山西省忻州市文昌中學高二數(shù)學理期末試題含解析

山西省忻州市文昌中學高二數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖所示，一個空間幾何體的正視圖和側(cè)圖都是邊長為的等邊三角形，俯視圖是一個圓，那么這個幾何體的體積為

參考答案：B該幾何體是底面直徑和母線都為的圓錐，其高為，體積為，故選.2.已知，則的值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】運用誘導(dǎo)公式化簡求值．【分析】利用誘導(dǎo)公式即可得出．【解答】解：∵，∴==﹣=﹣．故選B．3.四棱錐的底面為菱形，側(cè)棱與底面垂直，則側(cè)棱與菱形對角線的關(guān)系是（）．A．平行 B．相交不垂直C．異面垂直 D．相交垂直參考答案：C∵底面，平面，∴，又∵底面為菱形，∴，∴平面，∴，又，異面，所以側(cè)棱與的關(guān)系是異面垂直，故選．4.的圖像如圖所示，則（

）

A.在上為減函數(shù)B．在處取極小值C.在上為減函數(shù)D.在處取極大值參考答案：C5.設(shè)離散型隨機變量滿足，，則等于

（

）

A．27

B．24

C．9

D．6參考答案：D6.在極坐標系中有如下三個結(jié)論：①點P在曲線C上，則點P的極坐標滿足曲線C的極坐標方程；②表示同一條曲線；③ρ=3與ρ=-3表示同一條曲線。在這三個結(jié)論中正確的是（

）A、①③

B、①

C、②③

D、③參考答案：D7.已知四棱錐S﹣ABCD的所有棱長都相等，E是SB的中點，則AE，SD所成的角的正弦值為(

)A． B． C． D．參考答案：B【考點】異面直線及其所成的角．【專題】空間角．【分析】作SO⊥平面ABCD，交平面ABCD于點O，以O(shè)為原點，OS為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法能求出AE，SD所成的角的正弦值．【解答】解：作SO⊥平面ABCD，交平面ABCD于點O，以O(shè)為原點，OS為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，令四棱錐的棱長為2，則A（1，﹣1，0），D（﹣1，﹣1，0），S（0，0，），E（），∴=（﹣，，），=（﹣1，﹣1，﹣），∴設(shè)AE，SD所成的角為θ，cosθ=|cos＜＞|==，sinθ==．∴AE，SD所成的角的正弦值為．故選：B．【點評】本題考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意線線、線面、面面間的位置關(guān)系和性質(zhì)的合理運用，注意空間思維能力的培養(yǎng)．8.已知直線與拋物線相交于兩點，F(xiàn)為拋物線的焦點，若，則k的值為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C9.直線l的方程為，則直線l的傾斜角為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略10.在中，已知，則b等于

A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖所示，在一個邊長為5cm的正方形內(nèi)部畫一個邊長為3cm的小正方形，向大正方形內(nèi)隨機投點，則所投的點落入小正方形內(nèi)的概率為

。參考答案：12.設(shè)為常數(shù)，若點F（5,0）是雙曲線的一個焦點，則=

．參考答案：1613.若正三棱錐的正視圖與俯視圖如右圖所示，則它的側(cè)視圖的面積為

參考答案：14.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是___________________。參考答案：15.根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的S的值為

．參考答案：2116.雙曲線y2﹣2x2=8的漸近線方程為

．參考答案：

【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，將雙曲線的方程變形為標準方程，分析可得其焦點位置以及a、b的值，利用雙曲線的漸近線方程計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為：y2﹣2x2=8，變形可得﹣=1，則其焦點在y軸上，且a==2，b==2，則其漸近線方程為，故其答案為：．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，需要先將雙曲線的方程變形為標準方程．17.以下結(jié)論正確的是

