模糊數(shù)學(xué)3(水平截集、最大隸屬原則)

第一章模糊集合的一般概念§1.1模糊子集的定義及運(yùn)算§1.2水平截集、分解定理、擴(kuò)張?jiān)瓌t§1.2.1水平截集§1.2.1水平截集引例：5位應(yīng)試者參加的選拔考試中，5位應(yīng)試者及其成績?nèi)缦卤硭荆ò俜种疲簯?yīng)試者成績10090506080如何按“擇優(yōu)錄取”的原則來挑選優(yōu)勝者設(shè)模糊子集表示“優(yōu)勝者”，以各人成績與最高分的比值作為屬于的隸屬度?！?.2.1水平截集“優(yōu)勝者”的模糊子集“及格者”應(yīng)試者成績10090506080“優(yōu)良者”“優(yōu)秀者”“滿分者”§1.2.1水平截集實(shí)際問題的某個(gè)時(shí)刻，需要判斷某個(gè)元素對模糊子集的明確歸屬，這就要求模糊子集與普通集合可以依據(jù)某種法則相互轉(zhuǎn)化。需要一種溝通模糊子集和普通集合的辦法。若對模糊子集給出一個(gè)確定的閾值，則模糊子集的元素可分成“非此即彼”的兩種情形：。于是，誘導(dǎo)出在意義下的普通集合?！?.2.1水平截集定義1.2.1水平截集給定論域U，對，稱普通集合為模糊子集的水平截集。所謂取一個(gè)模糊子集的水平截集，就是將隸屬函數(shù)按下式轉(zhuǎn)化為特征函數(shù)：“及格者”“優(yōu)良者”所謂的“擇優(yōu)錄取”，即為確定一個(gè)閾值，當(dāng)元素（應(yīng)試者）的隸屬度時(shí)，該應(yīng)試者屬于“優(yōu)勝者”，否則不屬于“優(yōu)勝者”?！?.2.1水平截集水平截集的性質(zhì)：（1）（2）§1.2.1水平截集水平截集的性質(zhì)：（1）（2）性質(zhì)（2）說明截集水平越低，越大；反之，截集水平越高，越小從圖中可見，當(dāng)?shù)娜≈祻?逐漸減小而到0時(shí)，相應(yīng)的逐漸擴(kuò)展，從而得到一系列普通集合?！?.2.2分解定理定義1.2.2數(shù)乘設(shè)是論域U上的一個(gè)模糊子集()，由構(gòu)成一個(gè)新的模糊子集，記為，其隸屬函數(shù)為稱為數(shù)與模糊子集的數(shù)乘。特別地，當(dāng)為普通集合時(shí)：如果把視為模糊子集，其隸屬函數(shù)為：§1.2.2分解定理分解定理：對論域U上的一個(gè)模糊子集()，有§1.2.2分解定理分解定理：任取，可將切割為，而將所有的拼湊起來組成，就得到，即任何一個(gè)模糊子集可由一類集合套來表示當(dāng)遍取中，對的值就是含有元素的一切中的最大的值。分解定理給出利用普通集合表示模糊子集的理論依據(jù)和實(shí)際做法。當(dāng)遍取[0,1]中的實(shí)數(shù)時(shí)，按模糊子集求并運(yùn)算的規(guī)則，恰好取各點(diǎn)隸屬函數(shù)的最大值，將這些點(diǎn)連成一條曲線，正是模糊子集的隸屬函數(shù)?！?.2.3擴(kuò)張?jiān)瓌t水平截集說明了模糊子集向普通集合的轉(zhuǎn)化過程；分解定理則是相反過程，利用一系列普通集合（集合套）求并得到模糊子集，從而將模糊集合論中的問題轉(zhuǎn)化到普通集合論的問題來解決。而擴(kuò)張?jiān)瓌t卻是把普通集合論的方法直接擴(kuò)展到模糊集合論。設(shè)有映射如果在論域U上給定一個(gè)普通集合A，則可通過映射得到V中的一個(gè)普通集合B，記為，且。稱B是由產(chǎn)生的A的象，A是B的原象論域U上模糊子集在下的象？1975年，zadeh，公理§1.2.3擴(kuò)張?jiān)瓌t給定兩個(gè)論域U、V，以及映射則對是論域V上的一個(gè)模糊子集，即其隸屬函數(shù)為如果沒有使得，則規(guī)定

