中國(guó)礦業(yè)大學(xué)工程數(shù)學(xué)第五章

第五章留數(shù)第一節(jié)孤立奇點(diǎn)5.1解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)由于函數(shù)f(z)在去掉圓心的圓盤(pán)內(nèi)解析，則在D內(nèi)，f(z)有洛朗展式其中

是圓孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)—可去奇點(diǎn)：一般地，對(duì)于上述函數(shù)f(z)，按照它的洛朗展式含負(fù)次冪的情況（主要部分的情況），可以把孤立奇點(diǎn)分類(lèi)如下：（1）如果無(wú)負(fù)次冪項(xiàng),即當(dāng)n=-1,-2,-3,…，時(shí)那么我們說(shuō)z0是f(z)的可去奇點(diǎn)。這時(shí)令，就得到在整個(gè)圓盤(pán)內(nèi)的解析函數(shù)f(z)。如果補(bǔ)充定義:時(shí),那末在解析.比如：

中不含負(fù)冪項(xiàng),是的可去奇點(diǎn).（2）、如果只有有限個(gè)負(fù)次冪項(xiàng),即有限個(gè)（至少一個(gè)）負(fù)整數(shù)n，使得那么我們說(shuō)z0是f(z)的極點(diǎn)。設(shè)對(duì)于正整數(shù)m，而當(dāng)n<-m時(shí)，即負(fù)次冪項(xiàng)最高為m次那么我們稱(chēng)z0是f(z)的m階(級(jí)）極點(diǎn)。（3）、如果有無(wú)窮個(gè)負(fù)次冪項(xiàng),即無(wú)限個(gè)整數(shù)n<0，使得那么我們說(shuō)是f(z)的本性奇點(diǎn)。例如，0分別是的可去奇點(diǎn),一級(jí)極點(diǎn),本性奇點(diǎn)定理5.1函數(shù)f(z)在內(nèi)解析，那么z0是f(z)的可去奇點(diǎn)的充分與必要條件是：存在著極限，其中是一個(gè)復(fù)常數(shù)。證明：（必要性）。由假設(shè)，在內(nèi)，f(z)有洛朗級(jí)數(shù)展式：因?yàn)樯鲜接疫叺膬缂?jí)數(shù)的收斂半徑至少是R，所以它的和函數(shù)在內(nèi)解析，于是顯然存在著：（充分性）。設(shè)在內(nèi)，f(z)的洛朗級(jí)數(shù)展式是由假設(shè)，存在著兩個(gè)正數(shù)M及，使得在內(nèi)，當(dāng)n=-1,-2,-3,…時(shí)，在上式中令趨近于0，就得到于是z0是f(z)的可去奇點(diǎn)。那么取，使得，我們有下面研究極點(diǎn)的特性：設(shè)函數(shù)f(z)在內(nèi)解析，是f(z)的階極點(diǎn)，那么，f(z)有可表示為：在這里。于是在內(nèi)在這里是一個(gè)在內(nèi)解析的函數(shù)，并且反之，如果函數(shù)f(z)在內(nèi)可以表示成為上面的形狀，而是一個(gè)在內(nèi)解析的函數(shù)，并且，那么可以推出是f(z)的m階極點(diǎn)。定理5.2設(shè)函數(shù)f(z)在內(nèi)解析，那么z0是f(z)的極點(diǎn)的充分與必要條件是：關(guān)于解析函數(shù)的本性奇點(diǎn)，我們有下面的結(jié)論：定理5.3函數(shù)f(z)在內(nèi)解析，那么是f(z)的本性奇點(diǎn)的充分必要條件是：不存在有限或無(wú)窮極限例20是函數(shù)的本性奇點(diǎn)，不難看出不存在。解：當(dāng)z沿正實(shí)軸趨近于0時(shí)，趨近于

當(dāng)z沿負(fù)實(shí)軸趨近于0時(shí)，趨近于0；解析函數(shù)的零點(diǎn)設(shè)不恒為零的函數(shù)f(z)在z0的鄰域U內(nèi)解析，并且那么稱(chēng)z0為f(z)的零點(diǎn)。設(shè)f(z)在U內(nèi)的泰勒展式是：并且存在正整數(shù)m，而對(duì)于n<m，那么我們說(shuō)z0是f(z)的m階零點(diǎn)。如果z0是解析函數(shù)f(z)的一個(gè)m階零點(diǎn)，那么顯然在它的一個(gè)鄰域U內(nèi)其中在U內(nèi)解析。定理5.1

設(shè)函數(shù)f(z)在z0解析，并且z0是它的一個(gè)零點(diǎn)，那么存在著z0的一個(gè)鄰域，在其中z0是f(z)的唯一零點(diǎn)。因此存在一個(gè)正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，。于是條件很容易證明.

