高中數(shù)學(xué)蘇教版2第二章推理與證明

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(十一)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、填空題1．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝________.【解析】從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知等式右端的值，從第三項(xiàng)開始，后一個(gè)式子的右端值等于它前面兩個(gè)式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10＋b10＝123.【答案】1232．經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)下列不等式：eq\r(2)＋eq\r(18)<2eq\r(10)，eq\r＋eq\r<2eq\r(10)，eq\r(3＋\r(2))＋eq\r(17－\r(2))<2eq\r(10)，…根據(jù)以上不等式的規(guī)律，試寫出一個(gè)對(duì)正實(shí)數(shù)a，b都成立的條件不等式：________.【解析】∵eq\f(2＋18,2)＝10，eq\f＋,2)＝10，eq\f(3＋\r(2)＋17－\r(2),2)＝10，∴不難得出，若a＋b＝20，eq\r(a)＋eq\r(b)<2eq\r(10).【答案】若a＋b＝20，則eq\r(a)＋eq\r(b)<2eq\r(10)3．觀察下列等式：12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…，照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為________．【解析】12＝1，12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，…，12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2).【答案】12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2)4．觀察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2041，…，則72013的末兩位數(shù)字為________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01580032】【解析】因?yàn)?1＝7,72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807，76＝117649，…，所以這些數(shù)的末兩位數(shù)字呈周期性出現(xiàn)，且周期T＝4.又2013＝4×503＋1，所以72013的末兩位數(shù)字與71的末兩位數(shù)字相同，為07.【答案】075．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x>0)，觀察：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f((f1(x))＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f((f2(x))＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f((f3(x))＝eq\f(x,15x＋16)，…根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.【解析】函數(shù)結(jié)果的分母中x項(xiàng)系數(shù)所組成的數(shù)列為1,3,7,15，…，可推知該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝2n－1.分母中常數(shù)項(xiàng)依次為2,4,8,16，…，其通項(xiàng)為2n.又函數(shù)中，分子都是x.∴當(dāng)n≥2時(shí)，fn(x)＝f(fn－1(x))＝eq\f(x,2n－1x＋2n).【答案】eq\f(x,2n－1x＋2n)6．(2023·青島高二檢測(cè))容易計(jì)算2×5＝10,22×55＝1210，222×555＝123210，2222×5555＝12343210.根據(jù)此規(guī)律猜想22…2eq\o(2,\s\do4(9位))×55…5eq\o(5,\s\do4(9位))所得結(jié)果由左向右的第八位至第十位的三個(gè)數(shù)字依次為________．【解析】由已知可歸納出22…2eq\o(2,\s\do4(9位))×55…5eq\o(5,\s\do4(9位))＝123456789876543210，所得結(jié)果由左向右的第八位至第十位的三個(gè)數(shù)字依次為898.【答案】8987．(2023·東北三校高二聯(lián)考)某種平面分形圖如圖2-1-5所示，一級(jí)分形圖是由一點(diǎn)出發(fā)的三條線段，長度均為1，兩兩夾角為120°；二級(jí)分形圖是在一級(jí)分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來的eq\f(1,3)的線段，且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120°，…，依此規(guī)律得到n級(jí)分形圖．圖2-1-5則n級(jí)分形圖中共有________條線段．【解析】分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條線段，由題圖知，一級(jí)分形圖中有3＝3×2－3條線段，二級(jí)分形圖中有9＝3×22－3條線段，三級(jí)分形圖中有21＝3×23－3條線段，按此規(guī)律得n級(jí)分形圖中的線段條數(shù)an＝3·2n－3(n∈N*)．【答案】3·2n－3(n∈N*)8．把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖2-1-6所示的三角形數(shù)表，設(shè)aij(i，j∈N*)是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j行．如a42＝8，若aij＝2009.則i和j的和為________．124357681012911131517141618202224…【解析】由三角形數(shù)表可以看出其奇數(shù)行為奇數(shù)列，偶數(shù)行為偶數(shù)列，2009＝2×1005－1，所以2009為第1005個(gè)奇數(shù)，又前31個(gè)奇數(shù)行內(nèi)數(shù)的個(gè)數(shù)的和為961，前32個(gè)奇數(shù)行內(nèi)數(shù)的個(gè)數(shù)的和為1024，故2009在第32個(gè)奇數(shù)行內(nèi)，所以i＝63，因?yàn)榈?3行的第一個(gè)數(shù)為2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.