山西省忻州市走馬嶺中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

山西省忻州市走馬嶺中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.若集合A={x|（x+1）（3﹣x）＞0}，集合B={x|1﹣x＞0}，則A∩B等于（）A．（1，3） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，3） D．（﹣1，1）參考答案：D【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】求出集合的等價條件，利用集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可．【解答】解：A={x|（x+1）（3﹣x）＞0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，則A∩B={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1）．故選：D．2.在中，，則的面積為_______.參考答案：3.若等比數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn，且S2=3，S6=63，則S5=（）A．﹣33 B．15 C．31 D．﹣33或31參考答案：D【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q≠1，∵S2=3，S6=63，∴a1（1+q）=3，=63，消去a1，化為q4+q2﹣20=0，解得q=±2．q=2時，a1=1；q=﹣2，a1=﹣3．則S5==31，或S5==﹣33．故選：D．4.函數(shù)的最小正周期為，且．當(dāng)時，那么在區(qū)間上，函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)是

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B略5.設(shè)偶函數(shù)f(x)對任意x∈R都有f(x+3)=－，且當(dāng)x∈時，f(x)=4x,則f(107.5)=

(

)A.10

B. C.－10 D.—參考答案：B6.如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，計(jì)算該幾何體的表面積為A.B.C.D.參考答案：C7.《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為（

）A.1升

B.升

C.升

D.升參考答案：B設(shè)竹子自上而下各節(jié)的容積分別為：a1，a2，…，a9，且為等差數(shù)列，

根據(jù)題意得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，

即4a1+6d=3①，

3a1+21d=4②，

②×4-①×3得：66d=7，解得d=，代入①得：a1=，則a5=+（5－1）×=．8.學(xué)校計(jì)劃利用周五下午第一、二、三節(jié)課舉辦語文、數(shù)學(xué)、英語、理綜4科的專題講座，每科一節(jié)課，每節(jié)至少有一科，且數(shù)學(xué)、理綜不安排在同一節(jié)，則不同的安排方法共有（）A．36種 B．30種 C．24種 D．6種參考答案：B【考點(diǎn)】排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題．【分析】間接法：先從4個中任選2個看作整體，然后做3個元素的全排列，從中排除數(shù)學(xué)、理綜安排在同一節(jié)的情形，可得結(jié)論．【解答】解：由于每科一節(jié)課，每節(jié)至少有一科，必有兩科在同一節(jié)，先從4個中任選2個看作整體，然后做3個元素的全排列，共=36種方法，再從中排除數(shù)學(xué)、理綜安排在同一節(jié)的情形，共=6種方法，故總的方法種數(shù)為：36﹣6=30故選：B．9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入a，b，c分別為1，2，0.3，則輸出的結(jié)果為（）A．1.125 B．1.25 C．1.3125 D．1.375參考答案：D【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】模擬程序的運(yùn)行，依次寫出每次循環(huán)得到的a，b的值，當(dāng)a=1.25，b=1.5時滿足條件|a﹣b|＜0.3，退出循環(huán)，輸出的值為1.375．【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得a=1，b=2，c=0.3執(zhí)行循環(huán)體，m=，不滿足條件f（m）=0，滿足條件f（a）f（m）＜0，b=1.5，不滿足條件|a﹣b|＜c，m=1.25，不滿足條件f（m）=0，不滿足條件f（a）f（m）＜0，a=1.25，滿足條件|a﹣b|＜c，退出循環(huán)，輸出的值為1.375．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了程序框圖的應(yīng)用，模擬程序的運(yùn)行，正確依次寫出每次循環(huán)得到的a，b的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．10.將函數(shù)y=sin2x﹣cos2x的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)g（x）(

) A．由最大值，最大值為 B．對稱軸方程是 C．是周期函數(shù)，周期 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增參考答案：D考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．專題：計(jì)算題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：由兩角差的正弦公式化簡函數(shù)，再由圖象平移的規(guī)律得到，易得最大值是2，周期是π，故A，C均錯；由，求出x，即可判斷B；再由正弦函數(shù)的增區(qū)間，即可得到g（x）的增區(qū)間，即可判斷D．解答： 解：化簡函數(shù)得，所以將函數(shù)y=sin2x﹣cos2x的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)g（x）=2sin，即，易得最大值是2，周期是π，故A，C均錯；由，得對稱軸方程是，故B錯；由，令k=0，故D正確．故選D．點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的化簡和圖象變換，考查三角函數(shù)的最值和周期、以及對稱性和單調(diào)性，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的反函數(shù)參考答案：答案：

