山西省太原市第六十中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

山西省太原市第六十中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面與另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面互相垂直，則這兩個(gè)二面角的大小(

)A.相等

B.互補(bǔ)

C.相等或互補(bǔ)

D.無法確定參考答案：D解：如果兩個(gè)二面角的半平面分別對(duì)應(yīng)垂直，那么這兩個(gè)二面角角相等或互補(bǔ)”（面與二面角的性質(zhì)）但是這個(gè)命題不一定正確，如下圖就是一個(gè)反例.正方體ABCD-A1B1C1D1中，二面角D-AA1-F與二面角D1-DC-A的兩個(gè)半平面就是分別對(duì)應(yīng)垂直的，但是這兩個(gè)二面角既不相等，也不互補(bǔ)．故選：D2.已知函數(shù)，方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為(

)

A．

B．

C．

D．

參考答案：D的圖像如圖所示，極大值；記，要使得方程有四個(gè)零點(diǎn)，則必有兩個(gè)零點(diǎn)且，又常數(shù)項(xiàng)為1，所以，故．3.已知函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則的解析式是（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：B4.在△ABC中，cosA=，則tanA=____A．2

B．2

C．

D．參考答案：B略5.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是

A．（0,1）

B．（1,0）

C．（）

D．參考答案：C6.已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】根據(jù)幾何體的三視圖知該幾何體是等底同高的三棱錐與三棱柱的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)即可求出它的體積．【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是等底同高的三棱錐與三棱柱的組合體，畫出直觀圖如圖所示；則幾何體的體積為V幾何體=V三棱柱+V三棱錐=××2+×××2=．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間幾何體三視圖的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．7.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》卷第五“商功”共收錄28個(gè)題目，其中一個(gè)題目如下：今有城下廣四丈，上廣二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，問積幾何？其譯文可用三視圖來解釋：某幾何體的三視圖如圖所示（其中側(cè)視圖為等腰梯形，長(zhǎng)度單位為尺），則該幾何體的體積為（）A．3795000立方尺 B．2024000立方尺C．632500立方尺 D．1897500立方尺參考答案：D【分析】由三視圖可得，直觀圖為底面為側(cè)視圖是直棱柱，利用圖中數(shù)據(jù)求出體積．【解答】解：由三視圖可得，直觀圖為底面為側(cè)視圖，是直棱柱，體積為=1897500立方尺，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直觀圖的體積，考查三視圖，確定直觀圖的形狀是關(guān)鍵．8.某籃球運(yùn)動(dòng)員2013年度參加了25場(chǎng)比賽，我從中抽取5場(chǎng)，用莖葉圖統(tǒng)計(jì)該運(yùn)動(dòng)員5場(chǎng)中的得分如圖所示，則該樣本的方差為（

）A.25 B.24 C.18 D.16參考答案：D9.已知命題，命題，則下列命題為真命題是

（

）A． B． C．

D．參考答案：C10.若等差數(shù)列{an}的公差且成等比數(shù)列，則（

）A．

B．

C.

D．2參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

已知直線：，：，若∥，則實(shí)數(shù)a的值是

．參考答案：-312.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的實(shí)部為_______.參考答案：1試題分析：，所以的實(shí)部為113.設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，其坐標(biāo)均滿足，則取值范圍為__________參考答案：設(shè)，則滿足的點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為.曲線為如下圖所示的菱形ABCD，.由于，所以，即.所以.14.命題的否定為__________.參考答案：略15.的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為

．參考答案：

6016.

已知的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng),,則______.參考答案：答案：5解析：本小題主要考查二項(xiàng)式定理中求特定項(xiàng)問題。依題對(duì)中，只有時(shí)，其展開式既不出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)，也不會(huì)出現(xiàn)與、乘積為常數(shù)的項(xiàng)。17.已知向量的夾角為120°，且|的值為_______.

參考答案：-8略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分16分） 已知數(shù)列中，，前項(xiàng)和為

（I）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（II）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使不等式對(duì)一切都成立的最大正整數(shù)的值。參考答案：（I）；（II），18.試題分析：(1)由題意當(dāng)試題解析：解：（I）由題意，當(dāng)

當(dāng)

則

則

即

則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為0的等差數(shù)列?！?分

從而，則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列。

所以，…………8分

（II）…………10分

所以，

…………12分

由于

因此單調(diào)遞增，故的最小值為…………14分

令，所以的最大值為18?！?6分考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及性質(zhì).19.（本小題滿分13分）設(shè)是單位圓上的任意一點(diǎn)，是過點(diǎn)與軸垂直的直線，是直線與

軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足.當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線．（Ⅰ）求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）過原點(diǎn)且斜率為的直線交曲線于，兩點(diǎn)，其中在第一象限，它在軸上的射影為點(diǎn)，直線交曲線于另一點(diǎn).是否存在，使得對(duì)任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.參考答案：（Ⅰ）如圖1，設(shè)，，則由，可得，，所以，.

①因?yàn)辄c(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，所以.

②將①式代入②式即得所求曲線的方程為.

因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，；當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，.

（Ⅱ）解法1：如圖2、3，，設(shè)，，則，，直線的方程為，將其代入橢圓的方程并整理可得.依題意可知此方程的兩根為，，于是由韋達(dá)定理可得，即.因?yàn)辄c(diǎn)H在直線QN上，所以.于是，.

而等價(jià)于，即，又，得，故存在，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓上，對(duì)任意的，都有.

解法2：如圖2、3，，設(shè)，，則，，因?yàn)?，兩點(diǎn)在橢圓上，所以

兩式相減可得.

③

依題意，由點(diǎn)在第一象限可知，點(diǎn)也在第一象限，且，不重合，故.于是由③式可得.

④又，，三點(diǎn)共線，所以，即.

于是由④式可得.而等價(jià)于，即，又，得，故存在，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓上，對(duì)任意的，都有.

20.（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐中，(Ⅰ)求證：平面⊥平面(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值；(Ⅲ)若動(dòng)點(diǎn)在底面三角形上，二面角的大小為，求的最小值.參考答案：（1）取AC中點(diǎn)O,因?yàn)锳P=BP，所以O(shè)P⊥OC

由已知易得三角形ABC為直角三角形，∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB，∴OP⊥平面ABC,∵OP在平面PAC中，∴平面⊥平面.……4分（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB、OC、OP分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,),

……5分∴設(shè)平面PBC的法向量，由得方程組：，取

……6分∴

.∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為.

……8分（3）由題意平面PAC的法向量，設(shè)平面PAM的法向量為∵又因?yàn)?∴

取.，，此時(shí)……12分21.如圖，是△的外接圓，D是的中點(diǎn)，BD交AC于E．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，O到AC的距離為1，求⊙O的半徑．參考答案：解：（I）證明：∵，∴，又，∴△～△，∴，∴CD=DE·DB；

略22.已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，點(diǎn)（2，0）在橢圓C上．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點(diǎn)P（1，0）的直線（不與坐標(biāo)軸垂直）與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B'．直線AB'與x軸的交點(diǎn)Q是否為定點(diǎn)？請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）由點(diǎn)（2，0）在橢圓C上，可得a=2，又，b=，解出即可得出．（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），B'（x2，﹣y2），Q（n，0）．設(shè)直線AB：y=k（x﹣1）（k≠0）．與橢圓方程聯(lián)立得：（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．直線AB'的方程為，令y=0，解得n，又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)（2，0）在橢圓C上，所以a=2．又因?yàn)椋裕裕?/p>