通信原理 第3章-隨機(jī)過程

通信原理第3章隨機(jī)過程1通信原理第1章緒論第2章確知信號第3章隨機(jī)信號第4章信道第5章模擬調(diào)制系統(tǒng)第6章數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)第7章數(shù)字帶通傳輸系統(tǒng)第8章新型數(shù)字帶通調(diào)制技術(shù)第9章模擬信號的數(shù)字傳輸?shù)?0章數(shù)字信號的最佳接收第11章差錯控制編碼第12章正交編碼與偽隨機(jī)序列第13章同步原理2圖1-5數(shù)字通信系統(tǒng)模型圖1-4模擬通信系統(tǒng)模型3第3章隨機(jī)過程3.1隨機(jī)過程的基本概念

3.1.1隨機(jī)過程的分布函數(shù)3.1.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程

3.2.1定義3.2.2各態(tài)歷經(jīng)性3.2.3平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)3.2.4平穩(wěn)過程的功率譜密度3.3高斯隨機(jī)過程

3.3.1定義3.3.2重要性質(zhì)3.3.3高斯隨機(jī)變量4第3章隨機(jī)過程3.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)3.5窄帶隨機(jī)過程

3.5.1c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性

3.5.2a(t)和(t)的統(tǒng)計(jì)特性3.6正弦波加窄帶高斯噪聲3.7高斯白噪聲和帶限白噪聲5所有希臘字母及讀音序號大寫小寫英文注音國際音標(biāo)注音中文注音

1Ααalphaa:lf阿爾法2Ββbetabet貝塔3Γγgammaga:m伽馬4Δδdeltadelt德爾塔5Εεepsilonep`silon伊普西龍6Ζζzetazat截塔6所有希臘字母及讀音7Ηηetaeit艾塔8Θθthetθit西塔9Ιιiotaiot約塔10Κκkappakap卡帕11∧λlambdalambd蘭布達(dá)7所有希臘字母及讀音12Μμmumju繆13Ννnunju紐14Ξξxiksi克西15Οοomicronomik`ron奧密克戎16∏πpipai派17Ρρrhorou肉18∑σsigma`sigma西格馬

8所有希臘字母及讀音19Ττtautau套20Υυupsilonjup`silon宇普西龍21Φφphifai佛愛22Χχchiphai西23Ψψpsipsai普西24Ωωomegao`miga歐米伽9第3章隨機(jī)過程3.1隨機(jī)過程的基本概念什么是隨機(jī)過程？隨機(jī)過程是一類隨時間作隨機(jī)變化的過程，它不能用確切的時間函數(shù)描述。可從兩種不同角度看：角度1：對應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的時間過程的集合。角度2：隨機(jī)過程是隨機(jī)變量概念的延伸。

10第3章隨機(jī)過程【例】n臺示波器同時觀測并記錄這n臺接收機(jī)的輸出噪聲波形樣本函數(shù)i(t)：隨機(jī)過程的一次實(shí)現(xiàn)，是確定的時間函數(shù)。隨機(jī)過程：

(t)={1(t),2(t),…,n(t)} 是全部樣本函數(shù)的集合。11第3章隨機(jī)過程角度2：隨機(jī)過程是隨機(jī)變量概念的延伸。在任一給定時刻t1上，每一個樣本函數(shù)i(t)都是一個確定的數(shù)值i(t1)，但是每個i(t1)都是不可預(yù)知的。在一個固定時刻t1上，不同樣本的取值{i(t1),i=1,2,…,n}是一個隨機(jī)變量，記為

(t1)。換句話說，隨機(jī)過程在任意時刻的值是一個隨機(jī)變量。因此，我們又可以把隨機(jī)過程看作是在時間進(jìn)程中處于不同時刻的隨機(jī)變量的集合。這個角度更適合對隨機(jī)過程理論進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)描述。12第3章隨機(jī)過程3.1.1隨機(jī)過程的分布函數(shù)設(shè)

(t)表示一個隨機(jī)過程，則它在任意時刻t1的值

(t1)是一個隨機(jī)變量，其統(tǒng)計(jì)特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述。隨機(jī)過程

