山西省忻州市牛尾聯(lián)合學(xué)校2021年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

山西省忻州市牛尾聯(lián)合學(xué)校2021年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下課后教室里最后還剩下2位男同學(xué)和2位女同學(xué)，四位同學(xué)先后離開，則第二位走的是男同學(xué)的概率是（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A略2.設(shè)是雙曲線的左右焦點(diǎn)。若在雙曲線上，且,則的長為（

）

參考答案：C略3.若變量x，y滿足約束條件，則的最大值是(

)A． B．1 C． D．2參考答案：C【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用直線的斜率的公式，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【解答】解：設(shè)k=，則k的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的斜率，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由圖象知直線OA的斜率最大，由得，即A（2，3），此時(shí)k=，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用直線斜率的公式結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．4.直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓截軸所得到的弦長為4，則圓的半徑為A．2

B．

C．3

D．參考答案：B略5.如圖，空間四邊形ABCD中，M、G分別是BC、CD的中點(diǎn)， 則等于 A． B． C．

D．參考答案：C略6.用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓，則這個(gè)幾何體一定是（）A．圓柱 B．圓錐C．球體 D．圓柱、圓錐、球體的組合體參考答案：C【考點(diǎn)】平行投影及平行投影作圖法．【專題】常規(guī)題型；空間位置關(guān)系與距離．【分析】由各個(gè)截面都是圓知是球體．【解答】解：∵各個(gè)截面都是圓，∴這個(gè)幾何體一定是球體，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了球的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．7.右表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)A產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)．根據(jù)右表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程為，那么表中t的值為

（

）A．3

B．3.15

C．3.5

D．4.5參考答案：A8.若變量x,y滿足約束條件，則取得的最大值是（

）A、2

B、

C、

D、參考答案：A9.函數(shù)，若方程恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，則的取值范圍為(

)A．

B．

C．

D．

參考答案：C10.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是A.

B.

C.或

D.或參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與雙曲線的左右兩支分別交于點(diǎn)B、A兩點(diǎn)，若△ABF2為等邊三角形，則該雙曲線的離心率為．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由雙曲線的定義，可得F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F(xiàn)1F2=2c，再在△F1BF2中應(yīng)用余弦定理得，a，c的關(guān)系，由離心率公式，計(jì)算即可得到所求．【解答】解：因?yàn)椤鰽BF2為等邊三角形，不妨設(shè)AB=BF2=AF2=m，A為雙曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，B為雙曲線上一點(diǎn)，則BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F(xiàn)1F2=2c，由，則，在△F1BF2中應(yīng)用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2?2a?4a?cos120°，得c2=7a2，則．故答案為：．12.已知f（x）是R上的偶函數(shù)，且在[0，+∞）上單調(diào)遞減，f（1）=0，則不等式f（x）＞0的解集為．參考答案：{x|﹣1＜x＜1}【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化為|x|＜1，解可得x的取值范圍，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，由于f（1）=0，則f（x）＞0?f（x）＞f（1），f（x）是R上的偶函數(shù)，且在[0，+∞）上單調(diào)遞減，則f（x）＞f（1）?f（|x|）＞f（1）?|x|＜1，解可得：﹣1＜x＜1，則不等式f（x）＞0的解集為{x|﹣1＜x＜1}；故答案為：{x|﹣1＜x＜1}．13.以為中點(diǎn)的拋物線的弦所在直線方程為

．參考答案：略14.橢圓的長軸的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

，短軸的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

參考答案：略15.若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為

.參考答案：2016.若直線與曲線相切于點(diǎn)，則

．參考答案：略17.從區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的和小于的概率為________________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知、、分別是的三個(gè)內(nèi)角、、所對(duì)的邊（1）若，且，試判斷的形狀；（2）若，,，求、的值．參考答案：解：（1）由余弦定理得：，所以

在中，，所以所以是等腰直角三角形；……4分（2）由題意得，即，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，得，由正弦定理得，聯(lián)立方程組解得，19.銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知（1）求C；（2）若，△ABC的面積為，求△ABC的周長．參考答案：（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理化簡邊角關(guān)系式可得，根據(jù)三角形為銳角三角形可求得；（2）利用三角形面積公式構(gòu)造方程求得；利用余弦定理構(gòu)造出關(guān)于的方程，解方程求得，從而得到周長.【詳解】（1）由正弦定理得：

