山西省忻州市梁家坪中學2021年高三數(shù)學文期末試卷含解析

山西省忻州市梁家坪中學2021年高三數(shù)學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分圖象如圖所示，為了得到g（x）=Asinωx的圖象，只需將函數(shù)y=f（x）的圖象（）A．向左平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度參考答案：B【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由特殊點求出φ的值，可得凹函數(shù)f（x）的解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結論．【解答】解：由函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分圖象，可得A=2，∵，∴T=π，ω=2，f（x）=2cos（2x+φ），將代入得，∵﹣π＜φ＜0，∴．故可將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移個單位長度得到l的圖象，即可得到g（x）=Asinωx的圖象，故選：B．【點評】本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由特殊點求出φ的值，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎題．2.設全集U=R，集合,，則集合AB=A．

B．

C．

D．參考答案：C3.已知f（x）是定義域為（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)，若對任意的x∈（0，+∞），都有，且方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區(qū)間（0，3]上有兩解，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．0＜a≤5 B．a(chǎn)＜5 C．0＜a＜5 D．a(chǎn)≥5參考答案：A【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；54：根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】由題設知必存在唯一的正實數(shù)a，滿足f（x）+logx=a，f（a）=4，f（a）+loga=a，故4+loga=a，loga=a﹣4，a=（）a﹣4，左增，右減，有唯一解a=3，故f（x）+logx=a=3，由題意可得|logx|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區(qū)間（0，3]上有兩解，討論g（x）=x3﹣6x2+9x﹣4+a的單調(diào)性和最值，分別畫出作出y=|logx|，和y=x3﹣6x2+9x﹣4的圖象，通過平移即可得到a的范圍．【解答】解：∵定義域為（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足f[f（x）+logx]=4，∴必存在唯一的正實數(shù)a，滿足f（x）+logx=a，f（a）=4，①∴f（a）+loga=a，②由①②得：4+loga=a，loga=a﹣4，a=（）a﹣4，左增，右減，有唯一解a=3，故f（x）+logx=a=3，f（x）=3﹣logx，由方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區(qū)間（0，3]上有兩解，即有|logx|=x3﹣6x2+9x﹣4+a，由g（x）=x3﹣6x2+9x﹣4+a，g′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），當1＜x＜3時，g′（x）＜0，g（x）遞減；當0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）遞增．g（x）在x=1處取得最大值a，g（0）=a﹣4，g（3）=a﹣4，分別作出y=|logx|，和y=x3﹣6x2+9x﹣4的圖象，可得兩圖象只有一個交點，將y=x3﹣6x2+9x﹣4的圖象向上平移，至經(jīng)過點（3，1），有兩個交點，由g（3）=1即a﹣4=1，解得a=5，當0＜a≤5時，兩圖象有兩個交點，即方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區(qū)間（0，3]上有兩解．故選：A．【點評】本題考查對數(shù)的運算性質(zhì)的綜合運用，綜合性強，難度大．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．4.運行如圖所示的程序，若結束時輸出的結果不小于3，則t的取值范圍為（）A．B．C．D．參考答案：B略5.已知滿足：,則＝；當時＝，則＝

參考答案：A略6.若點在函數(shù)的圖像上，點在函數(shù)的圖像上，則的最小值為（

）A．

B.2

C.

D.8參考答案：D略7.如圖，設拋物線的頂點為A，與x軸正半軸的交點為B，設拋物線與兩坐標軸正半軸圍成的區(qū)域為M，隨機往M內(nèi)投一點P，

則點P落在AOB內(nèi)的概率是(A)

(B)(C)

(D)參考答案：C8.實數(shù)的大小關系正確的是

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C略9.設F1,F2分別為雙曲線的左,右焦點.若在雙曲線右支上存在一點P,滿足,且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長,則該雙曲線的離心率為A. B. C. D.參考答案：B試題分析：利用題設條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中尋找等量關系，得出a與b之間的等量關系，進而求出離心率．解：依題意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一個等腰三角形，F(xiàn)2在直線PF1的投影是其中點，由勾股定理知，可知|PF1|=4b，根據(jù)雙曲定義可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，代入c2=a2+b2整理得3b2-4ab=0，求得，故可知雙曲線的離心率為，選B.考點：雙曲線的性質(zhì)點評：解決的關鍵是根據(jù)雙曲線于直線的位置關系，以及雙曲線的幾何性質(zhì)來求解，屬于中檔題．10.下列坐標所表示的點不是函數(shù)y=tan（）的圖象的對稱中心的是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】正切函數(shù)的奇偶性與對稱性．