(t)的一維分布函數(shù)：隨機(jī)過程

(t)的一維概率密度函數(shù)： 若上式中的偏導(dǎo)存在的話。13第3章隨機(jī)過程隨機(jī)過程

(t)的二維分布函數(shù)：隨機(jī)過程

(t)的二維概率密度函數(shù)： 若上式中的偏導(dǎo)存在的話。隨機(jī)過程

(t)的n維分布函數(shù)：隨機(jī)過程

(t)的n維概率密度函數(shù)：14第3章隨機(jī)過程3.1.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征均值（數(shù)學(xué)期望）： 在任意給定時刻t1的取值

(t1)是一個隨機(jī)變量，其均值 式中f(x1,t1)——

(t1)的概率密度函數(shù) 由于t1是任取的，所以可以把t1

直接寫為t，x1改為x，這樣上式就變?yōu)?5第3章隨機(jī)過程

(t)的均值是時間的確定函數(shù)，常記作a(t)，它表示隨機(jī)過程的n個樣本函數(shù)曲線的擺動中心:a(t)16第3章隨機(jī)過程方差 方差常記為2(t)。這里也把任意時刻t1直接寫成了t。 因?yàn)? 所以，方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨機(jī)過程在時刻t對于均值a(t)的偏離程度。均方值均值平方17第3章隨機(jī)過程相關(guān)函數(shù)

式中，

(t1)和

(t2)分別是在t1和t2時刻觀測得到的隨機(jī)變量。可以看出，R(t1,t2)是兩個變量t1和t2的確定函數(shù)。協(xié)方差函數(shù) 式中a(t1

)a(t2

)——在t1和t2時刻得到的

(t)的均值

f2(x1,x2;t1,t2)——

(t)的二維概率密度函數(shù)。18第3章隨機(jī)過程相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系 若a(t1)=a(t2)，則B(t1,t2)=R(t1,t2)互相關(guān)函數(shù) 式中(t)和(t)分別表示兩個隨機(jī)過程。 因此，R(t1,t2)又稱為自相關(guān)函數(shù)。19第3章隨機(jī)過程3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程3.2.1平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義定義： 若一個隨機(jī)過程(t)的任意有限維分布函數(shù)與時間起點(diǎn)無關(guān)，也就是說，對于任意的正整數(shù)n和所有實(shí)數(shù)，有 則稱該隨機(jī)過程是在嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)隨機(jī)過程，簡稱嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程。

20第3章隨機(jī)過程性質(zhì)：

嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程表明，平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時間的推移而改變，即它的一維分布函數(shù)與時間t無關(guān)： 而二維分布函數(shù)只與時間間隔=t2–t1有關(guān)：數(shù)字特征： 可見，（1）其均值與t無關(guān)，為常數(shù)a； （2）自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)。21第3章隨機(jī)過程數(shù)字特征： 可見，（1）其均值與t無關(guān)，為常數(shù)a； （2）自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)。 把同時滿足（1）和（2）的過程定義為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。顯然，嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。 在通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過程。因此，研究平穩(wěn)隨機(jī)過程有著很大的實(shí)際意義。22第3章隨機(jī)過程3.2.2各態(tài)歷經(jīng)性問題的提出：我們知道，隨機(jī)過程的數(shù)字特征（均值、相關(guān)函數(shù)）是對隨機(jī)過程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均，但在實(shí)際中常常很難測得大量的樣本，這樣，我們自然會提出這樣一個問題：能否從一次試驗(yàn)而得到的一個樣本函數(shù)x(t)來決定平穩(wěn)過程的數(shù)字特征呢?回答是肯定的。平穩(wěn)過程在滿足一定的條件下具有一個有趣而又非常有用的特性，稱為“各態(tài)歷經(jīng)性”（又稱“遍歷性”）。具有各態(tài)歷經(jīng)性的過程，其數(shù)字特征（均為統(tǒng)計(jì)平均）完全可由隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)的時間平均值來代替。下面，我們來討論各態(tài)歷經(jīng)性的條件。23第3章隨機(jī)過程各態(tài)歷經(jīng)性條件 設(shè)：x(t)是平穩(wěn)過程(t)的任意一次實(shí)現(xiàn)（樣本）， 則其時間均值和時間相關(guān)函數(shù)分別定義為： 如果平穩(wěn)過程使下式成立 則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。24第3章隨機(jī)過程“各態(tài)歷經(jīng)”的含義是：隨機(jī)過程中的任一次實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。因此，在求解各種統(tǒng)計(jì)平均（均值或自相關(guān)函數(shù)等）時，無需作無限多次的考察，只要獲得一次考察，用一次實(shí)現(xiàn)的“時間平均”值代替過程的“統(tǒng)計(jì)平均”值即可，從而使測量和計(jì)算的問題大為簡化。具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定成立。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。25第3章隨機(jī)過程

