中學(xué)數(shù)學(xué)思想教學(xué)

2023/2/51

中學(xué)數(shù)學(xué)思想教學(xué)

郭民東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院

guom702@2023/2/52一、數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)1．?dāng)?shù)學(xué)思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)的一項(xiàng)基礎(chǔ)知識(shí)2．?dāng)?shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵

2023/2/53二、中學(xué)數(shù)學(xué)中的基本數(shù)學(xué)思想方法1．用字母表示數(shù)的思想方法2．集合與對(duì)應(yīng)的思想方法3．函數(shù)與方程的思想方法4．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想方法5．?dāng)?shù)學(xué)模型的思想方法6．轉(zhuǎn)換化歸的思想方法2023/2/54三、中學(xué)數(shù)學(xué)基本思想方法教學(xué)原則1.目標(biāo)性原則2．滲透性原則3．層次性原則4．概括性原則5．實(shí)踐性原則2023/2/55四、中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的基本途徑1．在知識(shí)發(fā)生過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想方法(1)不簡(jiǎn)單下定義(2)定理公式教學(xué)中不過(guò)早給結(jié)論2023/2/562．在思維教學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，揭示數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)過(guò)程：3．在問(wèn)題解決方法的探索過(guò)程中激活數(shù)學(xué)思想方法2023/2/57

圖3-3-13

圖3-3-142023/2/584．在知識(shí)的總結(jié)歸納過(guò)程中概括數(shù)學(xué)思想方法五、新課程背景下中小學(xué)數(shù)學(xué)證明思想2023/2/59主要內(nèi)容1數(shù)學(xué)證明的概念2義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)中有關(guān)數(shù)學(xué)證明的闡述3數(shù)學(xué)證明的歷史回顧4數(shù)學(xué)家們對(duì)數(shù)學(xué)證明的看法5數(shù)學(xué)證明教學(xué)觀念的發(fā)展變化6數(shù)學(xué)證明教學(xué)價(jià)值的理解數(shù)學(xué)證明的概念

證明是一個(gè)思維過(guò)程，是概念、判斷、推理這三種思維形式的綜合運(yùn)用，是引用真實(shí)的判斷來(lái)證實(shí)另一判斷為真實(shí)的過(guò)程。數(shù)學(xué)證明是由已被承認(rèn)的數(shù)學(xué)命題（包括定義、公理、定理）來(lái)證實(shí)另一數(shù)學(xué)命題的思維過(guò)程。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

義務(wù)教育<數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)>中內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)空間與圖形部分關(guān)于推理與證明是這樣敘述的：在探索圖形性質(zhì)、與他人合作交流等活動(dòng)過(guò)程中，發(fā)展合情推理，進(jìn)一步學(xué)習(xí)有條理的思考與表達(dá)；在積累了一定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，從幾個(gè)基本的事實(shí)出發(fā)，證明一些有關(guān)三角形、四邊形的基本性質(zhì)，從而體會(huì)證明的必要性，理解證明的基本過(guò)程，掌握用綜合法的格式，初步感受公理化的思想。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(7----9)年級(jí)有關(guān)數(shù)學(xué)證明的教學(xué)建議：

應(yīng)關(guān)注證明的必要性、基本過(guò)程和基本方法。"證明"的教學(xué)所關(guān)注的是，對(duì)證明必要性的理解，對(duì)證明基本方法和證明過(guò)程的體驗(yàn)，而不是追求所證命題的數(shù)量、證明的技巧。

在命題教學(xué)中，應(yīng)通過(guò)生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例來(lái)說(shuō)明什么是命題；能夠區(qū)分一個(gè)簡(jiǎn)單命題的真?zhèn)?，能夠用反例?lái)判定一個(gè)命題是假命題；對(duì)幾何中的一些基本命題，應(yīng)該要求學(xué)生能夠畫出相應(yīng)的圖形，并逐步學(xué)會(huì)用符號(hào)來(lái)表示命題。

