山西省忻州市梁家坪中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

山西省忻州市梁家坪中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分圖象如圖所示，為了得到g（x）=Asinωx的圖象，只需將函數(shù)y=f（x）的圖象（）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向左平移個(gè)單位長度C．向右平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由特殊點(diǎn)求出φ的值，可得凹函數(shù)f（x）的解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【解答】解：由函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分圖象，可得A=2，∵，∴T=π，ω=2，f（x）=2cos（2x+φ），將代入得，∵﹣π＜φ＜0，∴．故可將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移個(gè)單位長度得到l的圖象，即可得到g（x）=Asinωx的圖象，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由特殊點(diǎn)求出φ的值，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．2.設(shè)全集U=R，集合,，則集合AB=A．

B．

C．

D．參考答案：C3.已知f（x）是定義域?yàn)椋?，+∞）的單調(diào)函數(shù)，若對(duì)任意的x∈（0，+∞），都有，且方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區(qū)間（0，3]上有兩解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．0＜a≤5 B．a(chǎn)＜5 C．0＜a＜5 D．a(chǎn)≥5參考答案：A【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；54：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】由題設(shè)知必存在唯一的正實(shí)數(shù)a，滿足f（x）+logx=a，f（a）=4，f（a）+loga=a，故4+loga=a，loga=a﹣4，a=（）a﹣4，左增，右減，有唯一解a=3，故f（x）+logx=a=3，由題意可得|logx|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區(qū)間（0，3]上有兩解，討論g（x）=x3﹣6x2+9x﹣4+a的單調(diào)性和最值，分別畫出作出y=|logx|，和y=x3﹣6x2+9x﹣4的圖象，通過平移即可得到a的范圍．【解答】解：∵定義域?yàn)椋?，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足f[f（x）+logx]=4，∴必存在唯一的正實(shí)數(shù)a，滿足f（x）+logx=a，f（a）=4，①∴f（a）+loga=a，②由①②得：4+loga=a，loga=a﹣4，a=（）a﹣4，左增，右減，有唯一解a=3，故f（x）+logx=a=3，f（x）=3﹣logx，由方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區(qū)間（0，3]上有兩解，即有|logx|=x3﹣6x2+9x﹣4+a，由g（x）=x3﹣6x2+9x﹣4+a，g′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），當(dāng)1＜x＜3時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞增．g（x）在x=1處取得最大值a，g（0）=a﹣4，g（3）=a﹣4，分別作出y=|logx|，和y=x3﹣6x2+9x﹣4的圖象，可得兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，將y=x3﹣6x2+9x﹣4的圖象向上平移，至經(jīng)過點(diǎn)（3，1），有兩個(gè)交點(diǎn)，由g（3）=1即a﹣4=1，解得a=5，當(dāng)0＜a≤5時(shí)，兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區(qū)間（0，3]上有兩解．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的綜合運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，難度大．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．4.運(yùn)行如圖所示的程序，若結(jié)束時(shí)輸出的結(jié)果不小于3，則t的取值范圍為（）A．B．C．D．參考答案：B略5.已知滿足：,則＝；當(dāng)時(shí)＝，則＝

參考答案：A略6.若點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，則的最小值為（

）A．

B.2

C.

D.8參考答案：D略7.如圖，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為A，與x軸正半軸的交點(diǎn)為B，設(shè)拋物線與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的區(qū)域?yàn)镸，隨機(jī)往M內(nèi)投一點(diǎn)P，

則點(diǎn)P落在AOB內(nèi)的概率是(A)

(B)(C)

(D)參考答案：C8.實(shí)數(shù)的大小關(guān)系正確的是

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C略9.設(shè)F1,F2分別為雙曲線的左,右焦點(diǎn).若在雙曲線右支上存在一點(diǎn)P,滿足,且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長,則該雙曲線的離心率為A. B. C. D.參考答案：B試題分析：利用題設(shè)條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中尋找等量關(guān)系，得出a與b之間的等量關(guān)系，進(jìn)而求出離心率．解：依題意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一個(gè)等腰三角形，F(xiàn)2在直線PF1的投影是其中點(diǎn)，由勾股定理知，可知|PF1|=4b，根據(jù)雙曲定義可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，代入c2=a2+b2整理得3b2-4ab=0，求得，故可知雙曲線的離心率為，選B.考點(diǎn)：雙曲線的性質(zhì)點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是根據(jù)雙曲線于直線的位置關(guān)系，以及雙曲線的幾何性質(zhì)來求解，屬于中檔題．10.下列坐標(biāo)所表示的點(diǎn)不是函數(shù)y=tan（）的圖象的對(duì)稱中心的是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】正切函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性．