?！ぁぁ···V0.80.70.50.80.70.5···V···U0.80.70.50.80.50

映射后的隸屬度保持不變！擴(kuò)張?jiān)瓌t把普通集合論的方法直接擴(kuò)展到模糊集合論。§1.3.1最大隸屬原則模式識別：對所研究的具體對象，根據(jù)它的某些特征進(jìn)行識別并分類。這種分類是在已知模式的前提下進(jìn)行的，也就是將整體劃分為若干類型，作為一組標(biāo)準(zhǔn)模式。對于某個(gè)具體對象，判別它屬于那個(gè)模式，即屬于那一類。整體被劃分的類型（模式）和被識別的對象，如果是某個(gè)論域中的模糊子集，這種模式識別就稱為模糊模式識別?！?.3.1最大隸屬原則整體被劃分的類型（模式）和被識別的對象，如果是某個(gè)論域中的模糊子集，這種模式識別就稱為模糊模式識別。直接方法：對象為單個(gè)確定的元素，通過直接計(jì)算被識別對象的隸屬函數(shù)以判別其屬于那個(gè)模糊子集，最大（極大）隸屬原則。間接方法：對象為群體，模糊子集，判別與那一種已知的模糊子集最“貼近”，擇近原則。研究：模式為論域U中的n個(gè)模糊子集被識別的對象分為單個(gè)確定的元素或模糊子集模式識別主要包括三個(gè)步驟:提取特征，首先需要從識別對象中提取與識別有關(guān)的特征，并度量這些特征，于是每個(gè)識別對象就對應(yīng)一個(gè)向量，建立訓(xùn)練樣本。建立標(biāo)準(zhǔn)類型的隸屬函數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)類型通常是論域上的模糊子集。建立識別判決準(zhǔn)則，確定某些歸屬原則，以判定識別對象屬于哪一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類型。

常用的判決準(zhǔn)則有最大隸屬度原則（直接法）和擇近原則（間接法）兩種。實(shí)例：蘋果等級識別訓(xùn)練樣本集的建立：從蘋果的橫徑、色澤以及果形指數(shù)三個(gè)方面把蘋果分為四類，精品果、二級果、三級果、四級果。樣本集訓(xùn)練步驟:原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化等，建立標(biāo)準(zhǔn)類型（模式）－聚類分析。試驗(yàn)結(jié)果：對52個(gè)蘋果進(jìn)行訓(xùn)練，精品果、二級果、三級果、四級果各30個(gè)，正確率達(dá)到95％。

“模糊模式識別在計(jì)算機(jī)識別中的應(yīng)用研究”，張娜等，微計(jì)算機(jī)信息，2004，20（6）§1.3.1最大隸屬原則設(shè)是論域U上n個(gè)模糊子集，若有，使則認(rèn)為相對隸屬于模糊子集。例1：，論域U上有三個(gè)模糊子集（研究能力強(qiáng)），（一般），（差）：那么，甲、乙、丙應(yīng)歸于那一類？§1.3.2應(yīng)用實(shí)例例2：三角形識別問題機(jī)器自動(dòng)識別染色體或白血球分類，應(yīng)用幾何圖形識別設(shè)三角形論域現(xiàn)給出各種類型的三角形隸屬函數(shù)。1.近似等腰三角形，其隸屬函數(shù)為A與B（或B與C）愈接近，三角形愈接近等腰三角形，即隸屬度趨于1。2.近似直角三角形，其隸屬函數(shù)為例2：三角形識別問題1.近似等腰三角形，2.近似直角三角形，3.近似正三角形，4.近似等腰直角三角形，5.非典型三角形，