（2）由余弦定理得：即：又，解得：

的周長為：【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到正弦定理化簡邊角關(guān)系式、余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用問題，屬于?？碱}型.20.已知函數(shù)f（x）=ln（ax+1）+，x≥0，其中a＞0．（Ⅰ）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若f（x）的最小值為1，求a的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．專題：常規(guī)題型；壓軸題；轉(zhuǎn)化思想．分析：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令f′（1）=0，即可解出a值．（Ⅱ）f′（x）＞0，對(duì)a的取值范圍進(jìn)行討論，分類解出單調(diào)區(qū)間．a(chǎn)≥2時(shí)，在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，（Ⅲ）由（2）的結(jié)論根據(jù)單調(diào)性確定出最小值，當(dāng)a≥2時(shí)，由（II）知，f（x）的最小值為f（0）=1，恒成立；當(dāng)0＜a＜2時(shí)，判斷知最小值小于1，此時(shí)a無解．當(dāng)0＜a＜2時(shí)，（x）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為解答： 解：（Ⅰ），∵f′（x）在x=1處取得極值，f′（1）=0

即a+a﹣2=0，解得

a=1（Ⅱ），∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0①當(dāng)a≥2時(shí)，在區(qū)間（0，+∞）上f′（x）＞0．∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）②當(dāng)0＜a＜2時(shí)，由f′（x）＞0解得由∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為（Ⅲ）當(dāng)a≥2時(shí)，由（II）知，f（x）的最小值為f（0）=1當(dāng)0＜a＜2時(shí)，由（II）②知，處取得最小值，綜上可知，若f（x）的最小值為1，則a的取值范圍是【題文】設(shè)函數(shù)f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；（2）如果?x∈R，f（x）≥2，求a的取值范圍．【答案】【解析】考點(diǎn)：其他不等式的解法．專題：計(jì)算題．分析：（1）由函數(shù)f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|，知當(dāng)a=1時(shí)，不等式f（x）≥3等價(jià)于|x﹣1|+|x+1|≥3，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義能求出不等式f（x）≥3的解集．（2）對(duì)?x∈R，f（x）≥2，只需f（x）的最小值大于等于2．當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|=，f（x）min=a﹣1．同理，得當(dāng)a＜1時(shí)，f（x）min=1﹣a，由此能求出a的取值范圍．解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|，∴當(dāng)a=﹣1時(shí)，不等式f（x）≥3等價(jià)于|x﹣1|+|x+1|≥3，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義：|x﹣1|+|x+1|≥3可以看做數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)1和點(diǎn)﹣1的距離之和大于或等于3，則點(diǎn)x到點(diǎn)1和點(diǎn)﹣1的中點(diǎn)O的距離大于或等于即可，∴點(diǎn)x在﹣或其左邊及或其右邊，即x≤﹣或x≥．∴不等式f（x）≥3的解集為（﹣∞，﹣]∪∪點(diǎn)評(píng)：本題考查含絕對(duì)值不等式的解法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍，綜合性強(qiáng)，難度大，是2015屆高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，合理運(yùn)用函數(shù)恒成立的性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．21.如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足．（1）當(dāng)取何值時(shí)，直線與平面所成的角最大？（2）若平面與平面所成的銳二面角為，試確定點(diǎn)的位置．參考答案：（1）（2）點(diǎn)在的延長線上，且試題分析：（1）以分別為軸,建立關(guān)于軸,軸，建立空間直角坐標(biāo)系,可得向量的坐標(biāo)關(guān)于的表達(dá)式，而平面的法向量，可建立

關(guān)于的式子，最后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，角達(dá)到最大值；（2）根據(jù)垂直向量的數(shù)量積等于，建立方程組并解之可得平面的一個(gè)法向量為，而平面與平面所成的二面角等于向量所成的銳角，由結(jié)合已知條件建立的方程并解，即可得到的值，從而確定點(diǎn)的位置。（1）以分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，∵，∴，則，易得平面的一個(gè)法向量為，則直線與平面所成的角滿足：（*），于是問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，而，當(dāng)最大時(shí)，最大，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線與平面所成的角得到最大值．（2）已知給出了平面與平面所成的銳二面角為，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，．由，得，解得