在證明的教學(xué)中，首先，應(yīng)通過(guò)生活、代數(shù)和幾何中的具體例子使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，有些命題可以通過(guò)觀察和實(shí)驗(yàn)得到并獲得大家的認(rèn)可，但也有些命題僅僅通過(guò)觀察和實(shí)驗(yàn)是不夠的，從而使學(xué)生體會(huì)證明的必要性；其次，應(yīng)該使學(xué)生理解證明的基本要求，有條理地闡述自己的想法，知道推理必須有依據(jù)，證明過(guò)程的表述必須條理清楚。

反證法也是一種重要的證明方法，教學(xué)中可以通過(guò)生活實(shí)例和簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)例子，使學(xué)生體會(huì)反證法的思想。但在義務(wù)教育階段不必給出反證法的證明格式。

在教學(xué)中，應(yīng)把證明作為探索活動(dòng)的自然延續(xù)和必要發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生從問(wèn)題出發(fā)，根據(jù)觀察、實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，運(yùn)用歸納、類比的方法首先得出猜想，然后再進(jìn)行證明，這十分有利于學(xué)生對(duì)證明的全面理解；使用較規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述論證的過(guò)程，有利于學(xué)生清晰而有條理地表達(dá)自己的觀點(diǎn)并理解他人的思想；組織學(xué)生探索證明的不同思路，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)谋容^和討論，這有利于開闊學(xué)生的視野；提供一些具有實(shí)際背景的命題，增加論證的趣味性，有助于激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)證明的興趣和掌握綜合證法的信心。

數(shù)學(xué)教育界都在關(guān)注《國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(初稿)——目標(biāo)體系》的研討,其中一個(gè)熱門的話題是如何處理中學(xué)幾何課程的改革。爭(zhēng)論焦點(diǎn)之一是如何看待幾何中邏輯推理的教育價(jià)值。為此,我們有必要探討一下數(shù)學(xué)證明的有關(guān)問(wèn)題。有關(guān)數(shù)學(xué)證明的歷史回顧數(shù)學(xué)證明最早是在幾何學(xué)這個(gè)領(lǐng)域里開始的，后來(lái)，也是由于幾何學(xué)領(lǐng)域里的問(wèn)題所推動(dòng)，經(jīng)歷了深刻的變化。幾何學(xué)早在數(shù)千年之前由于人類生活的需要而產(chǎn)生，在中國(guó)和埃及都取得了很大的發(fā)展，在古埃及，由于尼羅河經(jīng)常泛濫，沖毀田地的界線，洪水過(guò)后，要重新測(cè)量，確定田地界線。幾何學(xué)就起源于這種測(cè)地?cái)?shù)?！皫缀螌W(xué)“

這一名詞，在拉丁文或希臘文中都含有“測(cè)地術(shù)”的意思。古埃及還有金字塔那樣的宏偉建筑。埃及人積累了十分豐富的幾何知識(shí)，并把這些幾何知識(shí)記載在“阿赫美斯手冊(cè)”。

古代希臘在同埃及通商和希臘學(xué)者到埃及留學(xué)的過(guò)程中，學(xué)到了埃及的幾何學(xué)并傳到了希臘，幾何學(xué)在希臘得到了新的發(fā)展，由于古希臘的哲學(xué)思想活躍，形式邏輯已確定為一門科學(xué)，使得豐富的幾何知識(shí)向數(shù)學(xué)理論轉(zhuǎn)化。公元前五世紀(jì)，幾何學(xué)的系統(tǒng)敘述已在希臘出現(xiàn)，到公元前三世紀(jì)，歐幾里得集前人之大成，寫成名為《幾何原本》的十三卷巨著。

