山西省忻州市陽明堡鎮(zhèn)堡內(nèi)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

山西省忻州市陽明堡鎮(zhèn)堡內(nèi)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．－1

B．1

C.－1或1

D．－1或－3參考答案：C當(dāng)時(shí)，由得，符合要求；當(dāng)時(shí)，得，即的值為－1或1，故答案為C.

2.《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：今有竹九節(jié)，欲均減容之（其意為：使容量均勻遞減），上三節(jié)容四升，下三節(jié)容二升，中三節(jié)容幾何？（）A.二升 B.三升 C.四升 D.五升參考答案：B【分析】由題意可得，上、中、下三節(jié)的容量成等差數(shù)列．再利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求出中三節(jié)容量，即可得到答案．【詳解】由題意，上、中、下三節(jié)的容量成等差數(shù)列，上三節(jié)容四升，下三節(jié)容二升，則中三節(jié)容量為，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的等差中項(xiàng)公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．3.過點(diǎn)P(2，1)且被圓C：x2＋y2–2x＋4y=0截得弦長最長的直線l的方程是（

）（A）3x–y–5=0

（B）3x＋y–7=0（C）x–3y＋5=0

（D）x＋3y–5=0參考答案：A略4.設(shè)曲線C的方程為（x﹣2）2+（y+1）2=9，直線l的方程x﹣3y+2=0，則曲線上的點(diǎn)到直線l的距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點(diǎn)】JA：圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【分析】求出圓心坐標(biāo)，利用圓心到直線的距離與條件之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：由（x﹣2）2+（y+1）2=9，得圓心坐標(biāo)為C（2，﹣1），半徑r=3，圓心到直線l的距離d=．∴要使曲線上的點(diǎn)到直線l的距離為，∴此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于過圓心C的直徑上，故有兩個(gè)點(diǎn)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用點(diǎn)到直線的距離公式是解決本題的關(guān)鍵．5.已知是第二象限角，則（

）A.是第一象限角 B.C. D.是第三或第四象限角參考答案：D【分析】由已知可求，，可得是第一象限或第三象限角，由已知可求，，可得是第三象限或第四象限角，逐項(xiàng)分析即可得解．【詳解】解：對(duì)于A，∵是第二象限角，∴，，∴，，∴是第一象限或第三象限角，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，由可知是第一象限或第三象限角，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，∵是第二象限角，∴，，∴是第三象限或第四象限角，，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，∵是第二象限角，∴，，∴，，∴是第三象限或第四象限角，故正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角在第幾象限的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意象限角定義的合理運(yùn)用．6.已知集合A={1,2,3,4}，B={2,3,4,5}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)是（

）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：C【分析】求出A∩B即得解.【詳解】由題得A∩B={2,3,4},所以A∩B中元素的個(gè)數(shù)是3.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.7.設(shè)，則“”是“”的（

）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：D【分析】先化簡(jiǎn)“”和“”，再利用充分必要條件的定義分析判斷得解.【詳解】由得，由得，所以“”不能推出“”，所以“”是“”的非充分條件；因?yàn)椤啊辈荒芡瞥觥啊?，所以“”是“”的非必要條件.所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查充分必要條件的判斷，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.8.設(shè)集合S={}，在S上定義運(yùn)算為：=Ak,其中k為i+j被4除的余數(shù)，i、j=0,1,2,3.滿足關(guān)系式的x(x∈S)的個(gè)數(shù)為（

）A.4

B.3

C.2

D.1參考答案：C略9.

參考答案：

D10.已知等比數(shù)列{an}的公比為q，且，數(shù)列{bn}滿足，若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{－28,－19,－13,7,17,23}中，則q=（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】由題可知數(shù)列的連續(xù)四項(xiàng)，從而可判斷，再分別列舉滿足符合條件的情況，從而得到公比.【詳解】因?yàn)閿?shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，，所以數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，所以數(shù)列的連續(xù)四項(xiàng)不同號(hào)，即.因?yàn)?，所以，按此要求在集合中取四個(gè)數(shù)排成數(shù)列，有-27，24，-18，8；-27，24，-12，8；-27，18，-12，8三種情況，因?yàn)?27，24，-12，8和-27，24，-18，8不是等比數(shù)列，所以數(shù)列的連續(xù)四項(xiàng)為-27，18，-12，8，所以數(shù)列的公比為.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的分析能力，邏輯推理能力，分類討論能力，難度較大.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知集合A={x∈R｜3x+2>0﹜，B={x∈R｜(x+1)(x-3)>0﹜則A∩B=