【專題】計(jì)算題．【分析】分別令x=，求出函數(shù)值為0，不滿足題意的選項(xiàng)即可．【解答】解：分別把x=，代入y=tan（），可得y=tan（）=0，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱．A不正確．y=tan（）=0，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱．B不正確．y=tan（）=0，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱．C不正確．y=tan（）≠0所以函數(shù)不關(guān)于對(duì)稱．D正確．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查正切函數(shù)的對(duì)稱性，正確驗(yàn)證三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵，考查基本知識(shí)的應(yīng)用與計(jì)算能力．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若x，y滿足，則的取值范圍是．參考答案：【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】由2＜y＜8，可得，又1＜x＜6．利用不等式的基本性質(zhì)即可得出．【解答】解：由2＜y＜8，可得，又1＜x＜6．∴．∴的取值范圍是．故答案為：．12.設(shè)直線l過雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|為C的實(shí)軸長的2倍，則C的離心率為．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)雙曲線方程，由題意可得丨AB丨==2×2a，求得b2=2a2，根據(jù)雙曲線的離心率公式e==，即可求得C的離心率．【解答】解：設(shè)雙曲線方程：（a＞0，b＞0），由題意可知，將x=c代入，解得：y=±，則丨AB丨=，由丨AB丨=2×2a，則b2=2a2，∴雙曲線離心率e===，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查雙曲線通徑的求法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13.設(shè)等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，若Sm－1＝－1，Sm＝0，Sm＋1＝2，則m＝________.參考答案：314.某幾何體的三視圖如圖，都是直角邊長為1的等腰直角三角形，此幾何體外接球的表面積為

．參考答案：22略15.邊長為1的菱形中，，，，則

.參考答案：16.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入m=5則輸出k的值為參考答案：4本題考查程序框圖.

mk初始50第一次91第二次172第三次333第四次654第四次時(shí),65＞50,所以k=4.17.在平行四邊形中，若，，則=

．參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知拋物線和直線沒有公共點(diǎn)（其中、為常數(shù)），動(dòng)點(diǎn)是直線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)引拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，且直線恒過點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）已知點(diǎn)為原點(diǎn)，連結(jié)交拋物線于、兩點(diǎn)，證明：.

參考答案：解：（1）如圖，設(shè)，

由，得

∴的斜率為

的方程為

同理得

設(shè)代入上式得，即，滿足方程故的方程為

………………4分上式可化為，過交點(diǎn)∵過交點(diǎn)，

∴，∴的方程為

………………6分（2）要證，即證

設(shè)，

則

……（1）

∵，

∴直線方程為，與聯(lián)立化簡

∴

……①

……②

…………10分

把①②代入（Ⅰ）式中，則分子

…………（2）

又點(diǎn)在直線上，∴代入Ⅱ中得：

∴

故得證

………………14分

19.對(duì)于定義在R上的函數(shù)f(x)，若實(shí)數(shù)滿足f()=，則稱是函數(shù)f(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).若函數(shù)f(x)=沒有不動(dòng)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 。參考答案：20.（本小題滿分12分）某校共有400名高一學(xué)生，期中考試之后，為了解學(xué)生學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣方法從中抽出c名學(xué)生的數(shù)學(xué)期中成績，按成績分組，制成如下的頻率分布表：（低于20分0人）組號(hào)第一組第二組第三組第四組第五組第六組第七組第八組

合計(jì)分組[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)頻數(shù)224615143c頻率0.040.040.08b0.30.080.280.061(Ⅰ)求的值，并估計(jì)該校本次考試的數(shù)學(xué)平均分；（Ⅱ）教導(dǎo)處為了解數(shù)學(xué)成績?cè)?0分以下的學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)存在的問題，現(xiàn)決定從第四組中，利用分層抽樣抽取7人，再從這7人中隨機(jī)抽取兩人談話，求這兩人都來自同一組的概率.參考答案：21.（本小題滿分12分）已知數(shù)列，，，記，，（）,若對(duì)于任意，，，成等差數(shù)列.

(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)求數(shù)列的前項(xiàng)和.參考答案：解：（Ⅰ）根據(jù)題意，，成等差數(shù)列∴

--------------2分整理得∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列

--------------4分∴

--------------6分（Ⅱ）

--------------8分記數(shù)列的前項(xiàng)和為.當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，綜上，

--------------12分

略22.設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+﹣1（1）求f（x）的最小值．（2）若數(shù)列{an}滿足，a1=1，an+1=f（an）+2（n∈N*），證明：2＜an＜3（n≥3，n∈N*）．參考答案：【考點(diǎn)】6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（1）推導(dǎo)出x＞0，=，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的最小值．（2）推導(dǎo)出，首先證明an+1≥an成立，再由a3=ln2+2＞2，得到當(dāng)n≥3時(shí)，an≥a3＞2，再由≤1，設(shè)h（x）=x﹣lnx﹣，則=＞0在（0，+∞）上恒成立，從而h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，從而a3＜3，由此能證明2＜an＜3（n≥3，n∈N*）．【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）=lnx+﹣1，∴x＞0，=，由f′（x）＞0，得x＞1；由f′（x）＜0，得0＜x＜1．∴f（x）的減區(qū)間是（0，1），增區(qū)間是（1，+∞）．∴f（x）的最小值f（x）min=f（1）=ln1+1﹣1=0．證明：（2）∵數(shù)列{an}滿足，a1=1，an+1=f（an）+2（n∈N*），∴，首先證明an+1≥an成立