這一人類歷史上的科學(xué)杰作是如此嚴(yán)密而系統(tǒng)，以至于在非歐幾何出現(xiàn)前，兩千多年的時(shí)間里，人們?cè)瓌t上已不能也不需要對(duì)它再增加什么新的東西，幾何學(xué)教科書也不過(guò)是《幾何原本》的通俗改寫而已。歐幾里得在他的《幾何原本》中，先列出了一些定義、公理和公設(shè)，而后應(yīng)用邏輯推理導(dǎo)出全部定理，構(gòu)造出了一個(gè)循序漸進(jìn)的、前后一貫的、無(wú)矛盾的、有根據(jù)的、確定的體系，使幾何學(xué)實(shí)現(xiàn)了由感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的飛躍，數(shù)學(xué)證明也正是在《幾何原本》中被確立和大量使用?！稁缀卧尽分械牡谖骞O(shè)是平行線公理，這一公理不象其他公理那樣顯然，因而，自《幾何原本》問(wèn)世以來(lái)，許多數(shù)學(xué)家都企圖證明第五公設(shè)。然而，這一企圖都失敗了，直到1826年，俄羅斯數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基才解決了這一問(wèn)題。羅巴切夫斯基的做法是：保留其他公理，以第五公設(shè)的負(fù)判斷來(lái)代替第五公設(shè)，而后進(jìn)行邏輯推理，從而得出一系列深刻的結(jié)果，也構(gòu)造出了一個(gè)循序漸進(jìn)的、前后一貫的、無(wú)矛盾的、有根據(jù)的、確定的體系。這就是一種新的幾何學(xué)---羅巴切夫斯基幾何學(xué)。只是找不到歐幾里得幾何那樣的現(xiàn)實(shí)意義，所以羅巴切夫斯基把它稱為“虛擬的幾何學(xué)”。羅巴切夫斯基幾何學(xué)的產(chǎn)生，使人們看到歐幾里得幾何的邏輯結(jié)構(gòu)并不是十全十美的。這在數(shù)學(xué)界引起了極大的震動(dòng)。本來(lái)微積分缺少邏輯基礎(chǔ)這一事實(shí)就使數(shù)學(xué)家不安，歐幾里得幾何基礎(chǔ)的動(dòng)搖更加劇了這種不安，于是，在1850年左右，數(shù)學(xué)家們對(duì)于“數(shù)學(xué)證明”這件事，幾乎陷入了絕望的境地。數(shù)學(xué)證明應(yīng)該在怎樣的基礎(chǔ)上進(jìn)行？各門數(shù)學(xué)學(xué)科應(yīng)該建立怎樣的基礎(chǔ)？等等問(wèn)題引起數(shù)學(xué)家們的深入思考。在19世紀(jì)后半期，數(shù)學(xué)家們?yōu)榱耸顾麄兊膶W(xué)說(shuō)建立合適的邏輯基礎(chǔ)，開展了一場(chǎng)名為批判的運(yùn)動(dòng)，從波爾察諾和柯西開始，又維爾斯特拉斯、戴狄金、康托、皮亞諾等人繼續(xù)對(duì)算術(shù)、代數(shù)和數(shù)學(xué)分析給予了一個(gè)公理基礎(chǔ)。希爾伯特等人的工作，則是給予歐幾里得幾何一個(gè)更好的公理基礎(chǔ)，并確立了數(shù)學(xué)研究的現(xiàn)代公理法。

希爾伯特把公理系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)的基本特性概括為五個(gè)方面：（1）基本概念的列舉；（2）定義的敘述；（3）公理的敘述；（4）定理的敘述；（5）定理的證明。希爾伯特還提出一個(gè)良好的公理系統(tǒng)的三項(xiàng)基本要求：（1）相容性；（2）獨(dú)立性：（3）完備性。