（1）根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算得出2≥6.635,而P（2≥6.635）≈0.01，則有99%的把握認為兩個分類變量有關(guān)系。（2）在線性回歸分析中，相關(guān)系數(shù)為r，|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越小，相關(guān)程度越小。（3）在回歸分析中，回歸直線方程過點。 （4）在回歸直線中，變量x=200時，變量y的值一定是15。參考答案：(1)(2)(3)三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x3﹣3x．（Ⅰ）求f′（2）的值；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)的運算；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將x=2代入導(dǎo)函數(shù)求出即可；（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得單調(diào)區(qū)間，由極值定義可求得極值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣3，所以f′（2）=9；（Ⅱ）f′（x）=3x2﹣3，令f′（x）＞0，解得x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1．∴（﹣∞，﹣1），（1，+∞）為函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，（﹣1，1）為函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；∴f（x）極小值=f（1）=﹣2，f（x）極大值=f（﹣1）=2．19.已知拋物線y2=2px（p＞0）焦點為F，拋物線上橫坐標為的點到拋物線頂點的距離與其到準線的距離相等．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)過點P（6，0）的直線l與拋物線交于A，B兩點，若以AB為直徑的圓過點F，求直線l的方程．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）確定拋物線上橫坐標為的點的坐標為（，），利用拋物線上橫坐標為的點到拋物線頂點的距離與其到準線的距離相等，求出p，即可求拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l：x=my+6，代入y2=4x得，y2﹣4my﹣24=0，利用以AB為直徑的圓過點F，可得FA⊥FB，即=0，可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0，即可求直線l的方程．【解答】解：（Ⅰ）拋物線上橫坐標為的點的坐標為（，），到拋物線頂點的距離的平方為，∵拋物線上橫坐標為的點到拋物線頂點的距離與其到準線的距離相等，∴=（+）2，∴p=2拋物線的方程為：y2=4x．…（Ⅱ）由題意可知，直線l不垂直于y軸可設(shè)直線l：x=my+6，代入y2=4x得，y2﹣4my﹣24=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=4m，y1y2=﹣24，∵以AB為直徑的圓過點F，∴FA⊥FB，即=0可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0∴（1+m2）y1y2+5m（y1+y2）+25=0∴﹣24（1+m2）+20m2+25=0，解得：m=±，∴直線l：x=±y+6，即l：2x±y﹣12=0．…【點評】本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．20.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.（3）若g(x)=f(),求函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間；參考答案：本題主要考查特殊角三角函數(shù)值、誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦、三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值等基礎(chǔ)知識，主要考查基本運算能力．（1）∵，∴函數(shù)的最小正周期為.（2）由，∴，∴在區(qū)間上的最大值為1，最小值為.（3）g(x)=f()==,由得函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間是【解析】21.已知平面區(qū)域恰好被面積最小的圓C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其內(nèi)部所覆蓋．（1）試求圓C的方程．（2）若斜率為1的直線l與圓C交于不同兩點A，B滿足CA⊥CB，求直線l的方程．參考答案：【考點】直線和圓的方程的應(yīng)用；直線的一般式方程；圓的標準方程．【分析】（1）根據(jù)題意可知平面區(qū)域表示的是三角形及其內(nèi)部，且△OPQ是直角三角形，進而可推斷出覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓，進而求得圓心和半徑，則圓的方程可得．（2）設(shè)直線l的方程是：y=x+b．根據(jù)CA⊥CB，可知圓心C到直線l的距離，進而求得b，則直線方程可得．【解答】解：（1）由題意知此平面區(qū)域表示的是以O(shè)（0，0），P（4，0），Q（0，2）構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部，且△OPQ是直角三角形，所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓，故圓心是（2，1），半徑是，所以圓C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（2）設(shè)直線l的方程是：y=x+b．因為，所以圓心C到直線l的距離是，即=解得：b=﹣1．所以直線l的方程是：y=x﹣1．22.已知函數(shù)h(x)＝(m2－5m＋1)xm+1為冪函數(shù)，且為奇函數(shù)．(I)求m的值；(II)求函數(shù)g(x)＝h(x)＋，x∈的值域．參考答案：（1）m＝0（2）試題分析：（1）根據(jù)冪函數(shù)定義得m2－5m＋1＝1，解得m＝0或5，再根據(jù)冪函數(shù)為奇函數(shù)得m＝0（2）換元將函數(shù)化為一元二次函數(shù)，結(jié)合自變量取值范圍與定義區(qū)間位置關(guān)系確定函數(shù)最