【專題】計算題．【分析】分別令x=，求出函數(shù)值為0，不滿足題意的選項即可．【解答】解：分別把x=，代入y=tan（），可得y=tan（）=0，所以函數(shù)關于對稱．A不正確．y=tan（）=0，所以函數(shù)關于對稱．B不正確．y=tan（）=0，所以函數(shù)關于對稱．C不正確．y=tan（）≠0所以函數(shù)不關于對稱．D正確．故選D．【點評】本題是基礎題，考查正切函數(shù)的對稱性，正確驗證三角函數(shù)值是解題關鍵，考查基本知識的應用與計算能力．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若x，y滿足，則的取值范圍是．參考答案：【考點】基本不等式．【分析】由2＜y＜8，可得，又1＜x＜6．利用不等式的基本性質(zhì)即可得出．【解答】解：由2＜y＜8，可得，又1＜x＜6．∴．∴的取值范圍是．故答案為：．12.設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為．參考答案：【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】設雙曲線方程，由題意可得丨AB丨==2×2a，求得b2=2a2，根據(jù)雙曲線的離心率公式e==，即可求得C的離心率．【解答】解：設雙曲線方程：（a＞0，b＞0），由題意可知，將x=c代入，解得：y=±，則丨AB丨=，由丨AB丨=2×2a，則b2=2a2，∴雙曲線離心率e===，故答案為：．【點評】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查雙曲線通徑的求法，考查計算能力，屬于基礎題．13.設等差數(shù)列{an}前n項和為Sn，若Sm－1＝－1，Sm＝0，Sm＋1＝2，則m＝________.參考答案：314.某幾何體的三視圖如圖，都是直角邊長為1的等腰直角三角形，此幾何體外接球的表面積為

．參考答案：22略15.邊長為1的菱形中，，，，則

.參考答案：16.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入m=5則輸出k的值為參考答案：4本題考查程序框圖.

mk初始50第一次91第二次172第三次333第四次654第四次時,65＞50,所以k=4.17.在平行四邊形中，若，，則=

．參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知拋物線和直線沒有公共點（其中、為常數(shù)），動點是直線上的任意一點，過點引拋物線的兩條切線，切點分別為、，且直線恒過點.

（1）求拋物線的方程；

（2）已知點為原點，連結交拋物線于、兩點，證明：.

參考答案：解：（1）如圖，設，

由，得

∴的斜率為

的方程為

同理得

設代入上式得，即，滿足方程故的方程為

………………4分上式可化為，過交點∵過交點，

∴，∴的方程為

………………6分（2）要證，即證

設，

則

……（1）

∵，

∴直線方程為，與聯(lián)立化簡

∴

……①

……②

…………10分

把①②代入（Ⅰ）式中，則分子

…………（2）

又點在直線上，∴代入Ⅱ中得：

∴

故得證

………………14分

19.對于定義在R上的函數(shù)f(x)，若實數(shù)滿足f()=，則稱是函數(shù)f(x)的一個不動點.若函數(shù)f(x)=沒有不動點，則實數(shù)a的取值范圍是 。參考答案：20.（本小題滿分12分）某校共有400名高一學生，期中考試之后，為了解學生學習情況，用分層抽樣方法從中抽出c名學生的數(shù)學期中成績，按成績分組，制成如下的頻率分布表：（低于20分0人）組號第一組第二組第三組第四組第五組第六組第七組第八組

合計分組[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)頻數(shù)224615143c頻率0.040.040.08b0.30.080.280.061(Ⅰ)求的值，并估計該校本次考試的數(shù)學平均分；（Ⅱ）教導處為了解數(shù)學成績在60分以下的學生在學習數(shù)學時存在的問題，現(xiàn)決定從第四組中，利用分層抽樣抽取7人，再從這7人中隨機抽取兩人談話，求這兩人都來自同一組的概率.參考答案：21.（本小題滿分12分）已知數(shù)列，，，記，，（）,若對于任意，，，成等差數(shù)列.

(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式；

(Ⅱ)求數(shù)列的前項和.參考答案：解：（Ⅰ）根據(jù)題意，，成等差數(shù)列∴

--------------2分整理得∴數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列

--------------4分∴

--------------6分（Ⅱ）

--------------8分記數(shù)列的前項和為.當時，

當時，綜上，

--------------12分

略22.設函數(shù)f（x）=lnx+﹣1（1）求f（x）的最小值．（2）若數(shù)列{an}滿足，a1=1，an+1=f（an）+2（n∈N*），證明：2＜an＜3（n≥3，n∈N*）．參考答案：【考點】6K：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用．【分析】（1）推導出x＞0，=，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的最小值．（2）推導出，首先證明an+1≥an成立，再由a3=ln2+2＞2，得到當n≥3時，an≥a3＞2，再由≤1，設h（x）=x﹣lnx﹣，則=＞0在（0，+∞）上恒成立，從而h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，從而a3＜3，由此能證明2＜an＜3（n≥3，n∈N*）．【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）=lnx+﹣1，∴x＞0，=，由f′（x）＞0，得x＞1；由f′（x）＜0，得0＜x＜1．∴f（x）的減區(qū)間是（0，1），增區(qū)間是（1，+∞）．∴f（x）的最小值f（x）min=f（1）=ln1+1﹣1=0．證明：（2）∵數(shù)列{an}滿足，a1=1，an+1=f（an）+2（n∈N*），∴，首先證明an+1≥an成立