去分母去括號

3.3解一元一次方程（二）化簡下列各式：（1）3a＋2b＋（6a－4b）（2）（－3a＋2b）＋3（a－b）（3）－5a＋4b－（－3a＋b）9a－2b－b－2a＋3b想一想去括號時符號變化規(guī)律．去括號法則

1．括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后各項的符號與原括號內(nèi)相應各項的符號相同．2．括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后各項的符號與原括號內(nèi)相應各項的符號相反．知識回顧解這個方程：3x＋5（138－x）=5403x＋690－5x＝5403x－5x＝540－690－2x＝－150x＝75解：去括號移項合并同類項系數(shù)化為1去括號法則

問題：王大伯承包了25畝土地，今年春季改種茄子和西紅柿兩種大棚蔬菜，用去了44000元，其中種茄子每畝用了1700元，種西紅柿每畝用了1800元．問兩蔬菜各種了多少畝？分析：設王大伯共種了x畝茄子，則他種西紅柿__________畝．種茄子每畝用了1700元．那么種茄子一共用去了________元；種西紅柿每畝用了1800元，則他種西紅柿共用去了______________元．根據(jù)王大伯種這兩種蔬菜共用去了44000元，可列方程（25－x）1700x1800（25－x）1700x＋1800（25－x）＝44000．怎樣解這個方程？1700x＋1800（25－x）＝44000．x＝10－100x＝－10001700x＋45000－1800x＝440001700x－1800x＝44000－45000去括號移項合并同類項系數(shù)化為1去括號是解方程時常用的變形．解：由上可知，種茄子10畝．所以種西紅柿：25－10＝15（畝）．答：種茄子10畝，種西紅柿15畝．

例1解方程

（1）x＋5（2x－1）=3－2（－x－5）解：去括號，得x＋10x－5＝3＋2x＋10移項，得x＋10x－2x＝3＋10＋5合并同類項，得9x＝18系數(shù)化為1,得x＝2．（2）4x－3（15－x）＝6x－7（11－x）解：去括號，得4x－45＋3x＝6x－77＋7x移項，得4x＋3x－6x－7x＝－77＋45合并同類項，得－6x＝－32系數(shù)化成1，得討論：解一元一次方程的步驟是什么？（1）去括號（2）移項（3）合并同類項（4）系數(shù)化成１（1）3x－5（x－3）=9－（x+4）（2）6x＝－2（3x－5）＋10（3）－2（x＋5）=3（x－5）－6解下列方程．x＝10x＝14練一練

1．某校準備將2000元獎金全部發(fā)給20名三好生，其中市級三好生每人得獎金200元，校級三好生每人得獎金50元，請問全校市級三好生、校級三好生各有多少人？解：高全校市級三好生x人，列方程200x＋50（20－x）＝2000解，得x＝5．所以校級三好生：20－x＝15（人）答：市級三好生5人；校級三好生15人．練一練

2．一個籠中裝有雞、兔若干只，從上面看，共有21個頭；從下面看，共有66只腳，問雞、兔各有多少只．解：設雞x只，列方程2x＋4（21-x）＝66解，得x＝9所以兔的個數(shù)為：21－x＝12（只）答：籠中有雞9只，兔12只．

（3）李白街上走，提壺去買酒，遇店加一倍，見花喝一斗;三遇店和花，喝光壺中酒，試問酒壺中原有多少酒?斗：古代的一個計量單位；1斗=10升．解：設：設酒壺中原有x斗酒．第一次遇店：第一次遇花：第二次遇店：第二次遇花：第三次遇店：第三次遇花：2x2x－1＝2x－12（2x－1）＝4x－24x－2－1＝4x－32（4x－3）＝8x－68x－6－1＝8x－7列方程，得8x－7＝0解，得x＝0.875答：酒壺中原有0.875斗酒．

