山西省忻州市原平南坡中學(xué)分校中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析

山西省忻州市原平南坡中學(xué)分校中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.《九章算術(shù)》中將底面為長(zhǎng)方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽(yáng)馬”現(xiàn)有一陽(yáng)馬，其正視圖和側(cè)視圖是如圖所示的直角三角形.若該陽(yáng)馬的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（

）A. B.6π C.9π D.24π參考答案：B【分析】由題意，為球的直徑，求出，可得球的半徑，即可求出球的表面積．【詳解】如圖所示，該幾何體為四棱錐．底面為矩形，其中底面．，，．則該陽(yáng)馬的外接球的直徑為．該陽(yáng)馬的外接球的表面積為：．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了四棱錐的三視圖、長(zhǎng)方體的性質(zhì)、球的表面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．2.已知滿足不等式組,則目標(biāo)函數(shù)的最大值為A.4

B.6

C.8

D.10參考答案：B3.函數(shù)y=的定義域是（

）A．（3，+∞）

B．3,+∞)

C．(4,+∞)

D．4,+∞)參考答案：D4.函數(shù)，對(duì)任意，總有，則（

）

A．0

B．2

C．

D．28參考答案：C略5.在實(shí)數(shù)集中定義一種運(yùn)算“”，對(duì)任意，為唯一確定的實(shí)數(shù)，且具有性質(zhì)：（1）對(duì)任意，；（2）對(duì)任意，.則函數(shù)的最小值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B6.為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試，得分（十分制）如圖所示，假設(shè)得分的中位數(shù)為me，眾數(shù)為m0，平均值為，則（）A．me=m0= B．me=m0＜ C．me＜m0＜ D．m0＜me＜參考答案：D【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【分析】根據(jù)題意，由統(tǒng)計(jì)圖依次計(jì)算數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)，比較即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，由題目所給的統(tǒng)計(jì)圖可知：30個(gè)得分中，按大小排序，中間的兩個(gè)得分為5、6，故中位數(shù)me=5.5，得分為5的最多，故眾數(shù)m0=5，其平均數(shù)=≈5.97；則有m0＜me＜，故選：D．7.函數(shù)的最小正周期為 A． B．

C．

D．【解析】，所以周期為，選C.參考答案：，所以周期為，選C.【答案】C8.已知全集，那么集合（）A．

B．

C．D．參考答案：B略9.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，設(shè)，若有＞，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A10.下列函數(shù)與相等的是A．

B．

C． D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，a=3，b=，∠A=，則∠B=

．參考答案：

12.若函數(shù)，（a＞0且a≠1）的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：（0，1）∪（1，4]考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值．專題：計(jì)算題．分析：函數(shù)，（a＞0且a≠1）的值域?yàn)镽，則其真數(shù)在實(shí)數(shù)集上恒為正，將這一關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式求解參數(shù)的范圍即可．解答： 解：函數(shù)，（a＞0且a≠1）的值域?yàn)镽，其真數(shù)在實(shí)數(shù)集上恒為正，即恒成立，即存在x∈R使得≤4，又a＞0且a≠1故可求的最小值，令其小于等于4∵∴4，解得a≤4，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1）∪（1，4]故應(yīng)填（0，1）∪（1，4]點(diǎn)評(píng)：考查存在性問題的轉(zhuǎn)化，請(qǐng)讀者與恒成立問題作比較，找出二者邏輯關(guān)系上的不同．13.已知平面向量,若,則x=________.參考答案：【分析】由向量垂直的充分必要條件可得：，據(jù)此確定x的值即可.【詳解】由向量垂直的充分必要條件可得：，解得：.故答案：．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量平行的充分必要條件及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14.調(diào)查某高中1000名學(xué)生的視力情況，得下表：ks5u

近視度數(shù)小于300度近視度數(shù)300度-500度近視度數(shù)500度及以上女生（人）243男生（人）150167已知從這批學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，抽到女生近視度數(shù)小于300度的概率為0.2。現(xiàn)用分層抽樣的方法，從這批學(xué)生中隨機(jī)抽取50名，則應(yīng)在近視度數(shù)500度及以上學(xué)生中抽

名參考答案：12略15.若行列式中，元素4的代數(shù)余子式大于0，則x滿足的條件是________________________.