從以上敘述我們可以看出數(shù)學(xué)證明有兩個(gè)最基本的特性：順序性和嚴(yán)格性。數(shù)學(xué)證明的順序性在于：在證明中，決不能使用尚未證明的命題，決不能使用尚未引入的概念。數(shù)學(xué)證明的嚴(yán)格性在于：按著邏輯推理，一步一步地進(jìn)行，在任何一個(gè)步驟中，都不能憑借直覺(jué)。一個(gè)好的數(shù)學(xué)證明就是一個(gè)堅(jiān)實(shí)的邏輯鏈，任何一個(gè)環(huán)節(jié)都打不開缺口。總之，數(shù)學(xué)證明首先在幾何學(xué)領(lǐng)域里開始，公元前3世紀(jì)產(chǎn)生的歐幾里得《幾何原本》在兩千多年的時(shí)間里一直是數(shù)學(xué)證明的范例。羅巴切夫斯基幾何學(xué)的產(chǎn)生，使人們對(duì)數(shù)學(xué)證明的認(rèn)識(shí)大大加深，并隨之產(chǎn)生了現(xiàn)代公理體系。問(wèn)題的提出

我們知道，從一組原始概念和命題(即公理)出發(fā),經(jīng)過(guò)邏輯推理得到一系列的定理和證明,這一直數(shù)學(xué)學(xué)科所遵循的研究模式。但隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展,特別是電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn),人們對(duì)上述研究模式產(chǎn)生了懷疑。其中最典型的一個(gè)例子就是所謂“四色問(wèn)題”的證明。“四色問(wèn)題”所引起的爭(zhēng)論1852年,英國(guó)數(shù)學(xué)家F.Guthrie(格思里)在給他弟弟的一封信中說(shuō):“看來(lái)每幅地圖若用不同顏色標(biāo)出鄰國(guó),只要用四種顏色就夠了。”這就是“四色問(wèn)題”的由來(lái)。一百多年來(lái)數(shù)學(xué)家們不斷努力企圖用數(shù)學(xué)方法來(lái)證明這個(gè)結(jié)論。直到1976年美國(guó)兩位計(jì)算機(jī)專家K.Appel(阿佩爾)和W.Haken(哈肯)找到了一種新的計(jì)算方法。他們用了三臺(tái)IBM計(jì)算機(jī)經(jīng)過(guò)1000多個(gè)小時(shí)(約52天)的運(yùn)算,“證明”了格思里提出的結(jié)論是正確的。因此,“四色問(wèn)題”得到了“證明”。“四色問(wèn)題”的“證明”引起的爭(zhēng)論（1）、“四色問(wèn)題”的“證明”,其計(jì)算機(jī)程序就達(dá)400多頁(yè),要用人工去檢驗(yàn)其程序有無(wú)問(wèn)題是十分吃力的。因此,似乎無(wú)人愿意再去重復(fù)阿—哈的“證明”。（2）、能否保證計(jì)算機(jī)在計(jì)算過(guò)程中絕對(duì)不出錯(cuò)誤?（3）、人們無(wú)法確定計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤是計(jì)算機(jī)本身的機(jī)械或電子方面的毛病,還是“證明”過(guò)程本身邏輯有問(wèn)題。什么是“數(shù)學(xué)證明”的爭(zhēng)論有些數(shù)學(xué)家認(rèn)為數(shù)學(xué)證明只能是以人工可重復(fù)檢驗(yàn)的邏輯演繹(計(jì)算也是一種演繹)過(guò)程,否則只能稱為計(jì)算機(jī)證明,二者不能混為一談。因此,按這種觀點(diǎn),“四色問(wèn)題”只能稱已得到了計(jì)算機(jī)證明,而不能稱已得到了數(shù)學(xué)證明。但是,另一些數(shù)學(xué)家反駁說(shuō),用人工來(lái)檢驗(yàn)也可能產(chǎn)生錯(cuò)誤。例如,數(shù)學(xué)史上曾有不少數(shù)學(xué)家(如意大利的Saccheri,法國(guó)的Legendre)聲稱他們已“證明”了歐幾里得第五公設(shè)(即歐氏平行公理)。但后來(lái)發(fā)現(xiàn)他們的“證明”均有問(wèn)題,其主要錯(cuò)誤在于他們利用了與第五公設(shè)等價(jià)的命題,因此從邏輯上說(shuō)他們都犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤。

數(shù)學(xué)證明的功能到底是什么?