例2：一艘輪船在兩個碼頭之間航行，順水航行需要4小時，逆水行駛需要5小時，水流的速度是2千米/時，求輪船在靜水中的行駛速度．分析：已知兩個碼頭之間的距離相等所以：順流速度×順流時間＝逆流速度×逆流時間去括號，得4x＋8＝5x－10移項及合并同類項，得－x＝－18系數(shù)化為1，得x＝18．答：船在靜水中的行駛速度為18千米/時．解：設輪船在靜水中的行駛速度為x千米/時，則順流速度為（x＋2）千米/時，逆流速度為（x－2）千米/時．可列方程4×（x＋2）＝5×（x－2）

常用的關(guān)系式

順流時的速度=靜水中的速度+水流的速度逆流時的速度=靜水中的速度-水流的速度歸納

（1）一艘輪船從一碼頭逆流而上，再順流而下．如果輪船在靜水中的速度為每小時15千米，水流速度為每小時3千米，那么這艘輪船最多開出多遠然后返回才能保證在7．5小時內(nèi)回到原碼頭？解：設這艘輪船開出x小時后多返回，才能保證在7.5小時內(nèi)回到原碼頭．列方程（15－3）x＝（15＋3）×（7.5－x）解，得：x＝4.5即輪船開出后：（15－3）x＝54（千米）后，返回才能保證在7.5小時內(nèi)回到原碼頭．練一練

（2）甲、乙兩人在一條長400米的環(huán)形跑道上跑步．甲的速度是360米/分，乙的速度是240米/分．1.兩人同時同地同向跑，多長時間兩人第一次相遇，此時兩人一共跑了幾圈？2.兩人同時同地反向跑，幾秒后兩人第一次相遇？3.兩人同時同向跑，甲先跑30秒，問還要多長時間兩人第一次相遇？4.兩人同時同向跑，乙先跑30秒，問還要多長時間兩人第一次相遇？54011秒26秒

（3）一小船由A港到B港順流行駛航行需6h，由B港到A港逆流航行需要8h，一天,小船從早晨6時由A港出發(fā)順流到達B港時，發(fā)現(xiàn)救生圈在途中掉落了水中，立即返回,1h后找到救生圈．

1.若小船按水流速度由A港漂流到B港,需要多長時間?2.救生圈是在什么時候掉入水中的?48小時11時

例3：（1）某工廠計劃用26小時生產(chǎn)一批零件，后因每小時多生產(chǎn)5件，用24小時不但完成了任務，而且比原計劃多生產(chǎn)了60件，問原計劃生產(chǎn)多少件零件？分析：原計劃生產(chǎn)x件零件，所以計劃每小時生產(chǎn)零件數(shù)×26＝實際每小時生產(chǎn)零件數(shù)×24－60．解：設原計劃每小時生產(chǎn)x件零件，列方程

24x×（x+5）－60＝26x去括號，得

24x+120-60＝26x移項及合并同類項，得

2x＝60系數(shù)化成1,得

x＝30

所以原計劃26×30＝780（件）答：原計劃生產(chǎn)780件零件．

（2）一個服裝車間，共有90人，每人每小時加工1件衣服或2條褲子，問怎樣安排工作才能使衣服和褲子正好配套？（一件衣服配一條褲子）分析：為了使每天生產(chǎn)的衣服和褲子正好配套，應使生產(chǎn)的衣服和褲子數(shù)量相等．解：設做衣服人數(shù)為x人，則做褲子的人數(shù)為（90－x）人．列方程x=2（90－x）去括號，得x＝180－2x

移項及合并同類項，得3x＝180系數(shù)化為1,得x＝60．所以做褲子的人數(shù)為：60－x＝20（人）．答：做衣服人的人數(shù)為40人，做褲子的人為20人．

（1）某車間每天能生產(chǎn)甲種零件100個，或者乙種零件100個．甲、乙兩種零件分別取3個、2個才能配成一套．要在30天內(nèi)生產(chǎn)最多的成套產(chǎn)品，問怎樣安排生產(chǎn)甲、乙兩種零件的天數(shù)？解：設生產(chǎn)甲種零件x天，列方程：2×100x＝3×100（30－x）解，得：x＝18則生產(chǎn)乙種零件的天數(shù)為：30－x＝12（天）答：應安排生產(chǎn)甲種零件18天，乙種零件12天．練一練

