山西省忻州市五寨縣孫家坪鄉(xiāng)中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

山西省忻州市五寨縣孫家坪鄉(xiāng)中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某市高三數(shù)學(xué)調(diào)研考試中，對(duì)90分以上(含90分)的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示，若130～140分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為90，那么90～100分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為（

）A．630

B．720

C．810

D．900

參考答案：C略2.已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是

（

）A． B． C． D．參考答案：A略3.x=0是x（2x﹣1）=0的（）條件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】計(jì)算題；方程思想；定義法；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：由x（2x﹣1）=0得x=0或x=，則x=0是x（2x﹣1）=0的充分不必要條件，故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，比較基礎(chǔ)．4.當(dāng)變化時(shí)，直線和圓的位置關(guān)系是（

）相交

相切

相離

不確定參考答案：A略5.若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值為（

）A. B.1 C.2 D.參考答案：A【分析】作出不等式的可行域，的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)，由斜率的最大值即可得解.【詳解】作出不等式組構(gòu)成的區(qū)域，的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)，由圖象知的斜率最大，由得，所以，此時(shí).故選A.【點(diǎn)睛】常見的非線性目標(biāo)函數(shù)問題，利用其幾何意義求解：的幾何意義為可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線的距離的倍的幾何意義為可行域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方。幾何意義為可行域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)的直線的斜率.6.某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.8，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.68，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）A．0.544 B．0.68 C．0.8 D．0.85參考答案：D【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【分析】設(shè)隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是p，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出結(jié)果．【解答】解：設(shè)隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是p，則0.8p=0.68，解得p=0.85．故選：D．7.函數(shù)的最大值是(

)A.1

B. C. D.參考答案：C略8.已知為銳角，且，則A．

B．

C．

D．參考答案：C9.定積分（

）A．ln2－1

B．ln2

C．

D．參考答案：B由題意結(jié)合微積分基本定理有：.本題選擇B選項(xiàng).

10.命題“存在R，0”的否定是（

）.

A.不存在R,>0

B.存在R,0

C.對(duì)任意的R,0

D.對(duì)任意的R,>0參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過點(diǎn)P（2，3），并且在兩軸上的截距相等的直線方程為

．參考答案：x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0【考點(diǎn)】直線的截距式方程．【專題】計(jì)算題．【分析】分直線的截距不為0和為0兩種情況，用待定系數(shù)法求直線方程即可．【解答】解：若直線的截距不為0，可設(shè)為，把P（2，3）代入，得，，a=5，直線方程為x+y﹣5=0若直線的截距為0，可設(shè)為y=kx，把P（2，3）代入，得3=2k，k=，直線方程為3x﹣2y=0∴所求直線方程為x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0故答案為x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線方程的求法，屬于直線方程中的基礎(chǔ)題，應(yīng)當(dāng)掌握．12.關(guān)于圖中的正方體ABCD﹣A1B1C1D1，下列說法正確的有：

．①P點(diǎn)在線段BD上運(yùn)動(dòng)，棱錐P﹣AB1D1體積不變；②P點(diǎn)在線段BD上運(yùn)動(dòng)，直線AP與平面A1B1C1D1平行；③一個(gè)平面α截此正方體，如果截面是三角形，則必為銳角三角形；④一個(gè)平面α截此正方體，如果截面是四邊形，則必為平行四邊形；⑤平面α截正方體得到一個(gè)六邊形（如圖所示），則截面α在平面AB1D1與平面BDC1間平行移動(dòng)時(shí)此六邊形周長(zhǎng)先增大，后減?。畢⒖即鸢福孩佗冖邸究键c(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系判斷．【解答】解：①中，BD∥B1D1，B1D1?平面AB1D1，BD?平面AB1D1，∴BD∥平面AB1D1，又P∈BD，∴棱錐P﹣AB1D1體積不變是正確的，故①正確；②中，P點(diǎn)在線段BD上運(yùn)動(dòng)，∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，直線AP?平面ABCD，∴直線AP與平面A1B1C1D1平行，故②正確；③中，一個(gè)平面α截此正方體，如果截面是三角形，則必為銳角三角形，故③正確；④中，一個(gè)平面α截此正方體，如果截面是四邊形，則可能是平行四邊形，或梯形，故④錯(cuò)誤；⑤中，截面α在平面AB1D1與平面BDC1間平行移動(dòng)時(shí)此六邊形周長(zhǎng)不變，故⑤錯(cuò)誤．故答案為：①②③．13.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A是拋物線上一點(diǎn)，且∠AFO=120°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），AK⊥l，垂足為K，則△AKF的面積是．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，求出直線AF的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)A的坐標(biāo)，由此可求△AKF的面積【解答】解：由題意，拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=﹣1∵∠AFO=120°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），∴∴直線AF的方程為：代入拋物線方程可得：3（x﹣1）2=4x∴3x2﹣10x+3=0∴x=3或∵∠AFO=120°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），∴A（3）∴△AKF的面積是故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題以拋物線的性質(zhì)為載體，考查三角形面積的計(jì)算，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)是關(guān)鍵．14.在ΔABC中，A、B、C是三個(gè)內(nèi)角，C=30°，那么的值是_____________。.參考答案：略15.已知平面α∥β，，有下列說法：①a與β內(nèi)的所有直線平行；②a與β內(nèi)無數(shù)條直線平行；③a與β內(nèi)的任意一條直線都不垂直.其中正確的序號(hào)為