解析：由12.函數(shù)的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)的范圍

．參考答案：略13.已知集合，則

▲

．參考答案：14.函數(shù)（為常數(shù)，A＞0，＞0）的部分圖象如圖所示，則的值是

.參考答案：由圖象可知，，所以,,所以，，所以，所以，所以，.15.若x，y滿足約束條件則的最小值為__________．參考答案：2【分析】先由約束條件作出可行域，再由目標(biāo)函數(shù)可化，因此當(dāng)直線在軸上截距最小時，取最小，結(jié)合圖像即可求出結(jié)果.【詳解】由約束條件作出可行域如下：因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)可化為，因此當(dāng)直線在軸上截距最小時，取最小.由圖像易得，當(dāng)直線過點(diǎn)時，在軸上截距最小，即.故答案為2【點(diǎn)睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃，只需由約束條件作出可行域，分析目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合圖像即可求解，屬于常考題型.16.將三項(xiàng)式展開，當(dāng)時，得到如下左圖所示的展開式，右圖所示的廣義楊輝三角形：

第0行

1

第1行

111

第2行

12321

第3行

1367631

第4行

14101619161041……觀察多項(xiàng)式系數(shù)之間的關(guān)系，可以仿照楊輝三角構(gòu)造如圖所示的廣義楊輝三角形，其構(gòu)造方法：第0行為1，以下各行每個數(shù)是它頭上與左右兩肩上3數(shù)（不足3數(shù)的，缺少的數(shù)計(jì)為0）之和，第行共有個數(shù)．若在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為75，則實(shí)數(shù)的值為___________．參考答案：2試題分析：展開式中系數(shù)為151530455145301551，所以在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為考點(diǎn)：新定義17.已知函數(shù)與，它們的圖像有一個橫坐標(biāo)為的交點(diǎn)，則的值是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知向量，其中函數(shù)的最小正周期為.（1）求的值.（2）求函數(shù)在上的最大值.參考答案：【知識點(diǎn)】向量的坐標(biāo)運(yùn)算;三角函數(shù)的化簡求值.

F2

C7【答案解析】(1)(2)

解析：(1)2m·n-1

=．

………………6分由題意知：，即，解得．……7分(2)由(Ⅰ)知，∵≤x≤，得≤≤，又函數(shù)y=sinx在[，]上是減函數(shù)，∴…………10分

=．…………………12分【思路點(diǎn)撥】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可以列出關(guān)系式，求出的值，再根據(jù)解析式在定義域內(nèi)求出函數(shù)的最大值.19.對于數(shù)集，其中，，定義向量集.若對于任意，存在，使得，則稱X具有性質(zhì)P.例如具有性質(zhì)P.（I）若，且具有性質(zhì)，求的值；（II）若X具有性質(zhì)P，且x1=1，x2=q（q為常數(shù)），求有窮數(shù)列的通項(xiàng)公式.參考答案：（1）選取，Y中與垂直的元素必有形式.

……2分

所以x=2b，從而x=4.

……4分（2）[解法一]猜測，i=1,2,…,n.

``

記，k=2,3,…,n.

先證明：若具有性質(zhì)P，則也具有性質(zhì)P.

任取，、?.當(dāng)、中出現(xiàn)-1時，顯然有滿足；

當(dāng)且時，、≥1.

因?yàn)榫哂行再|(zhì)P，所以有，、?，使得，從而和中有一個是-1，不妨設(shè)=-1.假設(shè)?且?，則.由，得，與?矛盾.所以?.從而也具有性質(zhì)P.

……6分現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：，i=1,2,…,n.當(dāng)n=2時，結(jié)論顯然成立；

假設(shè)n=k時，有性質(zhì)P，則，i=1,2,…,k；

當(dāng)n=k+1時，若有性質(zhì)P，則

也有性質(zhì)P，所以.

取，并設(shè)滿足，即.由此可得s=-1或t=-1.

若，則不可能；

所以，，又，所以.

綜上所述，，i=1,2,…,n.

……10分

[解法二]設(shè)，，則等價于.

