE，求∠ACB的大?。窘狻?1)證明：如圖，連接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由