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文檔簡(jiǎn)介
關(guān)于生產(chǎn)與貯存的模型控制
問題提出
一家集生產(chǎn),銷售于一體的公司,希望生產(chǎn)率和貯存量都盡量穩(wěn)定在預(yù)先設(shè)定的水平上,如果銷售量可以預(yù)測(cè),公司需要指定一個(gè)根據(jù)貯存量控制生產(chǎn)率的策略。
(1)
以在一定時(shí)間T內(nèi)生產(chǎn)率和貯存量與設(shè)定值誤差的(加權(quán))平方和最小為目標(biāo),給出泛函極值問題。
(2)
設(shè)銷售量為常數(shù),求出最優(yōu)解,并在T很大的情況下給出生產(chǎn)率和貯存量之間的關(guān)系。
問題分析
對(duì)于本題,可以根據(jù)題目的相關(guān)要求先列出目標(biāo)函數(shù),對(duì)于給出的泛函極值問題,利用變分法來解決生產(chǎn)與貯存的泛函極值問題,從而建立一個(gè)根據(jù)貯存量控制生產(chǎn)率的模型。根據(jù)相關(guān)的假設(shè)和考慮到的實(shí)際情況,得出貯存量的最優(yōu)狀態(tài)方程和生產(chǎn)率的最優(yōu)控制方程,并且由求得的這兩個(gè)方程進(jìn)一步得出在穩(wěn)定情形下生產(chǎn)率和貯存量之間的關(guān)系。建立模型
在[0,T]內(nèi),記時(shí)刻t的貯存量為x(t),生產(chǎn)率(即單位時(shí)間的產(chǎn)量)和銷
售量分別為u(t)和V(t),則它們應(yīng)滿足:
(1)
其中V(t)在每個(gè)時(shí)刻是可以預(yù)測(cè)的。
假設(shè)預(yù)先設(shè)定的生產(chǎn)率(即單位時(shí)間產(chǎn)量)和貯存量分別為u0和x0,使生產(chǎn)率u(t)和貯存量x(t)盡量分別穩(wěn)定在u0和x0的水平上,建立模型
用數(shù)學(xué)式子可以表示為,求控制函數(shù)u(t)使
(2)
達(dá)到最小值,其中T是任意給定時(shí)間,α是加權(quán)因子,用來調(diào)節(jié)u(t)和x(t)穩(wěn)定二者之間的重要程度,并應(yīng)具有時(shí)間倒數(shù)的量綱,即隨著時(shí)間t的增大α則隨之減小。(2)式稱為二次型目標(biāo)函數(shù)。建立模型
在(1)(2)中貯存量x(t)是狀態(tài)函數(shù),為確定起見不妨設(shè)t=0,t=T時(shí)貯存量為零,即:
(3)
另外實(shí)際上對(duì)生產(chǎn)率和貯存量都會(huì)有所限制,不妨記作:
(4)
問題歸結(jié)為在約束條件(1),(3),(4)下求使(2)式之泛函J達(dá)到最小值。
從(1)式中解出u(t)代入(2)式,并將其寫成X(t),的泛函
(5)建立模型
暫不考慮條件(4),則(3),(5)構(gòu)成一個(gè)固有端點(diǎn)的泛函極值問題,可用變分法求解。得到最優(yōu)解X(t),再代入方程(1)中即可得到最優(yōu)控制函數(shù)。
當(dāng)銷售量為常數(shù)時(shí),
為簡(jiǎn)化求解過程,設(shè)
(6)
下面我們用變分法求方程(5)的最優(yōu)解。
令:
以(6)式代入(5)式,根據(jù)歐拉方程
可以得到最優(yōu)解x(t)應(yīng)滿足方程:
即:
(7)建立模型
設(shè)方程(7)的解為
則顯然,
根據(jù)初值(3)可解得
,
所以方程(7)在端點(diǎn)條件(3)下的解為:
(8)
把(8)代入(1)可得:
(9)
上述兩式分別為最優(yōu)狀態(tài)函數(shù)和最優(yōu)控制函數(shù)。
建立模型
為了研究最優(yōu)解u(t)和x(t)之間的關(guān)系,由(9)和(8)兩式可以得到:
(10)
令T→∞,則對(duì)任意有限的t,上式右端組后一項(xiàng)趨于零,于是有:
(11)
最后考察約束條件(4),利用雙曲函數(shù)
,
建立模型
可以將(8)(9)兩式重新表示為:
(12)
(13)
根據(jù)(12)(13)式下圖畫出了最優(yōu)解x(t)和u(t)的示意圖
建立模型
由圖可以看出可以看出,只要
就有
即x(t)滿足條件(4)。
而給出的參數(shù)Xm,X0自然應(yīng)該有
另一方面,因?yàn)椋?/p>
所以只要:
有:
建立模型
在這樣的條件下(8)(9)兩式給出的x(t),u(t)也是考慮到約束條件(4)的原問題的最優(yōu)解,因?yàn)樵诩s束條件的邊界上泛函極值問題(3)(5)不可能得到優(yōu)于(8)(9)的解。但是,如果(8)(9)表示的x(t),u(t)越出了條件(4)的限制,模型求解將會(huì)變得十分復(fù)雜,變分法會(huì)無能為力。
模型的評(píng)價(jià)
優(yōu)點(diǎn):從此模型中我們可以根據(jù)狀態(tài)x(貯存量)直接控制函數(shù)u(生產(chǎn)率),而不涉及自變量t(時(shí)間),并且當(dāng)x增加時(shí)u減少,這種控制方式稱為狀態(tài)負(fù)反饋,它比形如(9)式的顯含t的控制函數(shù)應(yīng)用起來方便得多,因?yàn)橹恍枰鶕?jù)
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