[例3-1]設(shè)一個隨機(jī)相位的余弦波為 其中，A和c均為常數(shù)；是在(0,2π)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。試討論(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。

【解】(1)先求(t)的統(tǒng)計(jì)平均值： 數(shù)學(xué)期望26第3章隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)令t2–t1=，得到可見，(t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)與t無關(guān)，只與時間間隔有關(guān)，所以(t)是廣義平穩(wěn)過程。27第3章隨機(jī)過程(2)求(t)的時間平均值 比較統(tǒng)計(jì)平均與時間平均，有 因此，隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。28第3章隨機(jī)過程3.2.3平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的定義：同前平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)—(t)的平均功率—的偶函數(shù)—R()的上界 即自相關(guān)函數(shù)R()在=0有最大值。—(t)的直流功率

表示平穩(wěn)過程(t)的交流功率。當(dāng)均值為0時，有R(0)=2。29第3章隨機(jī)過程3.2.4平穩(wěn)過程的功率譜密度定義：對于任意的確定功率信號f(t)，它的功率譜密度定義為式中，F(xiàn)T(f)是f(t)的截短函數(shù)fT

(t)所對應(yīng)的頻譜函數(shù)30第3章隨機(jī)過程對于平穩(wěn)隨機(jī)過程(t)，可以把f(t)當(dāng)作是(t)的一個樣本；某一樣本的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)看作是對所有樣本的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，故(t)的功率譜密度可以定義為31第3章隨機(jī)過程功率譜密度的計(jì)算維納-辛欽關(guān)系

周期的功率型確知信號的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對傅里葉變換。這種關(guān)系對平穩(wěn)隨機(jī)過程同樣成立，即有

簡記為 以上關(guān)系稱為維納-辛欽關(guān)系。它在平穩(wěn)隨機(jī)過程的理論和應(yīng)用中是一個非常重要的工具，它是聯(lián)系頻域和時域兩種分析方法的基本關(guān)系式。32第3章隨機(jī)過程在維納-辛欽關(guān)系的基礎(chǔ)上，我們可以得到以下結(jié)論：對功率譜密度進(jìn)行積分，可得平穩(wěn)過程的總功率： 上式從頻域的角度給出了過程平均功率的計(jì)算法。各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過程的功率譜密度。也就是說，每一樣本函數(shù)的譜特性都能很好地表現(xiàn)整個過程的的譜特性。 【證】因?yàn)楦鲬B(tài)歷經(jīng)過程的自相關(guān)函數(shù)等于任一樣本的自相關(guān)函數(shù)，即 兩邊取傅里葉變換： 即 式中 33第3章隨機(jī)過程功率譜密度P(f)具有非負(fù)性和實(shí)偶性，即有 和 這與R()的實(shí)偶性相對應(yīng)。34第3章隨機(jī)過程[例3-2]求隨機(jī)相位余弦波(t)=Acos(ct+)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。

【解】在[例3-1]中，我們已經(jīng)考察隨機(jī)相位余弦波是一個平穩(wěn)過程，并且求出其相關(guān)函數(shù)為 因?yàn)槠椒€(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對傅里葉變換，即有 以及由于有 所以，功率譜密度為 平均功率為35第3章隨機(jī)過程3.3高斯隨機(jī)過程（正態(tài)隨機(jī)過程）3.3.1定義如果隨機(jī)過程(t)的任意n維（n=1,2,...）分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程。

n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為： 式中36第3章隨機(jī)過程式中|B|－歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即 |B|jk－行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余因子

