山西省太原市同心外國語學校高二數(shù)學理上學期期末試題含解析

山西省太原市同心外國語學校高二數(shù)學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.以雙曲線的離心率為半徑、右焦點為圓心的圓與雙曲線的漸近線相切．則m=（

）A. B. C. D.參考答案：B【詳解】注意到．漸近線方程為，即．右焦點到漸近線距離為．從而．故答案為：B2.有下列四個命題：①“若xy＝1，則x、y互為倒數(shù)”的逆命題；②“相似三角形的周長相等”的否命題；③若“A∪B＝B，則A?B”的逆否命題．其中的真命題有()個。A．0B．1

C．2

D．3參考答案：C略3.y=ex.cosx的導數(shù)是(

)A.ex.sinx B.ex(sinx-cosx) C.-ex．sinx D.ex(cosx-sinx)參考答案：D略4.函數(shù)在內(－1,0)有極小值，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A．

B．(0,3)

C.(－∞,3)

D．(0,+∞)參考答案：A由函數(shù)的解析式可得y′=?3x2+2a，∵函數(shù)y=?x3+2ax+a在(?1,0)內有極小值，∴令y′=?3x2+2a=0，則有一根在(?1,0)內，分類討論：a>0時，兩根為，滿足題意時，小根在(?1,0)內，則，即0<a<.a=0時，兩根相等，均為0，f(x)在(?1,0)內無極小值.a<0時，無實根，f(x)在(?1,0)內無極小值，綜合可得，實數(shù)的取值范圍為.本題選擇A選項.

5.在“南安一中校園歌手大賽”比賽現(xiàn)場上七位評委為某選手打出的分數(shù)的莖葉統(tǒng)計圖如圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（

）

A．85和6.8

B．85和1.6

C．86和6.8

D．86和1.6參考答案：A6.如果直線與直線平行，則a等于

（

）

A．0

B．

C．0或1

D．0或參考答案：D略7.定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x），如果對于任意給定的等比數(shù)列{an}，{f（an）}仍是等比數(shù)列，則稱f（x）為“保等比數(shù)列函數(shù)”．現(xiàn)有定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函數(shù)：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f（x）的序號為（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④參考答案：C【考點】等比關系的確定．【分析】根據(jù)新定義，結合等比數(shù)列性質，一一加以判斷，即可得到結論．【解答】解：由等比數(shù)列性質知，①=f2（an+1），故正確；②≠=f2（an+1），故不正確；③==f2（an+1），故正確；④f（an）f（an+2）=ln|an|ln|an+2|≠=f2（an+1），故不正確；故選C8.在等差數(shù)列中，有，則此數(shù)列的前13項和為（

）A．24

B．39

C．52

D．104參考答案：C9.等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交于兩點，若，則的實軸長為（

） A.

B.

C.

D.參考答案：C10.已知是橢圓長軸的兩個端點，是橢圓上關于軸對稱的兩點，直線的斜率分別為，若橢圓的離心率為,則的最小值為（

） A． B． C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知冪函數(shù)的圖像過點(2，)，則這個函數(shù)的解析式為

▲

．

參考答案：12.下列圖中的多邊形均為正多邊形，M、N是所在邊上的中點，雙曲線均以圖中的F1、F2為焦點，設圖(1)，(2)，(3)中的雙曲線的離心率分別為e1、e2、e3.則e1、e2、e3的大小關系為________．

參考答案：略13.如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上的一點，OA=2，B為半圓上任意一點，以AB為一邊作等邊三角形ABC．當四邊形OACB面積最大時，∠AOB=

．

參考答案：150°【考點】任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】設∠AOB=θ，并根據(jù)余弦定理，表示出△ABC的面積及△OAB的面積，進而表示出四邊形OACB的面積，并化簡函數(shù)的解析式為正弦型函數(shù)的形式，再結合正弦型函數(shù)最值的求法進行求解．【解答】解：四邊形OACB的面積=△OAB的面積+△ABC的面積，設∠AOB=θ，則△ABC的面積=?AB?AC?sin60°=?AB2=（OA2+OB2﹣2OA?OB?sinθ）=（5﹣4cosθ），△OAB的面積=?OA?OB?sinθ==sinθ，四邊形OACB的面積=（5﹣4cosθ）+sinθ=﹣cosθ+sinθ=+2sin（θ﹣60°），故當θ﹣60°=90°，即θ=150°時，四邊形OACB的面積最大值為+2，故答案為：150°．【點評】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A確定，即要求三角函數(shù)的周期與最值一般是要將其函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)，再根據(jù)最大值為|A|、最小值為﹣|A|求解，屬于中檔題．14.對于實數(shù)，用表示不超過的最大整數(shù)，如若，,為數(shù)列的前項和，則：（1）= ；

（2）=

．參考答案：6;.15.若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，定義，則數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列.類比上述性質，若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，定義數(shù)列{bn},bn=______，則數(shù)列{bn}也為等比數(shù)列.參考答案：【分析】可證明當為等差數(shù)列時，也為等差數(shù)列，從這個證明過程就可以得到等比數(shù)列中類似的結論.【詳解】因為為等差數(shù)列，從而，所以，，所以為等差數(shù)列，而當為等比數(shù)列時，，故，若，則，此時（為的公比），所以為等比數(shù)列，填.【點睛】等差數(shù)列與等比數(shù)列性質的類比，往往需要把一類數(shù)列中性質的原因找到，那么就可以把這個證明的過程類比推廣到另一類數(shù)列中，從而得到兩類數(shù)列的性質的類比.需要提醒的是等差數(shù)列與等比數(shù)列性質的類比不是簡單地“和”與“積”或“差”與“商”的類比.16.已知流程圖如右圖所示，該程序運行后，為使輸出的值為，則循環(huán)體的判斷框內①處應填