3.零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系定理如果是的m級(jí)零點(diǎn),那末就是的

m級(jí)極點(diǎn).反過(guò)來(lái)也成立.證如果

的m級(jí)零點(diǎn),是那末當(dāng)時(shí),解析且所以是的m級(jí)極點(diǎn).解析且如果是的m級(jí)極點(diǎn),則有當(dāng)時(shí),函數(shù)在解析且由于只要令

那末的m級(jí)零點(diǎn).就是說(shuō)明此定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了一個(gè)較為簡(jiǎn)便的方法.例3函數(shù)有些什么奇點(diǎn),如果是極點(diǎn),指出它的級(jí).解

函數(shù)的奇點(diǎn)是使的點(diǎn),這些奇點(diǎn)是是孤立奇點(diǎn).的一級(jí)極點(diǎn).即說(shuō)明此定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了一個(gè)較為簡(jiǎn)便的方法.解析函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)

設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域內(nèi)解析，那么無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)稱(chēng)為f(z)的孤立奇點(diǎn)。在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，f(z)有洛朗級(jí)數(shù)展式：其中系數(shù)由定理4.4中類(lèi)似的公式確定。令，按照R>0或R=0，我們得到在或內(nèi)解析的函數(shù)其洛朗級(jí)數(shù)展式是：如果w=0是的可去奇點(diǎn)、（m階）極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)，那么分別說(shuō)是f(z)的可去奇點(diǎn)、（m階）極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)。（1）、如果當(dāng)時(shí)n=1,2,3,…，，那么是f(z)的可去奇點(diǎn)。（2）、如果只有有限個(gè)（至少一個(gè)）整數(shù)n，使得，那么是f(z)的極點(diǎn)。設(shè)對(duì)于正整數(shù)m，，而當(dāng)n>m時(shí)，那么我們稱(chēng)是f(z)的m階極點(diǎn)。（3）、如果有無(wú)限個(gè)整數(shù)n>0，使得，那么我們說(shuō)是f(z)的本性奇點(diǎn)。定理設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域內(nèi)解析，那么是f(z)的可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)的充分必要條件是：存在著極限、無(wú)窮極限、不存在有限或無(wú)窮的極限。注解、上一段的結(jié)論都可以推廣到無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的情形，我們綜合如下：例5函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)有些什么類(lèi)型的奇點(diǎn)?如果是極點(diǎn),指出它的級(jí).解

函數(shù)除點(diǎn)外,所以這些點(diǎn)都是的一級(jí)零點(diǎn),故這些點(diǎn)中除1,-1,2外,都是的三級(jí)極點(diǎn).內(nèi)解析.在所以那末是的可去奇點(diǎn).

也可以因?yàn)?/p>

第五章留數(shù)理論及應(yīng)用第2節(jié)留數(shù)35留數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域0<|z-z0|<R內(nèi)解析。C是z0鄰域內(nèi)的任意一條包含z0簡(jiǎn)單正向閉曲線

那么如果f(z)在z0也解析，則上面的積分等于零；

如果z0是f(z)的孤立奇點(diǎn)，則上述積分就不一定等于零；這時(shí)，我們把積分考慮積分36定義為f(z)在孤立奇點(diǎn)z0處的留數(shù)，記作這里積分是沿著C按逆時(shí)針?lè)较蛉〉?。事?shí)上，在0<|z-z0|<R內(nèi)，f(z)有洛朗展式：而且這一展式在C上收斂。因此，37注解1:f(z)在孤立奇點(diǎn)z0的留數(shù)等于其洛朗級(jí)數(shù)展式中的系數(shù)。注解2:如果z0是f(z)的可去奇點(diǎn)，那么38留數(shù)定義為我們提供了兩個(gè)計(jì)算留數(shù)的方法：一是將在

內(nèi)展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù)，取其負(fù)一次冪項(xiàng)的系數(shù)二是計(jì)算.394041定理一（留數(shù)定理）設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)那末：

外處處解析，C是D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，42Dz1z2z3znC1C2C3CnC43證明：以D內(nèi)每一個(gè)孤立奇點(diǎn)zk為心，作正向簡(jiǎn)單閉曲線Ck，

并且使任意兩個(gè)這樣的閉曲線彼此無(wú)公共點(diǎn)。從D中除去以這些Ck為邊界的閉曲線的一個(gè)區(qū)域G，其邊界是C以及Ck，根據(jù)復(fù)合閉路定理，這里沿C的積分按關(guān)于區(qū)域D的正向取的，沿Ck的積分按反時(shí)針?lè)较蛉〉摹證畢]兩邊同時(shí)除以且45