▲

．參考答案：12.已知向量，若，則=

．參考答案：20【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】首先利用平行得到關(guān)于x的等式，求出x，得到的坐標(biāo)，利用數(shù)量積公式得到所求．【解答】解：由，x﹣4=0．解得x=4，則=（3，4），=4×3+2×4=20；故答案為：20．13.（5分）無論實(shí)數(shù)a，b（ab≠0）取何值，直線ax+by+2a﹣3b=0恒過定點(diǎn)

．參考答案：（﹣2，3）考點(diǎn)： 恒過定點(diǎn)的直線．專題： 直線與圓．分析： 把已知直線變形為，然后求解兩直線x+2=0和y﹣3=0的交點(diǎn)得答案．解答： 由ax+by+2a﹣3b=0，得a（x+2）+b（y﹣3）=0，即，聯(lián)立，解得．∴直線ax+by+2a﹣3b=0恒過定點(diǎn)（﹣2，3）．故答案為：（﹣2，3）．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了直線系方程，關(guān)鍵是掌握該類問題的求解方法，是基礎(chǔ)題．14.已知直線和直線平行，則的值為

▲

.

參考答案：15.若函數(shù)同時(shí)滿足：①對(duì)于定義域上的任意，恒有

②對(duì)于定義域上的任意，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”。給出下列四個(gè)函數(shù)中：⑴

⑵

（3），能被稱為“理想函數(shù)”的有__________（填相應(yīng)的序號(hào)）參考答案：（3）略16.不等式解集為R，則取值集合

。

參考答案：17.＝

。參考答案：22三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)a，b均為正數(shù)，且a+b=1，（Ⅰ）求證：+≥4；（Ⅱ）求證：+≥22017．參考答案：【考點(diǎn)】不等式的證明；基本不等式．【分析】（Ⅰ）利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出．（Ⅱ）根據(jù)基本不等式進(jìn)行證明即可．【解答】（Ⅰ）證明：∵a，b為兩個(gè)的正數(shù)，且a+b=1，∴+=（a+b）（+）=2++≥2+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào)．而a≠b，∴+≥4；（Ⅱ）證明：∵a，b為兩個(gè)的正數(shù)，a+b=1，∴+≥2=2×（）1008=2×41008=22017，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào)．∴+≥22017．19.證明：函數(shù)在上是增函數(shù)（用定義證明）。參考答案：證明：

則

＝

從而函數(shù)在上是增函數(shù)20.（本小題滿分16分）某休閑農(nóng)莊有一塊長方形魚塘ABCD，AB=50米，BC=米，為了便于游客休閑散步，該農(nóng)莊決定在魚塘內(nèi)建3條如圖所示的觀光走廊OE、EF和OF，考慮到整體規(guī)劃，要求O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊AD上，且∠EOF=90°．(1)設(shè)∠BOE=，試將的周長表示成的函數(shù)關(guān)系式，并求出此函數(shù)的定義域；(2)經(jīng)核算，三條走廊每米建設(shè)費(fèi)用均為4000元，試問如何設(shè)計(jì)才能使建設(shè)總費(fèi)用最低并求出最低總費(fèi)用．參考答案：(1)∵在Rt△BOE中，OB=25,∠B=90°，∠BOE=，∴OE=.在Rt△AOF中，OA=25,∠A=90°，∠AFO=，∴OF=.又∠EOF=90°，∴EF==,∴，即．當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D時(shí)，這時(shí)角最小，求得此時(shí)=；當(dāng)點(diǎn)E在C點(diǎn)時(shí)，這時(shí)角最大，求得此時(shí)=．故此函數(shù)的定義域?yàn)?(2)由題意知，要求建設(shè)總費(fèi)用最低，只要求的周長的最小值即可.由（1）得，，設(shè)，則，∴由，，得，∴，從而，當(dāng)，即BE=25時(shí)，,所以當(dāng)BE=AF=25米時(shí)，鋪路總費(fèi)用最低，最低總費(fèi)用為元.21.（10分）如圖，在直三棱柱中，AB=1，，BC=2.(1)證明：；（2）求二面角A——B的余弦值。參考答案：(1)證明:由直棱柱的性質(zhì)可得,∴∵在

∴

又∴

又∴(2)解:

由已知可得∴由（1）可得在等腰

在等腰又在為所