（2）某水利工地派40人去挖土和運土，如果每人每天平均挖土5方或運土3方，那么應怎樣安排人員，正好能使挖出的土及時運走？解：設每天派x人挖土，列方程5x＝3（40－x）解，得x＝15所以每天運土人數(shù)為:40－x＝25（人）答：每天派15人挖土，25人運土，正好能使挖出的土及時運走．

（3）用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵片可制盒身16個或制盒底45個一個盒身與兩個盒底配成一套罐頭盒．現(xiàn)有100張白鐵皮，用多少張制盒身，多少張制盒底，可以既使做出的盒身和盒底配套，又能充分地利用白鐵皮？解：設x張白鐵皮做盒身,列方程2×16x＝45×（100－x）解，得x＝60則做盒底的鐵皮為：100－x＝40（張）答：用60張白鐵皮做盒身，40張白鐵皮做盒底．

目前初中數(shù)學主要分成代數(shù)與幾何兩大部分，其中代數(shù)學的最大特點是引人了未知數(shù)，建立方程，對未知數(shù)加以運算．而最早提出這一思想并加以舉例論述的，是古代數(shù)學名著《算術(shù)》一書，其作者是古希臘后期數(shù)學家一“代數(shù)學之父”丟番圖．

丟番圖是希臘數(shù)學家，他的13卷巨著《算術(shù)》在代數(shù)符號、數(shù)論、代數(shù)方程解法等方面均有重要貢獻，其不定方程理論對后世產(chǎn)生了巨大影響，以至后人把整系數(shù)不定方程稱為“丟番圖方程”．關(guān)于丟番圖的生平，我們僅能從其墓志銘中略知梗概，這篇墓志銘本身就是一個有趣的數(shù)學問題，因為被4世紀數(shù)學家麥特勞德爾收入一部數(shù)學問題集中，得以流傳至今：丟番圖的生平讀一讀

這是一座石墓，里面安葬著丟番圖．請你告訴我，丟番圖壽數(shù)幾何？他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是無憂無慮的少年．再過去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭．五年之后兒子出生，不料兒子竟先其父四年而終，只活到父親一半的年齡．晚年喪子老人真可憐，悲痛之中渡過風燭殘年．請你告訴我，丟番圖壽數(shù)幾何？

解：設丟番圖去世時的年齡為x歲，由題意可列方程怎樣使這個方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式？

請你列出方程算一算，丟番圖去世時的年齡？

分析：

為使方程變?yōu)檎禂?shù)方程，方程兩邊應該同乘以什么數(shù)？各分母的最小公倍數(shù)84.去分母（方程兩邊同乘各分母的最小分倍數(shù)）移項系數(shù)化為1答：丟番圖去世時的年齡為84歲．合并同類項14x＋7x＋12x＋420＋42x＋336＝84x14x＋7x＋12x＋42x－84x＝－420－336－21x＝－756x＝84．解：

這件珍貴的文物是紙莎草文書，是古代埃及人用象形文字寫在一種特殊的草上的著作，至今已有3700多年的歷史了，在文書中記載了許多有關(guān)數(shù)學的問題．

問題：一個數(shù)，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起來總共是33．解：設這個數(shù)為x，可得方程：

為使方程變?yōu)檎禂?shù)方程，方程兩邊應該同乘以什么數(shù)？各分母的最小公倍數(shù)42．解：去分母，得28x＋21x＋6x＋42x＝1386．合并同類項，得97x＝1386．系數(shù)化為1，得歸納去分母時須注意

1.確定各分母的最小公倍數(shù)；2.不要漏乘沒有分母的項；3.去掉分母后，若分子是多項式，要加括號，視多項式為一整體．

解有分數(shù)系數(shù)的一元一次方程的步驟：1．去分母；2．去括號；3．移項；4．合并同類項；5．系數(shù)化為1．主要依據(jù)：等式的性質(zhì)和運算律等．歸納以上步驟是不是一定要順序進行，缺一不可？