【答案】107二、解答題9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1且Sn－1＋eq\f(1,Sn)＋2＝0(n≥2)，計(jì)算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達(dá)式．【解】當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝1；當(dāng)n＝2時(shí)，eq\f(1,S2)＝－2－S1＝－3，∴S2＝－eq\f(1,3)；當(dāng)n＝3時(shí)，eq\f(1,S3)＝－2－S2＝－eq\f(5,3)，∴S3＝－eq\f(3,5)；當(dāng)n＝4時(shí)，eq\f(1,S4)＝－2－S3＝－eq\f(7,5)，∴S4＝－eq\f(5,7).猜想：Sn＝－eq\f(2n－3,2n－1)(n∈N*)10．傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)．他們研究過如圖2-1-6所示的三角形數(shù)：圖2-1-6將三角形數(shù)1,3,6,10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列{bn}，可以推測(cè)：(1)b2014是數(shù)列{an}的第幾項(xiàng)？(2)用k表示b2k－1.【解】(1)an＝1＋2＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，b1＝eq\f(4×5,2)＝a4，b2＝eq\f(5×6,2)＝a5，b3＝eq\f(9×2×5,2)＝a9，b4＝eq\f(2×5×11,2)＝a10，b5＝eq\f(14×3×5,2)＝a14，b6＝eq\f(3×5×16,2)＝a15，…b2014＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2014,2)×5))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2014,2)×5＋1)),2)＝a5035.即b2014是數(shù)列{an}的第5035項(xiàng)．(2)由(1)知b2k－1＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k－1＋1,2)×5－1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k－1＋1,2)×5)),2)＝eq\f(5k5k－1,2).能力提升]1．已知f(x)＝eq\f(x,1＋x)，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N*，則f2014(x)的表達(dá)式為________．【解析】由f1(x)＝eq\f(x,1＋x)?f2(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,1＋x)))＝eq\f(\f(x,1＋x),1＋\f(x,1＋x))＝eq\f(x,1＋2x)；又可得f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(\f(x,1＋2x),1＋\f(x,1＋2x))＝eq\f(x,1＋3x)，故可猜想f2014(x)＝eq\f(x,1＋2014x).【答案】eq\f(x,1＋2014x)2．觀察下列等式：eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＝1－eq\f(1,22)，eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,2×3)×eq\f(1,22)＝1－eq\f(1,3×22)，eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,2×3)×eq\f(1,22)＋eq\f(5,3×4)×eq\f(1,23)＝1－eq\f(1,4×23)，…，由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論：對(duì)于n∈N*，eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,2×3)×eq\f(1,22)＋…＋eq\f(n＋2,nn＋1)×eq\f(1,2n)＝________.【解析】觀察所給等式知，第n個(gè)等式的右邊為1－eq\f(1,n＋1×2n).【答案】1－eq\f(1,n＋1×2n)3．已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝eq\f(3,2)，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝eq\f(3,2).通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請(qǐng)寫出一個(gè)一般性的命題：___________________.【答案】sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝eq\f(3,2)4．某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，圖2-1-6①②③④所示為她們刺繡的最簡單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成的，小正方形數(shù)越多，刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形．圖2-1-6(1)求f(5)的值；(2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達(dá)式；(3)求eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2－1)＋eq\f(1,f3－1)＋…＋eq\f(1,fn－1)的值．【解】(1)f(5)＝41.(2)f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，……由上式規(guī)律，得f(n＋1)－f(n)＝4n.∴f(n＋1)＝f(n)＋4n，f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n2－2n＋1.(3)當(dāng)n≥2時(shí)，eq\f(1,fn－1)＝eq\f(1,2nn－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))，∴eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2－1)＋eq\f(1,f3－1)＋…＋eq\f(1,fn－1)＝1＋eq\f(1,2)e