bjk－為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即37第3章隨機(jī)過程3.3.2重要性質(zhì)由高斯過程的定義式可以看出,高斯過程的n維分布只依賴各個隨機(jī)變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差。因此，對于高斯過程，只需要研究它的數(shù)字特征就可以了。廣義平穩(wěn)的高斯過程也是嚴(yán)平穩(wěn)的。因?yàn)椋舾咚惯^程是廣義平穩(wěn)的，即其均值與時間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，而與時間起點(diǎn)無關(guān)，則它的n維分布也與時間起點(diǎn)無關(guān)，故它也是嚴(yán)平穩(wěn)的。所以，高斯過程若是廣義平穩(wěn)的，則也嚴(yán)平穩(wěn)。38第3章隨機(jī)過程如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的， 即對所有jk，有bjk=0，則其概率密度可以簡化為 這表明，如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的，那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。高斯過程經(jīng)過線性變換后生成的過程仍是高斯過程。也可以說，若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過程，則系統(tǒng)輸出也是高斯過程。39第3章隨機(jī)過程3.3.3高斯隨機(jī)變量定義：高斯過程在任一時刻上的取值是一個正態(tài)分布的隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)為 式中

a－均值

2－方差 曲線如右圖：40第3章隨機(jī)過程性質(zhì)f(x)對稱于直線x=a，即

a表示分布中心，稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，表示集中程度，圖形將隨著的減小而變高和變窄。當(dāng)a=0和=1時，稱為標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布：41高斯曲線matlab仿真實(shí)現(xiàn)（a=0,sigma=1)42高斯曲線matlab仿真實(shí)現(xiàn)%文件名e_gauss.m%高斯曲線clear;a=0;sigma=1;x=-10:0.0001:10;y=(1/((sqrt(2*pi))*sigma))*exp(-((x-a).^2)/(2*sigma.^2));plot(x,y);xlabel('變量x');ylabel('幅值(y)');title('正態(tài)分布的概率密度（高斯曲線）');43a=0,sigma=344a=3,sigma=145第3章隨機(jī)過程在通信系統(tǒng)的性能分析中，經(jīng)常需要計(jì)算高斯隨機(jī)變量小于或等于某一取值x的概率P(≤x)，它等于概率密度f(x)的積分。正態(tài)分布函數(shù)

這個積分的值無法用閉合形式計(jì)算，通常利用其他特殊函數(shù)，用查表的方法求出：用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)

46第3章隨機(jī)過程正態(tài)分布函數(shù)

這個積分的值無法用閉合形式計(jì)算，通常利用其他特殊函數(shù)，用查表的方法求出：用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)：令 則有 及 式中 －誤差函數(shù)，可以查表求出其值。47第3章隨機(jī)過程用互補(bǔ)誤差函數(shù)erfc(x)表示正態(tài)分布函數(shù)： 式中 當(dāng)x>2時，48第3章隨機(jī)過程用Q函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)：Q函數(shù)定義：Q函數(shù)和erfc函數(shù)的關(guān)系：Q函數(shù)和分布函數(shù)F(x)的關(guān)系：Q函數(shù)值也可以從查表得到。49第3章隨機(jī)過程3.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)確知信號通過線性系統(tǒng)（復(fù)習(xí)）： 式中vi

－輸入信號，vo－輸出信號 對應(yīng)的傅里葉變換關(guān)系：隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)：假設(shè)：i(t)－是平穩(wěn)的輸入隨機(jī)過程，

a－均值，

Ri()－自相關(guān)函數(shù)，

Pi()－功率譜密度；求輸出過程o(t)的統(tǒng)計(jì)特性，即它的均值、自相關(guān)函數(shù)、功率譜以及概率分布。50第3章隨機(jī)過程1.輸出過程o(t)的均值

對下式兩邊取統(tǒng)計(jì)平均： 得到 設(shè)輸入過程是平穩(wěn)的，則有 式中，H(0)是線性系統(tǒng)在f=0處的頻率響應(yīng)，因此輸出過程的均值是一個常數(shù)。51第3章隨機(jī)過程2.輸出過程o(t)的自相關(guān)函數(shù)：根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義 根據(jù)輸入過程的平穩(wěn)性，有于是上式表明,輸出過程的自相關(guān)函數(shù)僅是時間間隔的函數(shù)。由上兩式可知，若線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)的，則輸出也是平穩(wěn)的。52第3章隨機(jī)過程3.輸出過程o(t)的功率譜密度

對下式進(jìn)行傅里葉變換： 得出 令=

+-，代入上式，得到 即結(jié)論：輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。應(yīng)用：由Po(f)的反傅里葉變換求Ro()53第3章隨機(jī)過程4.輸出過程o(t)的概率分布如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。