（1）碧空萬里，一群大雁在飛翔，迎面又飛來一只小灰雁，它對群雁說：“你們好，百只雁！你們百雁齊飛，好氣派！可憐我是孤雁獨飛．”群雁中一只領(lǐng)頭的老雁說：“不對！小朋友，我們遠遠不足100只．將我們這一群加倍，再加上半群，又加上四分之一群，最后還得請你也湊上，那才一共是100只呢，請問這群大雁有多少只？解：設這群大雁有x只，列方程解方程，得x＝36提示：練一練

（2）火車用26秒的時間通過一個長256米的隧道（即從車頭進入入口到車尾離開出口），這列火車又以16秒的時間通過了長96米的隧道，求火車的長度．解：設火車長度為x米，列方程解，得x＝160答：火車的長度為160米．例4：解方程解：去分母（方程兩邊同乘12），得3（x－1）－4（2x＋5）＝－3×12去括號，得3x－3－8x－20＝－36移項，得3x－8x＝－36＋3＋20合并同類項，得－5x＝－13系數(shù)化為1,得解：去分母（方程兩邊同乘12），得4（－x＋4）－12x＋5×12＝4（x－3）－3（x－1）去括號，得－4x－16－12x＋60＝4x－12－3x＋3移項，得－4x－12x－4x＋3x＝－12＋3＋16－60合并同類項，得－17x＝－53系數(shù)化為1,得解：去分母（兩邊同乘12），得8（x－6）＝3（－2x－3）－2去括號，得8x－48＝－6x－9－2移項，得8x＋6x＝－9－2＋48合并同類項，得14x＝37系數(shù)化為1,得解下列方程：練一練

例5：（1）一件工作，甲單獨做25小時完成，乙單獨做12小時完成．那么兩人合作多少小時完成？分析：本題是一個典型的工程類應用題．甲單獨做20小時完成的工作量+乙單獨做12小時完成的工作量=完成的工作總量1解：設兩人合作x小時完成此工作，可列方程

答：兩人合作6小時完成．

去分母，得4x＋6x＝60合并同類項，得x＝6

（2）一件工作，甲單獨做15小時完成，乙單獨做12小時完成．甲先單獨做6小時，然后乙加入合作，那么兩人合作還要多少小時完成？

分析：把總工作量看作是1．設還要x小時才能完成工作．甲的工作總量＋乙的工作總量＝總工作量1．答：兩人合作還要4小時完成．解：設兩人合作還需x小時完成此工作，列方程去分母，得4x＋24＋5x＝60移項及合并同類項，得9x＝36系數(shù)化為1,得x＝4

（3）一件工作，甲單獨做15小時完成，甲、乙合做6小時完成．甲先單獨做6小時，余下的乙單獨做，那么乙還要多少小時完成？分析：把總工作量看作是1．設乙還要x小時才能完成工作．甲的工作總量＋乙的工作總量＝總工作量1．答：乙還要6小時完成．解：設乙還需x小時完成此工作，依題意可得：去分母，得24＋（10－4）x＝60去括號，得24＋6x＝60移項，得6x＝36系數(shù)化為1,得x＝6工程問題

1．工作量、工作時間、工作效率；2．這三個基本量的關(guān)系是：

工作量=工作時間×工作效率工作效率=工作量÷工作時間工作時間=工作量÷工作效率

3．工作總量通常看作單位“1”歸納

小明預定搭乘家門口的公共汽車趕往火車站，去家鄉(xiāng)看望爺爺．在行駛了三分之一路程后，估計繼續(xù)乘公共汽車將會在火車開車后半小時到達火車站，便隨即下車改乘出租車，車速提高了一倍，結(jié)果趕在火車開車前15分鐘到達火車站．已知公共汽車的平均速度