那么數(shù)學(xué)證明的內(nèi)涵是什么？如何處理中學(xué)幾何課程有關(guān)推理證明的教學(xué)改革？如何看待幾何中數(shù)學(xué)證明的教育價(jià)值？一直都是一個(gè)熱門話題。

數(shù)學(xué)家們對(duì)數(shù)學(xué)證明的看法：

觀點(diǎn)1：國(guó)際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)在《計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)的影響》報(bào)告中指出：“借助于計(jì)算機(jī)的證明不應(yīng)該比人工證明加以更多的懷疑……，我們不能認(rèn)為計(jì)算機(jī)將增加錯(cuò)誤證明的數(shù)目，恰恰相反對(duì)計(jì)算機(jī)證明的批評(píng)，例如四色問(wèn)題的證明，主要集中在它僅依靠蠻力和缺乏思考的洞察力……計(jì)算機(jī)證明會(huì)給人們帶來(lái)一些新啟示，會(huì)激勵(lì)人們?nèi)ふ腋玫?、更短的、更具說(shuō)服力的證明，會(huì)激勵(lì)數(shù)學(xué)家去更準(zhǔn)確地把握形式化的想法?！?/p>

觀點(diǎn)2：英國(guó)數(shù)學(xué)家Atiyah(阿蒂亞)在評(píng)論“四色問(wèn)題”的證明時(shí)說(shuō)：“這證明是一大成功，但在美學(xué)觀點(diǎn)上看極令人失望。完全不靠人的心智創(chuàng)造，全靠機(jī)械的蠻力?？茖W(xué)活動(dòng)的目的是理解客觀世界并駕馭客觀世界，然而我們能說(shuō)‘理解’了四色問(wèn)題的證明了嗎？”“數(shù)學(xué)是一種藝術(shù)，一種使人擺脫蠻力計(jì)算，而且成熟概念和技巧，使人更輕松地漫游?！?/p>

觀點(diǎn)3：布爾巴基在《數(shù)學(xué)的建筑》一書中說(shuō)：“單是驗(yàn)證了一個(gè)數(shù)學(xué)證明的逐步邏輯推導(dǎo)，都沒(méi)有試圖洞察獲得這一連串推導(dǎo)的背后的意念，并不算理解了證明?！薄坝?jì)算機(jī)證明不滿意者并非它沒(méi)有核實(shí)命題，難道用人工花幾個(gè)月檢驗(yàn)幾百頁(yè)證明便更可靠嗎？而是它沒(méi)有使我們通過(guò)證明獲得理解?！?/p>

觀點(diǎn)4：J.Horgen在《科學(xué)的美國(guó)》雜志上發(fā)表一篇《證明的死亡》文章中指出：“用計(jì)算機(jī)作實(shí)驗(yàn)，來(lái)證明建立定理，如四色問(wèn)題，任何人不能執(zhí)行如此長(zhǎng)的計(jì)算，也不能指望用其他辦法驗(yàn)證它?！虼诉@就突破了傳統(tǒng)證明的觀念，所以，不能再以邏輯推理作為證明數(shù)學(xué)命題的唯一手段?！?/p>

觀點(diǎn)5：R.Wilder認(rèn)為：“數(shù)學(xué)證明在不同的文化有不同的含義，在不同的時(shí)代也有不同的含義，我們不會(huì)擁有而且極可能永遠(yuǎn)不會(huì)有一個(gè)這樣的數(shù)學(xué)證明標(biāo)準(zhǔn)獨(dú)立于時(shí)代，獨(dú)立于所要證明的東西，并且獨(dú)立于使用它的個(gè)人或某個(gè)學(xué)派?！?/p>