記，則數(shù)集X具有性質(zhì)P當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)集B關(guān)于原點(diǎn)對稱.注意到-1是X中的唯一負(fù)數(shù)，共有n-1個數(shù)，所以也只有n-1個數(shù).由于，已有n-1個數(shù)，對以下三角數(shù)陣

……

注意到，所以，從而數(shù)列的通項(xiàng)公式為

，k=1,2,…,n.20.(本小題滿分14分)已知函數(shù)的減區(qū)間是．⑴試求m、n的值；⑵求過點(diǎn)且與曲線相切的切線方程；⑶過點(diǎn)A（1，t）是否存在與曲線相切的3條切線，若存在求實(shí)數(shù)t的取值范圍；若不存在，請說明理由．參考答案：解：⑴由題意知：的解集為，

所以，-2和2為方程的根，

………………2分由韋達(dá)定理知

，即m=1，n=0．

………………4分⑵∵，∴，∵

當(dāng)A為切點(diǎn)時，切線的斜率，∴切線為，即；

………………6分

當(dāng)A不為切點(diǎn)時，設(shè)切點(diǎn)為，這時切線的斜率是，切線方程為，即

因?yàn)檫^點(diǎn)A（1，-11），

，∴，∴或，而為A點(diǎn)，即另一個切點(diǎn)為，∴，切線方程為，即………………8分所以，過點(diǎn)的切線為或．

…………9分⑶存在滿足條件的三條切線．

…………10分設(shè)點(diǎn)是曲線的切點(diǎn)，則在P點(diǎn)處的切線的方程為

即因?yàn)槠溥^點(diǎn)A（1，t），所以，，

由于有三條切線，所以方程應(yīng)有3個實(shí)根，

…………11分設(shè)，只要使曲線有3個零點(diǎn)即可．設(shè)=0，∴分別為的極值點(diǎn)，當(dāng)時，在和上單增，當(dāng)時，在上單減，所以，為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn).所以要使曲線與x軸有3個交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)即，解得

.

…………14分略21.設(shè)點(diǎn)M是x軸上的一個定點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為a（a∈R），已知當(dāng)a=1時，動圓N過點(diǎn)M且與直線x=﹣1相切，記動圓N的圓心N的軌跡為C．（Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ）當(dāng)a＞2時，若直線l與曲線C相切于點(diǎn)P（x0，y0）（y0＞0），且l與以定點(diǎn)M為圓心的動圓M也相切，當(dāng)動圓M的面積最小時，證明：M、P兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差為定值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與拋物線的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）通過圓N與直線x=﹣1相切，推出點(diǎn)N到直線x=﹣1的距離等于圓N的半徑，說明點(diǎn)N的軌跡為以點(diǎn)M（1，0）為焦點(diǎn)，直線x=﹣1為準(zhǔn)線的拋物線，求出軌跡方程．（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y﹣y0=k（x﹣x0），聯(lián)立得，利用相切關(guān)系，推出k，求解直線l的方程為．通過動圓M的半徑即為點(diǎn)M（a，0）到直線l的距離．利用動圓M的面積最小時，即d最小，然后求解即可．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)閳AN與直線x=﹣1相切，所以點(diǎn)N到直線x=﹣1的距離等于圓N的半徑，所以，點(diǎn)N到點(diǎn)M（1，0）的距離與到直線x=﹣1的距離相等．所以，點(diǎn)N的軌跡為以點(diǎn)M（1，0）為焦點(diǎn)，直線x=﹣1為準(zhǔn)線的拋物線，所以圓心N的軌跡方程，即曲線C的方程為y2=4x．（Ⅱ）由題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y﹣y0=k（x﹣x0），由得，又，所以，因?yàn)橹本€l與曲線C相切，所以，解得．所以，直線l的方程為．動圓M的半徑即為點(diǎn)M（a，0）到直線l的距離．當(dāng)動圓M的面積最小時，即d最小，而當(dāng)a＞2時；==．當(dāng)且僅當(dāng)，即x0=a﹣2時取等號，所以當(dāng)動圓M的面積最小時，a﹣x0=2，即當(dāng)動圓M的面積最小時，M、P兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差為定值．22.已知函數(shù)f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0且a≠1）（1）求函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然對數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；絕對值不等式的解法．【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；（2）f（x）的最大值減去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由單調(diào)性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的單調(diào)性，判斷f（1）與f（﹣1）的大小關(guān)系，再由f（x）的最大值減去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna．令h（x）=f'（x）=2x+（ax﹣1）lna，h'（x）=2+axln2a，當(dāng)a＞0，a≠1時，h'（x）＞0，所以h（x）在R上是增函數(shù)，…（2分）又h（0）=f'（0）=0，所以，f'（x）＞0的解集為（0，+∞）