因?yàn)閺姆e分原理看，可以表示為： 由于已假設(shè)i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一項(xiàng)在任一時刻上都是一個高斯隨機(jī)變量。因此，輸出過程在任一時刻上得到的隨機(jī)變量就是無限多個高斯隨機(jī)變量之和。由概率論理論得知，這個“和”也是高斯隨機(jī)變量，因而輸出過程也為高斯過程。注意，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。54第3章隨機(jī)過程3.5窄帶隨機(jī)過程什么是窄帶隨機(jī)過程？ 若隨機(jī)過程(t)的譜密度集中在中心頻率fc附近相對窄的頻帶范圍f內(nèi)，即滿足f<<fc的條件，且fc遠(yuǎn)離零頻率，則稱該(t)為窄帶隨機(jī)過程。55第3章隨機(jī)過程典型的窄帶隨機(jī)過程的譜密度和樣本函數(shù)56第3章隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程的表示式式中，a(t)－隨機(jī)包絡(luò)， (t)－隨機(jī)相位

c－中心角頻率顯然，a(t)和(t)的變化相對于載波cosct的變化要緩慢得多。（隨機(jī)緩慢變化的包絡(luò)）57第3章隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程表示式展開可以展開為式中 －(t)的同相分量 －(t)的正交分量可以看出：(t)的統(tǒng)計(jì)特性由a(t)和(t)或c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性確定。若(t)的統(tǒng)計(jì)特性已知，則a(t)和(t)或c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性也隨之確定。58第3章隨機(jī)過程3.5.1c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性數(shù)學(xué)期望：對下式求數(shù)學(xué)期望：得到因?yàn)?t)平穩(wěn)且均值為零，故對于任意的時間t，都有E[(t)]=0，所以

59第3章隨機(jī)過程(t)的自相關(guān)函數(shù)：由自相關(guān)函數(shù)的定義式式中因?yàn)?t)是平穩(wěn)的，故有這就要求上式的右端與時間t無關(guān)，而僅與有關(guān)。因此，若令t=0，上式仍應(yīng)成立，它變?yōu)?0第3章隨機(jī)過程因與時間t無關(guān)，以下二式自然成立所以，上式變?yōu)樵倭顃=π/2c，同理可以求得由以上分析可知，若窄帶過程(t)是平穩(wěn)的，則c(t)和s(t)也必然是平穩(wěn)的。61第3章隨機(jī)過程進(jìn)一步分析，下兩式應(yīng)同時成立，故有上式表明，同相分量c(t)和正交分量s(t)具有相同的自相關(guān)函數(shù)。根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有代入上式，得到上式表明Rsc()是的奇函數(shù)，所以同理可證62第3章隨機(jī)過程將代入下兩式得到即上式表明(t)、c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差。

63第3章隨機(jī)過程根據(jù)平穩(wěn)性，過程的特性與變量t無關(guān)，故由式 得到

因?yàn)?t)是高斯過程，所以，c(t1)，s(t2)一定是高斯隨機(jī)變量，從而c(t)、s(t)也是高斯過程。根據(jù) 可知，c(t)與s(t)在=0處互不相關(guān)，又由于它們是高斯型的，因此c(t)與s(t)也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。64第3章隨機(jī)過程重要結(jié)論：

一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t)，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)同樣是平穩(wěn)高斯過程，而且均值為零，方差也相同。此外，在同一時刻上得到的c(t)和s(t)是互不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。65第3章隨機(jī)過程3.5.2a(t)和(t)的統(tǒng)計(jì)特性聯(lián)合概率密度函數(shù)f(a,)根據(jù)概率論知識有由可以求得66第3章隨機(jī)過程于是有式中

a0, =(0~2π)67第3章隨機(jī)過程a的一維概率密度函數(shù)可見，a服從瑞利(Rayleigh)分布。O(∩_∩)O作業(yè)：瑞利簡介（不超過200字）（單號）高斯簡介（不超過200字）（雙號）68第3章隨機(jī)過程的一維概率密度函數(shù)可見，服從均勻分布。69第3章隨機(jī)過程重要結(jié)論