觀點(diǎn)6：哈代（G.H.Hardy）認(rèn)為：“嚴(yán)格說(shuō)起來(lái)根本沒(méi)有所謂數(shù)學(xué)證明……，歸根到底我們只是指出了一些要點(diǎn)，證明只不過(guò)是一些廢話，它是為了打動(dòng)某些人而編造的一堆華麗辭藻，是講演時(shí)來(lái)演示的圖片，是激發(fā)小學(xué)生想象力的工具?！?/p>

從以上一些數(shù)學(xué)家對(duì)“數(shù)學(xué)證明”的看法，我們可以得出這樣的結(jié)論：數(shù)學(xué)證明的真正含義并不在于檢驗(yàn)核實(shí)數(shù)學(xué)命題，而在于理解數(shù)學(xué)命題，啟發(fā)數(shù)學(xué)思維，交流數(shù)學(xué)思想，導(dǎo)致數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn).很明顯,如果你能給出某一命題的一個(gè)證明,那么你可以說(shuō)你理解了(或說(shuō)你懂了)這個(gè)命題。如果你能用這個(gè)命題的證法去解決另一個(gè)問(wèn)題,例如,學(xué)生用一個(gè)定理的證法去做一道習(xí)題,那么,你在解決這個(gè)問(wèn)題的思維過(guò)程中必然是受到原來(lái)命題證法的啟發(fā)。為了你和其他人交流對(duì)某一命題的理解,最好的辦法就是你們共同商討對(duì)此命題的證明。

數(shù)學(xué)證明的傳統(tǒng)觀念受到?jīng)_擊

觀點(diǎn)1數(shù)學(xué)證明消亡論

1993年，JohnHorgen在《科學(xué)的美國(guó)》雜志上發(fā)表了題為“證明的死亡”的具有挑戰(zhàn)性的文章，他聲稱，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)能用計(jì)算機(jī)作實(shí)驗(yàn)（而非傳統(tǒng)證明）來(lái)建立有效的命題，利用計(jì)算機(jī)能產(chǎn)生長(zhǎng)篇證明，如四色定理的證明就是一例。除了用計(jì)算機(jī)之外，任何人也不可能執(zhí)行如此長(zhǎng)的計(jì)算，而且也不能指望用其他的辦法去驗(yàn)證它。問(wèn)題：用計(jì)算機(jī)證明的成功來(lái)否定數(shù)學(xué)證明的作用是否合適？觀點(diǎn)2數(shù)學(xué)證明變異論數(shù)學(xué)證明變異論認(rèn)為，數(shù)學(xué)證明的意義已經(jīng)發(fā)生變化，不再是傳統(tǒng)的證明觀念，也不是以邏輯推理作為證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的唯一手段。1993年，美國(guó)明尼蘇達(dá)大學(xué)幾何中心的數(shù)學(xué)家們提出“實(shí)驗(yàn)證明”的觀念，該中心出版了《實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)》雜志，他們認(rèn)為，實(shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)判斷的一種形式，他們利用計(jì)算機(jī)作數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，并比較實(shí)驗(yàn)結(jié)果，從而確定數(shù)學(xué)命題的正確性。實(shí)驗(yàn)證明標(biāo)志著數(shù)學(xué)證明的意義已經(jīng)發(fā)生變化，邏輯證明不在是證明數(shù)學(xué)命題的唯一手段。數(shù)學(xué)開始從分析科學(xué)向試驗(yàn)科學(xué)轉(zhuǎn)變。一些數(shù)學(xué)家預(yù)言，實(shí)驗(yàn)證明將會(huì)在數(shù)學(xué)中獲得重要地位，并使書面證明成為古老概念而相形見(jiàn)絀。數(shù)學(xué)證明的教學(xué)地位發(fā)生了動(dòng)搖