參考答案：②16.已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0(k≠0)的解，則k的取值范圍是________．參考答案：(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)略17.如圖，設(shè)是正方形外一點(diǎn)，且平面，其它線面垂直還有

個(gè)；若，則直線與平面所成角的大小為

．

參考答案：4

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，側(cè)棱AA1⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別為A1B1，A1C1的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：B1C1∥面BEF；（Ⅱ）過點(diǎn)A存在一條直線與平面BEF垂直，請(qǐng)你在圖中畫出這條直線（保留作圖痕跡，不必說明理由）．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）利用已知及三角形的中位線定理可證EF∥B1C1，進(jìn)而利用線面平行的判定定理即可得證．（Ⅱ）利用線面垂直的性質(zhì)及判定定理即可作圖得解．【解答】（本題滿分8分）證明：（Ⅰ）∵E，F(xiàn)分別為A1B1，A1C1的中點(diǎn)，∴EF∥B1C1．又∵EF?面BEF，B1C1?面BEF，∴B1C1∥面BEF．

…（Ⅱ）作圖如下：…（8分）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的中位線定理，線面平行的判定定理，線面垂直的性質(zhì)及判定定理的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．19.如圖，橢圓：（）和圓：，已知圓將橢圓的長(zhǎng)軸三等分，且，橢圓的下頂點(diǎn)為，過坐標(biāo)原點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線與圓相交于點(diǎn)、．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若直線、分別與橢圓相交于另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)、．①求證：直線經(jīng)過一定點(diǎn)；②試問：是否存在以為圓心，為半徑的圓，使得直線和直線都與圓相交？若存在，請(qǐng)求出所有的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

參考答案：（Ⅰ）依題意，，則，∴，又，∴，則，∴橢圓方程為．（Ⅱ）①由題意知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的斜率為，則：，由得或∴，用去代，得，方法1：，∴：，即，∴直線經(jīng)過定點(diǎn)．方法2：作直線關(guān)于軸的對(duì)稱直線，此時(shí)得到的點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，則與相交于軸，可知定點(diǎn)在軸上，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)直線經(jīng)過軸上的點(diǎn)，∵∴，∴、、三點(diǎn)共線，即直線經(jīng)過點(diǎn)，綜上所述，直線經(jīng)過定點(diǎn)．②由得或∴，則直線：，設(shè)，則，直線：，直線：，假設(shè)存在圓心為，半徑為的圓，使得直線和直線都與圓相交，則由（）得對(duì)恒成立，則，由（）得，對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，得，即，∴存在圓心為，半徑為的圓，使得直線和直線都與圓相交，所有的取值集合為．解法二：圓，由上知過定點(diǎn)，故；又直線過原點(diǎn)，故，從而得．略20.直線l的方程為（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求a的值；（2）若l不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】直線的一般式方程．【專題】方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】（1）通過討論2﹣a是否為0，求出a的值即可；（2）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)判斷a的范圍即可．【解答】解：（1）當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，該直線在x軸和y軸上的截距為零，當(dāng)然相等，∴a=2，方程即3x+y=0；若a≠2，則=a﹣2，即a+1=1，∴a=0即方程為x+y+2=0，∴a的值為0或2．（2）∵過原點(diǎn)時(shí)，y=﹣3x經(jīng)過第二象限不合題意，∴直線不過原點(diǎn)∴a≤﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線方程問題，考查分類討論，是一道基礎(chǔ)題．21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓的圓心為M，過點(diǎn)P（0，2）的斜率為k的直線與圓M相交于不同的兩點(diǎn)A、B．（1）求k的取值范圍；（2）是否存在常數(shù)k，使得向量與平行？若存在，求k值，若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：解析：（1）圓的方程可化為，直線可設(shè)為，方法一：代入圓的方程，整理得，因?yàn)橹本€與圓M相交于不同的兩點(diǎn)A、B，得

；方法二：求過點(diǎn)P的圓的切線，由點(diǎn)M到直線的距離=2，求得，結(jié)合圖形，可知．（2）設(shè)，，因P（0，2），M（6，0），=，，向量與平行，即 ①．由，，，代入①式，得，由，所以不存在滿足要求的k值．22.在甲、乙兩個(gè)盒子中分別裝有標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒子中各取出1個(gè)球，每個(gè)球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的兩個(gè)球上標(biāo)號(hào)為相同數(shù)字的概率；（Ⅱ）求取出的兩個(gè)球上標(biāo)號(hào)之積能被3整除的概率．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【專題】應(yīng)用題．【分析】設(shè)從甲、乙兩個(gè)盒子中各取1個(gè)球，其數(shù)字分別為x、y，用（x，y）表示抽取結(jié)果，則所有可能的結(jié)果有16種，（I）A={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}，代入古典概率的求解公式可求（Ⅱ）設(shè)“取出的兩個(gè)球上標(biāo)號(hào)的數(shù)字之積能被3整除”為事件B，則B={（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}，代入古典概率的求解公式可求【解答】解：設(shè)從甲、乙兩個(gè)盒子中各取1個(gè)球，其數(shù)字分別為x、y，用（x，y）表示抽取結(jié)果，則所有可能的結(jié)果有16種，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16種結(jié)果，每種情況等可能出現(xiàn)．

（Ⅰ）設(shè)“取出的兩個(gè)