留數(shù)的計(jì)算方法46首先考慮一階極點(diǎn)的情形。設(shè)z0是f(z)的一個(gè)一階極點(diǎn)。因此在去掉中心z0的某一圓盤(pán)內(nèi)其中在這個(gè)圓盤(pán)內(nèi)包括z=z0解析，其泰勒級(jí)數(shù)展式是：47而且。顯然，在f(z)的洛朗級(jí)數(shù)中，的系數(shù)等于，因此一級(jí)極點(diǎn)的留數(shù)求法48如果在上述去掉中心z0的圓盤(pán)內(nèi)（），其中P(z)及Q(z)在這圓盤(pán)內(nèi)包括在z0解析，z0是Q(z)的一階零點(diǎn)，并且Q(z)在這圓盤(pán)內(nèi)沒(méi)有其他零點(diǎn)，那么z0是f(z)的一階極點(diǎn)，因而4950例3、

函數(shù)因此有兩個(gè)一階極點(diǎn)，這時(shí)51

其次，我們考慮高階極點(diǎn)的情形。設(shè)z0是f(z)的一個(gè)k階極點(diǎn)(k>1)。這就是說(shuō)，在去掉中心z0的某一圓盤(pán)內(nèi)()其中在這個(gè)圓盤(pán)內(nèi)包括z=z0解析，其泰勒級(jí)數(shù)展式是：52由此可見(jiàn)，顯然，因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求泰勒級(jí)數(shù)展式的系數(shù)。如果容易求出它的泰勒級(jí)數(shù)展式，那么由此可得53因此，我們也可根據(jù)下列公式計(jì)算我們也可以用下面的方法證明：545556例4、函數(shù)在z=0有三階極點(diǎn)，則（用洛朗展式方法）因此由上述公式也可得：57例5、函數(shù)在z=i是二階極點(diǎn)。這時(shí)由上述公式可得：58定義5.2.2：無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)59606162(積分曲線為逆時(shí)針?lè)较?6364656667例9計(jì)算下列積分

解68例11計(jì)算積分C為正向圓周:解為一級(jí)極點(diǎn),為二級(jí)極點(diǎn),例12計(jì)算積分C為正向圓周:解

除被積函數(shù)點(diǎn)外,其他奇點(diǎn)為由于與1在C的內(nèi)部,則所以73解為奇點(diǎn),當(dāng)時(shí)為一級(jí)極點(diǎn)，7475解例14

計(jì)算原式

第五章留數(shù)理論及應(yīng)用第3節(jié)留數(shù)定理的應(yīng)用留數(shù)定理的應(yīng)用--積分的計(jì)算:

在數(shù)學(xué)分析中，以及許多實(shí)際問(wèn)題中，往往要求計(jì)算出一些定積分或反常積分的值，而這些積分中的被積函數(shù)的原函數(shù)，不能用初等函數(shù)表示出來(lái)；例如或者有時(shí)可以求出原函數(shù)，但計(jì)算也往往非常復(fù)雜，例如例1、

計(jì)算積分其中常數(shù)a>1。而且當(dāng)t從0增加到解：令，那么時(shí)，z按逆時(shí)針?lè)较蚶@圓C:|z|=1一周。因此于是應(yīng)用留數(shù)定理，只需計(jì)算在|z|<1內(nèi)極點(diǎn)處的留數(shù)，就可求出I。上面的被積函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)：顯然因此被積函數(shù)在|z|<1內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn)z1，而它在這點(diǎn)的留數(shù)是：于是求得注解1、應(yīng)用同樣得方法，我們可以計(jì)算一般形如的積分，其中R(x,y)是有理分式，并且在圓C:|z|=1上，分母不等于零。

83若有理函數(shù)R(x)的分母至少比分子高兩次,并且分母在實(shí)軸上無(wú)孤立奇點(diǎn).一般設(shè)分析可先討論最后令即可.二、形如的積分842.

積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:取一條連接區(qū)間兩端的按段光滑曲線,使與區(qū)間一起構(gòu)成一條封閉曲線,并使R(z)在其內(nèi)部除有限孤立奇點(diǎn)外處處解析.1.

被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化:(當(dāng)z在實(shí)軸上的區(qū)間內(nèi)變動(dòng)時(shí),R(z)=R(x))可取

f(z)=R(z).85xy..這里可補(bǔ)線(以原點(diǎn)為中心,R為半徑的在上半平面的半圓周)與一起構(gòu)成封閉曲線C,R(z)在C及其內(nèi)部(除去有限孤立奇點(diǎn)）處處解析.取R適當(dāng)大,使R(z)所有的在