參考答案：解析：依題意，得：(-1)2×(9x-24)＞0，解得：16.若（i是虛數(shù)單位）是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值是_________參考答案：略17.若實(shí)數(shù)x、y滿足x＞0，y＞0，且log2x+log2y=log2（x+2y），則2x+y的最小值為．參考答案：9【考點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】求出x，y的關(guān)系式，然后利用基本不等式求解函數(shù)的最值即可．【解答】解：實(shí)數(shù)x、y滿足x＞0，y＞0，且log2x+log2y=log2（x+2y），可得xy=x+2y，可得，2x+y=（2x+y）=1+4+≥=9，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3時(shí)，取得最小值．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)運(yùn)算法則以及基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分分）已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在同一平面直角坐標(biāo)系中，將曲線上的點(diǎn)按坐標(biāo)變換得到曲線．（1）求曲線的普通方程；（2）若點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求中點(diǎn)的軌跡方程．參考答案：（1）將代入，得的參數(shù)方程為∴曲線的普通方程為．

………5分（2）設(shè)，，又，且中點(diǎn)為所以有：又點(diǎn)在曲線上，∴代入的普通方程得∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．

………10分19.已知拋物線，過其焦點(diǎn)作兩條相互垂直且不平行于坐標(biāo)軸的直線，它們分別交拋物線于點(diǎn)、和點(diǎn)、，線段、的中點(diǎn)分別為、.（Ⅰ）求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；（Ⅱ）求面積的最小值；（Ⅲ）過、的直線是否過定點(diǎn)?若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說明理由.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）4；（Ⅲ）直線恒過定點(diǎn).

試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)條件得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為,.聯(lián)立，得..設(shè)，，則，，∴.（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）知直線的斜率為：，所以直線的方程為:,即，（*）當(dāng)，時(shí)方程（*）對(duì)任意的均成立，即直線過點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，也過點(diǎn).所以直線恒過定點(diǎn).……12分考點(diǎn)：求軌跡方程，直線與拋物線相交的綜合問題．20.(本小題滿分12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．參考答案：解（1）依題意得…+①當(dāng)時(shí)得…+②由①、②兩式得當(dāng)時(shí)，………5分

而當(dāng)時(shí)，也成立，故………6分

（2）由（1）得………9分

則…+．………12分

略21.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)時(shí)，與相交于兩點(diǎn)，求的最小值.參考答案：（1）∵，∴.∴.∴，∴曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）由（1）可知圓心坐標(biāo)為，半徑為2，直線過點(diǎn)，∴，∴時(shí)，的最小值為.22.對(duì)于數(shù)列{an}，若an+2﹣an=d（d是與n無關(guān)的常數(shù)，n∈N*），則稱數(shù)列{an}叫做“弱等差數(shù)列”，已知數(shù)列{an}滿足：a1=t，a2=s且an+an+1=an+b對(duì)于n∈N*恒成立，（其中t，s，a，b都是常數(shù)）．（1）求證：數(shù)列{an}是“弱等差數(shù)列”，并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)t=1，s=3時(shí)，若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求出a、b的值，并求出{an}的前n項(xiàng)和Sn；（3）若s＞t，且數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【專題】證明題；新定義；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法．【分析】（1）由已知得an+2=a（n+1）+b﹣an+1=（an+a+b）﹣（an+b）+an=a+an，由此能證明數(shù)列{an}是“弱等差數(shù)列”．由a1=t，a2=s，an+2﹣an=a，得到{an}中奇數(shù)項(xiàng)是以t為首項(xiàng)，以a為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)列是以s為首項(xiàng)，以a為公差的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．（2）由遞推公式求出a1=1，a2=3，a3=2a+b﹣3，a4=a+3，由此利用等差數(shù)列性質(zhì)能求出a=4，b=0，從而得到數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，由此能求了Sn．（3）由已知得a2k+1﹣a2k=（t+ka）﹣[s+（k﹣1）a]=t﹣s+a＞0，由經(jīng)能求出a的取值范圍．【解答】證明：（1）∵數(shù)列{an}滿足：a1=t，a2=s且an+an+1=an+b對(duì)于n∈N*恒成立，∴an+1=an+b﹣an，an+2=a（n+1）+b﹣an+1=（an+a+b）﹣（an+b）+an=a+an，∴an+2﹣an=a，∴數(shù)列{an}是“弱等差數(shù)列”．∵a1=t，a2=s，an+2﹣an=a，∴{an}中奇數(shù)項(xiàng)是以t為首項(xiàng)，以a為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)列是以s為首項(xiàng)，以a為公差的等差數(shù)列，∴an=．解：（2）∵當(dāng)t=1，s=3時(shí)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴a1=1，a2=3，3+a3=2a+b，∴a3=2a+b﹣3，2a+b﹣3