圓錐曲線切線尺規(guī)作圖方法(東大徐文平)

圓錐曲線切線的尺規(guī)作圖方法徐文平

東南大學(xué)土木工程學(xué)院[1]徐文平.圓錐曲線切線的尺規(guī)作圖法及其簡(jiǎn)證[J]，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014.5[2]徐文平.圓錐曲線內(nèi)接四邊形的四極點(diǎn)調(diào)和分割定理[J]，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014.7

[3]徐文平.橢圓焦點(diǎn)弦的優(yōu)美性質(zhì)及其簡(jiǎn)證[J]，中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2014.5[4]徐文平.花中覓尋蝶影妙證蝴蝶定理[J]，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014.3

命題1：過橢圓Y上一點(diǎn)A，作豎向垂線，與橢圓Y相交于B點(diǎn)，點(diǎn)J、K是橢圓Y的象限點(diǎn)，JA、BK兩條延伸線相交于C點(diǎn)，過C點(diǎn)作豎向垂線，與水平軸交于N點(diǎn)，NA連線就是所求的橢圓切線T1。過橢圓上一點(diǎn)作切線方法

命題2：已知橢圓的斜向割線AB，點(diǎn)J、K是橢圓的頂點(diǎn)，JA、BK交于E點(diǎn)，JB、AK交于F點(diǎn)，確定EF的中點(diǎn)N點(diǎn)，連線NA、NB就是橢圓的切線。過橢圓上一點(diǎn)作切線方法

命題3：已知橢圓Y的一斜向割線AB，作一條過橢圓心O點(diǎn)的任意割線JK，與橢圓Y相交于J、K兩點(diǎn)。JA、BK交于E點(diǎn)，作AK、JB交于F點(diǎn)。確定EF的中點(diǎn)N點(diǎn)，連線NA、NB就是橢圓的切線。

過橢圓上一點(diǎn)作切線方法

新定理1（徐文平）：圓錐曲線內(nèi)接四邊形的對(duì)邊延伸線兩交點(diǎn)調(diào)和分割對(duì)角線兩極點(diǎn)。

圓錐曲線內(nèi)接四邊形的四極點(diǎn)調(diào)和分割定理（橢圓、雙曲線或者拋物線的內(nèi)接四邊形KLMN，對(duì)邊線KN與LM交于A，對(duì)邊線KL與NM交于B，對(duì)角線KM的極點(diǎn)為C，對(duì)角線LN的極點(diǎn)為D，KM與LN交于Q點(diǎn)，則A、B、C、D四點(diǎn)共線，且AB調(diào)和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。）

新定理1（徐文平）：圓錐曲線內(nèi)接四邊形的對(duì)邊延伸線兩交點(diǎn)調(diào)和分割對(duì)角線兩極點(diǎn)。

圓錐曲線內(nèi)接四邊形的四極點(diǎn)調(diào)和分割定理（橢圓、雙曲線或者拋物線的內(nèi)接四邊形KLMN，對(duì)邊線KN與LM交于A，對(duì)邊線KL與NM交于B，對(duì)角線KM的極點(diǎn)為C，對(duì)角線LN的極點(diǎn)為D，KM與LN交于Q點(diǎn)，則A、B、C、D四點(diǎn)共線，且AB調(diào)和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。）

新定理1（徐文平）：圓錐曲線內(nèi)接四邊形的對(duì)邊延伸線兩交點(diǎn)調(diào)和分割對(duì)角線兩極點(diǎn)。

圓錐曲線內(nèi)接四邊形的四極點(diǎn)調(diào)和分割定理（橢圓、雙曲線或者拋物線的內(nèi)接四邊形KLMN，對(duì)邊線KN與LM交于A，對(duì)邊線KL與NM交于B，對(duì)角線KM的極點(diǎn)為C，對(duì)角線LN的極點(diǎn)為D，KM與LN交于Q點(diǎn)，則A、B、C、D四點(diǎn)共線，且AB調(diào)和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。）

圓錐曲線內(nèi)接四邊形的四極點(diǎn)調(diào)和分割定理

（新定理證明要點(diǎn)）

引理1：二次圓錐曲線的內(nèi)接完全四點(diǎn)形的對(duì)邊三點(diǎn)形是圓錐曲線的自配極三點(diǎn)形。

引理2：圓錐曲線中的極線共點(diǎn)于P，則這些極線相應(yīng)的極點(diǎn)共線于P相應(yīng)的極線。反之亦然，稱為極點(diǎn)與相應(yīng)極線對(duì)偶性。第一步：通過引理1、2，證明下述3個(gè)圖形成立第二步：賽瓦定理和梅涅勞斯定理證明四極點(diǎn)調(diào)和分割第三步：對(duì)于內(nèi)接四邊形的對(duì)角線特例情況--通過圓心或垂直y軸，進(jìn)行應(yīng)用研究

命題4：已知雙曲線的斜向割線AB，點(diǎn)J、K是雙曲線的頂點(diǎn)，JA、BK交于E點(diǎn)，JB、AK交于F點(diǎn)，確定EF的中點(diǎn)N點(diǎn)，連線NA、NB就是雙曲線的切線。（如果JK為過雙曲線中心的任意割線，雙曲線切線做法也成立。）

過雙曲線上一點(diǎn)作切線方法

命題5：已知拋物線的斜向割線AB，點(diǎn)J是拋物線上任意一點(diǎn)，JA與B點(diǎn)豎垂線交于F點(diǎn)，JB與A點(diǎn)豎垂線交于E點(diǎn)，確定EF的中點(diǎn)N點(diǎn)，連線NA、NB就是拋物線的切線。（如果點(diǎn)J是拋物線的頂點(diǎn)，則拋物線切線做法更簡(jiǎn)單，此時(shí)EF為水平線）過拋物線上一點(diǎn)作切線方法

