山西省忻州市宏道中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

山西省忻州市宏道中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，如果，那么（

）A.10 B.9 C.6 D.4參考答案：B【分析】依據(jù)拋物線的定義，可以求出點(diǎn)A，B到準(zhǔn)線距離，即可求得的長(zhǎng)。【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程是，所以，，，故選B?！军c(diǎn)睛】本題主要考查拋物線定義的應(yīng)用以及過(guò)焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)求法。2.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123y1357則y與x的線性回歸方程為y=bx+a必過(guò)（

）A.（2，2）點(diǎn)

B.（1.5，0）點(diǎn)

C.（1，2）點(diǎn)

D.（1.5，4）點(diǎn)參考答案：D3.若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，則|z－2－2i|的最小值與最大值分別是(

)A．2，3

B．3,5

C．4,6

D．4，5參考答案：B略4.在等比數(shù)列中，若，，則公比為A．

B.

C.

D.，

參考答案：D5.（理科）從4名男生和3名女生中選出3人參加某個(gè)座談會(huì)，若這3中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有(

)種.

A．60

B．35

C．34

D．30參考答案：D6.已知正數(shù)x、y滿足，則的最小值是

Ａ．18

Ｂ．16

C．8

D．10參考答案：A7.如圖，一個(gè)簡(jiǎn)單空間幾何體的三視圖其主視圖與左視圖都是邊長(zhǎng)為2的正三角形、俯視圖輪廓為正方形，則其體積是（

）．

A． B． C． D．參考答案：B該空間幾何體為正四棱錐，其底面邊長(zhǎng)為，高為，所以體積．故選．8.若(其中是虛數(shù)單位)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)的值為

(

)

A.

B.或

C.

D.或參考答案：C略9.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，則（

）A．B．

C．

D．

參考答案：D略10.將函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）的圖象向左平移個(gè)單位，所得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則φ的一個(gè)可能取值為（）A． B． C．0 D．參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由條件利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，求得φ的一個(gè)可能取值．【解答】解：將函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）的圖象向左平移個(gè)單位，可得到的函數(shù)y=sin[2（x+）+φ）]=sin（2x++φ）的圖象，再根據(jù)所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可得+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈z，則φ的一個(gè)可能取值為，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.高二某班共有48人，學(xué)號(hào)依次為1,2,3，…，48，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為4的樣本，已知學(xué)號(hào)5,29,41在樣本中，那么還有一個(gè)同學(xué)的學(xué)號(hào)應(yīng)為__________．參考答案：17略12.已知空間直角坐標(biāo)系中，A(1，3，-5)，B(4，-2，3)，則_________．參考答案：13.在正三棱柱ABC﹣A1B1C1，若AB=2，AA1=1，則A到平面A1BC的距離．參考答案：【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【分析】要求點(diǎn)A到平面A1BC的距離，可以求三棱錐底面A1BC上的高，由三棱錐的體積相等，容易求得高，即是點(diǎn)到平面的距離．【解答】解：設(shè)點(diǎn)A到平面A1BC的距離為h，則三棱錐的體積為即

∴∴h=．故答案為：．14.已知某圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的體積為

．參考答案：由題意知：圓錐的母線長(zhǎng)；圓錐的側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)，設(shè)底面圓的半徑為，則，；圓錐的高；所以圓錐的體積.

15.P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若使△F1PF2為直角三角形的點(diǎn)P共有8個(gè)，則橢圓離心率的取值范圍是

▲

參考答案：16.已知，，，，則__________（其中）．參考答案：試題分析：第一個(gè)式子左邊1個(gè)數(shù)的平方，右邊從1開始，連續(xù)的2個(gè)整數(shù)相乘，再乘；第二個(gè)式子左邊2個(gè)數(shù)的平方，右邊從2開始，連續(xù)的2個(gè)整數(shù)相乘，再乘；第個(gè)式子左邊個(gè)數(shù)的平方和，右邊從開始，連續(xù)的2個(gè)數(shù)相乘，在乘，即為．考點(diǎn)：歸納推理的應(yīng)用．17.函數(shù)的值域?yàn)開___________．參考答案：【分析】對(duì)的范圍分類，即可求得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)值域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，函數(shù)值域?yàn)椋海偾笏鼈兊牟⒓纯??！驹斀狻慨?dāng)時(shí)，，其值域?yàn)椋寒?dāng)時(shí)，，其值域?yàn)椋核院瘮?shù)的值域?yàn)椋骸军c(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的值域及分類思想，還考查了指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知橢圓的方程為：，其中，直線與橢圓的交點(diǎn)在軸上的射影恰為橢圓的焦點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓在軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為，是橢圓的右焦點(diǎn)，試探究以為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系.參考答案：(1)設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是，

根據(jù)橢圓的定義得：，即，即，

又，，聯(lián)立三式解得

所以橢圓的方程為：

(2)由（1）可知，直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，則以為直徑的圓方程是，圓心為，半徑為

以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的方程是，圓心是，半徑是

兩圓心距為，所以兩圓內(nèi)切.