一個均值為零，方差為2的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t)，其包絡(luò)a(t)的一維分布是瑞利分布，相位(t)的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言，a(t)與(t)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，即有70第3章隨機(jī)過程3.6正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲的表示式式中 －窄帶高斯噪聲

－正弦波的隨機(jī)相位，均勻分布在0～2間

A和c－確知振幅和角頻率于是有式中71第3章隨機(jī)過程正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)和相位表示式包絡(luò)：相位：72第3章隨機(jī)過程正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特性包絡(luò)的概率密度函數(shù)f(z)利用上一節(jié)的結(jié)果，如果值已給定，則zc、zs是相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，且有所以，在給定相位的條件下的zc和zs的聯(lián)合概率密度函數(shù)為73第3章隨機(jī)過程利用與上一節(jié)分析a和相似的方法，根據(jù)zc，zs與z，之間的隨機(jī)變量關(guān)系可以求得在給定相位的條件下的z與的聯(lián)合概率密度函數(shù)然后求給定條件下的邊際分布，即74第3章隨機(jī)過程由于故有式中

I0(x)－第一類零階修正貝塞爾函數(shù)因此由上式可見，f(,z)與無關(guān)，故的包絡(luò)z的概率密度函數(shù)為 －稱為廣義瑞利分布，又稱萊斯（Rice）分布。75第3章隨機(jī)過程討論當(dāng)信號很小時，即A0時，上式中(Az/n2)很小，

I0(Az/n2)1，上式的萊斯分布退化為瑞利分布。當(dāng)(Az/n2)很大時，有 這時上式近似為高斯分布，即76第3章隨機(jī)過程包絡(luò)概率密度函數(shù)f(z)曲線瑞利分布高斯分布萊斯分布77第3章隨機(jī)過程正弦波加窄帶高斯噪聲的相位的統(tǒng)計(jì)特性F()A=0,均勻相位78第3章隨機(jī)過程3.7高斯白噪聲和帶限白噪聲1.白噪聲n(t)定義：功率譜密度在所有頻率上均為常數(shù)的噪聲，即 －雙邊功率譜密度 或 －單邊功率譜密度 式中n0－正常數(shù)白噪聲的自相關(guān)函數(shù)：對雙邊功率譜密度取傅里葉反變換，得到相關(guān)函數(shù)：79第3章隨機(jī)過程白噪聲和其自相關(guān)函數(shù)的曲線：80第3章隨機(jī)過程白噪聲的功率 由于白噪聲的帶寬無限，其平均功率為無窮大，即 或因此，真正“白”的噪聲是不存在的，它只是構(gòu)造的一種理想化的噪聲形式。實(shí)際中，只要噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，我們就可以把它視為白噪聲。如果白噪聲取值的概率分布服從高斯分布，則稱之為高斯白噪聲。高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的隨機(jī)變量之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。81第3章隨機(jī)過程2.低通白噪聲定義：如果白噪聲通過理想矩形的低通濾波器或理想低通信道，則輸出的噪聲稱為低通白噪聲。

功率譜密度由上式可見，白噪聲的功率譜密度被限制在|f|fH內(nèi)，通常把這樣的噪聲也稱為帶限白噪聲。自相關(guān)函數(shù)82第3章隨機(jī)過程功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)曲線由曲線看出，這種帶限白噪聲只有在 上得到的隨機(jī)變量才不相關(guān)。83第3章隨機(jī)過程3.帶通白噪聲定義：如果白噪聲通過理想矩形的帶通濾波器或理想帶通信道，則其輸出的噪聲稱為帶通白噪聲。功率譜密度

設(shè)理想帶通濾波器的傳輸特性為 式中

fc－中心頻率，B－通帶寬度 則其輸出噪聲的功率譜密度為84第3章隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)？動手做一做85第3章隨機(jī)過程帶通白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)曲線86第3章隨機(jī)過程窄帶高斯白噪聲通常，帶通濾波器的B<<fc，因此稱窄帶濾波器，相應(yīng)地把帶通白高斯噪聲稱為窄帶高斯白噪聲。窄帶高斯白噪聲的表達(dá)式和統(tǒng)計(jì)特性見3.5節(jié)。平均功率

87第3章隨機(jī)過程3.1隨機(jī)過程的基本概念

3.1.1隨機(jī)過程的分布函數(shù)3.1.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征3.2平穩(wěn)隨機(jī)