勒姆柯爾過橢圓外一點(diǎn)P，引四條割線PAiBi（i=1,2,3,4）,直線A1B2與A2B1交于Q點(diǎn)，直線A3B4與A4B3交于R點(diǎn)，直線QR交橢圓于S、T兩個(gè)點(diǎn)，則S、T是橢圓對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的兩個(gè)切點(diǎn)，直線PS、PT就是所求的切線過橢圓外一點(diǎn)作切線方法

大數(shù)學(xué)家高斯的朋友舒馬赫不滿足勒姆柯爾的方法，寫信給高斯，信中說他找到了一個(gè)只需引三條割線就可以作橢圓切線的方法。

過橢圓外一點(diǎn)作切線方法

高斯在收到舒馬赫的信第六天，回信提出了一個(gè)只需引兩條割線。就可以作橢圓切線的簡(jiǎn)捷方法。

過橢圓外一點(diǎn)作切線方法

虛擬橢圓法（徐文平）：已知橢圓Y1和橢圓外一點(diǎn)A，以橢圓Y1的長(zhǎng)軸a為半徑作圓G1，過A點(diǎn)做豎向垂線L1，與水平軸相交于C點(diǎn)，在豎向垂線L1截取一點(diǎn)B，使得。過B點(diǎn)，作小圓G1的切線T1，相交于圓G1于切點(diǎn)D，相交于水平軸于N點(diǎn)，連接N點(diǎn)與A點(diǎn)連線，NA即所求小橢圓Y1的切線T2。過橢圓外一點(diǎn)作切線方法

命題6：已知雙曲線外一點(diǎn)P，過P點(diǎn)作PAB與PCD二條任意雙曲線割線，AD、CB交于Q點(diǎn)，AC、BD延長(zhǎng)交于R，連線QR與雙曲線交于S、T兩點(diǎn)，PS、PT就是雙曲線的切線。過雙曲線外一點(diǎn)作切線方法

命題7：已知拋物線外一點(diǎn)，過P點(diǎn)作PAB與PCD二條任意拋物線割線，AD、CB交于Q點(diǎn)，在y軸上確定一點(diǎn)，連線QR與拋物線交于S、T兩點(diǎn)，PS、PT就是拋物線的切線。過拋物線外一點(diǎn)作切線方法

過拋物線外一點(diǎn)作切線方法命題8：已知拋物線外一點(diǎn)，過P點(diǎn)作一條任意拋物線割線交于A、B兩點(diǎn)，過P點(diǎn)作豎向垂線與拋物線交于C，連接AC連線，過B點(diǎn)作豎向垂線與AC交于Q點(diǎn)。在y軸上確定一點(diǎn)，連線QR就是P點(diǎn)的極線，QR與拋物線交于S、T兩點(diǎn)，PS、PT就是拋物線的切線。

過拋物線外一點(diǎn)作切線方法

命題8：已知拋物線外一點(diǎn)，過P點(diǎn)作一條任意拋物線割線交于A、B兩點(diǎn)，過P點(diǎn)作水平線與拋物線交于C，連接AC連線，過B點(diǎn)作水平線與AC交于Q點(diǎn)。在x軸上確定一點(diǎn)，連線QR就是P點(diǎn)的極線，QR與拋物線交于S、T兩點(diǎn)，PS、PT就是拋物線的切線。

極點(diǎn)極線與密克爾點(diǎn)

命題9：M點(diǎn)是完全四邊形ABCDEF的密克爾點(diǎn)，ABCD四點(diǎn)共圓，對(duì)角線AC、BD交于Q，圓⊙O內(nèi)接四邊形ABCD的AB、DC對(duì)邊延伸交于E，BC、AD對(duì)邊延伸交于F，連線EF是Q極點(diǎn)關(guān)于圓⊙O的極線，則M點(diǎn)必定在極線EF上，且O、Q、M三點(diǎn)共線，OM⊥EF。

橢圓焦點(diǎn)弦的優(yōu)美性質(zhì)及其簡(jiǎn)證

性質(zhì)1：過橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于P、Q點(diǎn)，點(diǎn)A、B為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，AP和BQ交于M，BP和AQ交于N，點(diǎn)C為MN的中點(diǎn)，則有以下一些優(yōu)美的性質(zhì)。（1）MF⊥NF；（2）FC⊥PQ；

（3）MN的中點(diǎn)C為焦點(diǎn)弦PQ的極點(diǎn)，即PC、QC與橢圓相切；（4）MF平分∠PFB角，NF平分∠QFB角。

橢圓焦點(diǎn)弦的優(yōu)美性質(zhì)及其簡(jiǎn)證

性質(zhì)2：過橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的任意兩條焦點(diǎn)弦PQ與AB，AP和BQ交于M，BP和AQ交于N，點(diǎn)C為PQ的極點(diǎn)，點(diǎn)D為AB的極點(diǎn)，則有以下一些優(yōu)美的性質(zhì)。（1）MF平分∠PFB角，NF平分∠QFB角。

（2）MF⊥NF；（3）FC⊥PQ，F(xiàn)D⊥AB；

（4）CD調(diào)和分割MN，即1/NC+1/ND＝2/NM。

花中覓尋蝶影妙證蝴蝶定理（徐文平