。參考答案：317.根據(jù)《環(huán)境空氣質量指數(shù)AQI技術規(guī)定》，AQI共分為六級：（0，50]為優(yōu)，（50，100]為良，（100，150]為輕度污染，（150，200]為中度污染，（200，300]為重度污染，300以上為嚴重污染．右圖是根據(jù)鹽城市2013年12月份中20天的AQI統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖．由圖中的信息可以得出這20天中鹽城市環(huán)境空氣質量優(yōu)或良的總天數(shù)為

.參考答案：5略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標系中，已知曲線上的任意一點到點的距離之和為．（1）求曲線的方程；（2）設橢圓：，若斜率為的直線交橢圓于點，垂直于的直線交曲線于點．（i）求線段的長度的最小值；（ii）問：是否存在以原點為圓心且與直線相切的圓？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由．參考答案：（1）由橢圓定義可知曲線的軌跡是橢圓，設的方程為，所以，，則，故的方程．（2）(ⅰ)證明：證明：當，為長軸端點，則為短軸的端點，.當時，設直線：，代入，整理得，即，，所以．又由已知，可設：，同理解得，所以，即故的最小值為．（ⅱ）存在以原點為圓心且與直線相切的圓．設斜邊上的高為，由（Ⅱ）(ⅰ)得當時，；當時，，又，由，得，當時，，又，由，得，故存在以原點為圓心，半徑為且與直線相切的圓，圓方程為．19.已知函數(shù)f（x）=x3﹣2ax2﹣3x．（1）當a=0時，求曲線y=f（x）在點（3，f（3））的切線方程；（2）對一切x∈（0，+∞），af′（x）+4a2x≥lnx﹣3a﹣1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（3）當a＞0時，試討論f（x）在（﹣1，1）內的極值點的個數(shù)．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)恒成立問題；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（Ⅰ）求導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，即可求曲線y=f（x）在點（3，f（3））的切線方程；（Ⅱ）由題意：2ax2+1≥lnx，即，求出右邊的最大值，即可求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）分類討論，利用極值的定義，即可討論f（x）在（﹣1，1）內的極值點的個數(shù)．【解答】解：（Ⅰ）由題意知，所以f′（x）=2x2﹣3又f（3）=9，f′（3）=15所以曲線y=f（x）在點（3，f（3））的切線方程為15x﹣y﹣36=0…（Ⅱ）由題意：2ax2+1≥lnx，即設，則當時，g'（x）＞0；當時，g′（x）＜0所以當時，g（x）取得最大值故實數(shù)a的取值范圍為．…（Ⅲ）f′（x）=2x2﹣4ax﹣3，，①當時，∵∴存在x0∈（﹣1，1），使得f′（x0）=0因為f′（x）=2x2﹣4ax﹣3開口向上，所以在（﹣1，x0）內f′（x）＞0，在（x0，1）內f′（x）＜0即f（x）在（﹣1，x0）內是增函數(shù)，f（x）在（x0，1）內是減函數(shù)故時，f（x）在（﹣1，1）內有且只有一個極值點，且是極大值點．…②當時，因又因為f′（x）=2x2﹣4ax﹣3開口向上所以在（﹣1，1）內f′（x）＜0，則f（x）在（﹣1，1）內為減函數(shù)，故沒有極值點…綜上可知：當，f（x）在（﹣1，1）內的極值點的個數(shù)為1；當時，f（x）在（﹣1，1）內的極值點的個數(shù)為0．…20.已知為偶函數(shù),曲線過點，.(1)若曲線有斜率為0的切線,求實數(shù)a的取值范圍;(2)若當時函數(shù)取得極值,試確定的單調區(qū)間.參考答案：(1)因為f(x)=x2+bx+c為偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),即(-x)2+b(-x)+c=x2+bx+c,從而b=-b,解得b=0.

又曲線y=f(x)過點(2,5),得22+c=5,故c=1.所以f(x)=x2+1.

2分又函數(shù)g(x)=(x+a)f(x)=(x+a)(x2+1)=x3+ax2+x+a,從而g'(x)=3x2+2ax+1.因為曲線y=g(x)有斜率為0的切線,故g'(x)=0有實數(shù)解,即3x2+2ax+1=0有實數(shù)解,此時有Δ=(2a)2-12≥0,解得a∈(-∞,-]∪[,+∞). 5分(2)因為函數(shù)y=g(x)在x=-1處取得極值,故g'(-1)=0,即3-2a+1=0,解得a=2.

7分所以g'(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1).令g'(x)=0,得x1=-1,x2=-.當x∈(-∞,-1)時,g'(x)>0,故g(x)在(-∞,-1)上是遞增的;當x∈時,g'(x)<0,故g(x)在上是遞減的;當x∈時,g'(x)>0,故g(x)在上是遞增的.

11分所以函數(shù)y=g(x)的遞增區(qū)間是，，遞減區(qū)間是

12分21.在平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為(其中t為參數(shù)）.現(xiàn)以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.（1）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；（2）若點P坐標為(－1,0)，直線l交