19.已知函數(shù)f（x）=x+alnx在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直，函數(shù)g（x）=f（x）+x2﹣bx．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若函數(shù)g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3）設(shè)x1，x2（x1＜x2）是函數(shù)g（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，若b≥，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出實(shí)數(shù)a的值．（2）由題意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，由此能求出實(shí)數(shù)b的取值范圍．（3）g（x1）﹣g（x2）=ln﹣（﹣），由此利用構(gòu)造成法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出g（x1）﹣g（x2）的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=x+alnx，∴f′（x）=1+，∵f（x）在x=1處的切線l與直線x+2y=0垂直，∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，解得a=1．（2）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，∴g′（x）=，x＞0，由題意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，∵定義域x＞0，∴x+≥2，x+＜b﹣1有解，只需要x+的最小值小于b﹣1，∴2＜b﹣1，解得實(shí)數(shù)b的取值范圍是{b|b＞3}．（3）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，∴g′（x）==0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1∴g（x1）﹣g（x2）=ln﹣（﹣）∵0＜x1＜x2，∴設(shè)t=，0＜t＜1，令h（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1，則h′（t）=﹣＜0，∴h（t）在（0，1）上單調(diào)遞減，又∵b≥，∴（b﹣1）2≥，∵0＜t＜1，∴4t2﹣17t+4≥0，∴0＜t≤，h（t）≥h（）=﹣2ln2，故所求的最小值為﹣2ln2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查函數(shù)的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．20.在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為、，右焦點(diǎn)為，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線、與此橢圓分別交于點(diǎn)、，其中，，⑴設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程；⑵設(shè)，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；⑶若點(diǎn)在點(diǎn)的軌跡上運(yùn)動(dòng)，問直線是否經(jīng)過(guò)軸上的一定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由．參考答案：解：⑴設(shè)，依題意知代入化簡(jiǎn)得故的軌跡方程為⑵由及得，則點(diǎn)，從而直線的方程為；同理可以求得直線的方程為聯(lián)立兩方程可解得所以點(diǎn)的坐標(biāo)為⑶假設(shè)直線過(guò)定點(diǎn)，由在點(diǎn)的軌跡上，直線的方程為，直線的方程為點(diǎn)滿足得又，解得，從而得點(diǎn)滿足，解得若，則由及解得，此時(shí)直線的方程為，過(guò)點(diǎn)若，則，直線的斜率，直線的斜率，得，所以直線過(guò)點(diǎn)，因此，直線必過(guò)軸上的點(diǎn)

略21.等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1+3a2=1，．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）利用條件2a1+3a2=1，．求出首項(xiàng)和公差，然后求出通項(xiàng)公式．（2）求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，然后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．【解答】解：（1）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由得，所以，由條件可知q＞0，故．由2a1+3a2=1得．故數(shù)列{an}的通項(xiàng)式為an=．（2）=n?3n，，，兩式相減得，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，要求熟練掌握錯(cuò)位相減法．22.設(shè)函數(shù)f（x）=（x+a）lnx，g（x）=．已知曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線2x﹣y=0平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）是否存在自然數(shù)k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)m（x）=min{f（x），g（x）}（min{p，q}表示p，q中的較小值），求m（x）的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，解方程可得a=1；（Ⅱ）求出f（x）、g（x）的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，最值，由零點(diǎn)存在定理，即可判斷存在k=1；（Ⅲ）由（Ⅱ）求得m（x）的解析式，通過(guò)g（x）的最大值，即可得到所求．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=（x+a）lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=lnx+1+，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為f′（1）=1+a，由切線與直線2x﹣y=0平行，則a+1=2，解得a=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=（x+1）lnx，f′（x）=lnx+1+，令h（x）=lnx+1+，h′（x）=﹣=，當(dāng)x∈（0，1），h′（x）＜0，h（x）在（0，1）遞減，當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）遞增．當(dāng)x=1時(shí)，h（x）min=h（1）=2＞0，即f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，即有f（x）在（k，k+1）遞增，g（x）=的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=，當(dāng)x∈（0，2），g′（x）＞0，g（x）在（0，2）遞增，當(dāng)x＞2時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）遞減．則x=2取得最大值，令T（x）=f（x）﹣g（x）=（x+1）lnx﹣