實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)的興起引起數(shù)學(xué)教育家們的極大興趣，在美國(guó)已形成一股潮流，即讓中學(xué)生也向?qū)嶒?yàn)數(shù)學(xué)方向發(fā)展，并把數(shù)學(xué)教室建設(shè)成為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室。在西歐和北美的一些國(guó)家中，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)證明在教學(xué)中的地位正在弱化。在我國(guó)，一些數(shù)學(xué)家和一些數(shù)學(xué)教育家也對(duì)過(guò)分強(qiáng)調(diào)形式化和嚴(yán)謹(jǐn)化的數(shù)學(xué)證明教學(xué)觀念提出了不同的觀點(diǎn)

史老師觀點(diǎn)：初中幾何應(yīng)該教學(xué)生建立在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上有物理背景的邏輯推理的歐幾里得公理，不教給學(xué)生完全形式化的希爾伯特公理，高中和大學(xué)再教給學(xué)生完全形式化、符號(hào)化的公理體系。

張奠宙、鄭正亞觀點(diǎn)：“不要過(guò)份渲染邏輯思維能力”，“不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)也是數(shù)學(xué)”，“現(xiàn)今中學(xué)數(shù)學(xué)根本做不到完全嚴(yán)謹(jǐn)”。

陳重穆、宋乃慶觀點(diǎn)：“淡化形式，注重實(shí)際”作為培養(yǎng)邏輯思維能力的手段的數(shù)學(xué)證明教學(xué)的觀念發(fā)生了變化，數(shù)學(xué)證明在數(shù)學(xué)教學(xué)中的傳統(tǒng)地位發(fā)生了動(dòng)搖。如何看待數(shù)學(xué)證明在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位？也是當(dāng)今數(shù)學(xué)課程改革不能回避的課題建構(gòu)主義學(xué)習(xí)論觀點(diǎn)：

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)論認(rèn)為，知識(shí)不能傳遞，但能由學(xué)生自己建構(gòu)。如果教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中只限于對(duì)數(shù)學(xué)證明逐向講解，這無(wú)助于學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。因而，西方不少數(shù)學(xué)教育家認(rèn)為要舍得花時(shí)間讓學(xué)生分組討論，進(jìn)行探索，從中感知一種用自己的語(yǔ)言組織的、非正式的數(shù)學(xué)證明方法。在學(xué)生討論的過(guò)程中，教師從知識(shí)傳播者的地位轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)習(xí)指導(dǎo)者的地位。他們認(rèn)為這樣做可以使學(xué)生有機(jī)會(huì)自己建構(gòu)有關(guān)數(shù)學(xué)推理的直覺(jué)。那么教師在數(shù)學(xué)證明教學(xué)中的作用是什么？我們認(rèn)為，教師應(yīng)該幫助學(xué)生理解什么是數(shù)學(xué)證明，為什么要證明，什么樣的數(shù)學(xué)證明才有效。教師既要鼓勵(lì)學(xué)生自己建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，又要對(duì)學(xué)生通過(guò)建構(gòu)所獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)作出正確的評(píng)價(jià)，及時(shí)糾正學(xué)生的錯(cuò)誤，這就是教師在數(shù)學(xué)證明教學(xué)中的主導(dǎo)作用所在。然而，由于種種原因，教師在數(shù)學(xué)證明課堂教學(xué)中包辦的過(guò)多，往往是學(xué)生還沒(méi)來(lái)得及深入思考，教師已經(jīng)把有關(guān)的數(shù)學(xué)證明講完了。非正式的數(shù)學(xué)證明得到重視

1987年，Lakatos出版了《證明與反駁》一書，書中提出了反例、反駁以及非正式證明在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的作用，1992年前美國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)主席Dossey進(jìn)一步提倡，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視非正式的數(shù)學(xué)證明，而應(yīng)降低正式數(shù)學(xué)證明在課堂教學(xué)中的地位。數(shù)學(xué)證明的本質(zhì)

對(duì)于《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》，一些數(shù)學(xué)家提出平面幾何的內(nèi)容還是必要的，并且指出，其不必要性并不在于知識(shí)本