復(fù)變函數(shù)第八章 場論

第八章場論電工理論與新技術(shù)研究所第八章場論1.場2.數(shù)量場的方向?qū)?shù)和梯度3.矢量場的通量及散度4.矢量場的環(huán)量及旋度5

幾種重要的矢量場第一節(jié)場一、概念如果在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值，則稱在此區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個(gè)場。如在教室中溫度的分布確定了一個(gè)溫度場，在空間電位的分布確定了一個(gè)電位場。如果這物理量是數(shù)量,就稱這個(gè)場為數(shù)量場;如果是矢量,就稱這個(gè)場為矢量場。若該物理量與時(shí)間無關(guān)，則該場稱為穩(wěn)定場(靜態(tài)場)；若該物理量與時(shí)間有關(guān)，則該場稱為不穩(wěn)定場(時(shí)變場)。二、數(shù)量場的等值面、等值線如果數(shù)量場確定了,則場中各點(diǎn)處的場點(diǎn)值u就確定了,對(duì)于靜態(tài)場,它只是空間坐標(biāo)的函數(shù).例如,在直角坐標(biāo)系下,如溫度場,電位場,高度場等.等值面數(shù)量場中量值相等的點(diǎn)構(gòu)成的面.

等值線在函數(shù)所表示的平面數(shù)量場中，具有相同c的點(diǎn)，組成等值線，u=c1u=c2u=c3等值線等值面

線與線之間的高度差相等,等高線密,山勢陡;等高線疏：山勢緩.300m400m200m100m100m100m緩陡等值面、等值線研究的意義:可以直觀的幫助我們了解場中的物理量的分布情況。例如：例1求數(shù)量場通過點(diǎn)的等值面方程。解:點(diǎn)M的坐標(biāo)是,則該點(diǎn)的數(shù)量場值為

其等值面方程為:或三、矢量場的矢量線如果矢量場確定了,則場中各點(diǎn)處的矢量就確定了,對(duì)于靜態(tài)場,只是空間坐標(biāo)的函數(shù).或例如,在直角坐標(biāo)系下,如力場,速度場等.矢量線研究的意義:能夠了解矢量場中各點(diǎn)矢量方向以及整個(gè)矢量場的分布.矢量線在曲線上每一點(diǎn)處,曲線都和對(duì)應(yīng)該點(diǎn)的矢量相切.

如:靜電場中的電力線、磁場中的磁力線等等。+IBX討論（在M處與矢量線相切的矢量）矢量線的方程設(shè)為矢量線上任意一點(diǎn)，其矢徑為則微分與在M處的場矢量共線。因此有：矢量線的微分方程解:矢量場滿足的微分方程為例2求矢量場的矢量線方程。從而有解之即得矢量方程解:矢量場滿足的微分方程為由由例3求矢量場的矢量線方程。通過點(diǎn)M(2,-1,1)所以過點(diǎn)的矢量線方程為:第二節(jié)數(shù)量場的方向?qū)?shù)和梯度一、問題的提出實(shí)例：一塊長方形金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：(1,1),(5,1),(1,3),(5,3),在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱。假定板上任一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比。在(3,2)處有一只螞蟻，問這只螞蟻沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地方？問題的實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷快的方向（即梯度方向）爬行。討論函數(shù)u=u(x,y)在場中每一點(diǎn)M沿每一方向的變化情況。二、方向?qū)?shù)的定義如圖所示：設(shè)函數(shù)u=u(x,y)在點(diǎn)M(x,y)的某一鄰域u(M)內(nèi)有定義，當(dāng)M1

沿著l趨于M時(shí)，如果存在，則定義如下：記為定義1

函數(shù)的增量兩點(diǎn)間的的距離如果比值的極限存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)M沿方向l的方向?qū)?shù)，當(dāng)M1沿著l趨于M時(shí)，定理1

如果函數(shù)u=u(x,y)在點(diǎn)M(x,y)是可微的，那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)都存在，且有：其中α,β為l與x,y軸的方向余弦。證明:由于函數(shù)可微，則增量可表示為得到兩邊同除以所以：

解：例1求函數(shù)u=xe2y在點(diǎn)P(1,0)處沿從點(diǎn)P(1,0)到點(diǎn)Q(2,-1)方向的方向?qū)?shù)。方向l即為方向l的方向余弦為：所以：解：(1)最大值；(2)最小值；(3)等于零？

例2

求函數(shù)u(x,y)=x2-xy+y2在點(diǎn)(1,1)沿與x軸方向夾角為α∈[-π,π]的方向射線l的方向?qū)?shù)。并問在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有:推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義:對(duì)于三元函數(shù)u=u(x,y,z)，它在空間一點(diǎn)M(x,y,z)沿著方向l的方向?qū)?shù)，可定義為：同理，當(dāng)函數(shù)在此點(diǎn)可微時(shí)，函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向l的方向?qū)?shù)都存在，且有：解:l的方向余弦為:例3求函數(shù)在點(diǎn)M(1,0,1)處沿方向的方向?qū)?shù).則前面講的是函數(shù)u沿直線的方向?qū)?shù)，此外還需要研究函數(shù)u沿曲線的方向?qū)?shù)，其定義如下：定義2

若在有向光滑曲線C上取定一點(diǎn)M0作為計(jì)算弧長s的起點(diǎn)，并以C之正向作為s增大的方向。如圖所示，M為C上的任意一點(diǎn)，從點(diǎn)M出發(fā)沿C之正向取一點(diǎn)M1，記弧長MM1M0lC。若當(dāng)M1→M時(shí)，比式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)u在點(diǎn)M處沿曲線C(正向)的方向?qū)?shù)，即定理2有向曲線如圖所示。MM1M0lC證明:當(dāng)曲線C光滑，函數(shù)u在點(diǎn)M處可微時(shí)，函數(shù)u沿l方向的方向?qū)?shù)就等于函數(shù)u對(duì)s的全導(dǎo)數(shù)，即：定理3若曲線C光滑，在點(diǎn)M處函數(shù)u可微，則有推論函數(shù)u在點(diǎn)M處沿曲線C（正向）的方向?qū)?shù)與函數(shù)u在M處沿切線方向(指向C的正向一側(cè))的方向?qū)?shù)相等,即解：例4求函數(shù)在點(diǎn)M(2，3)處沿曲線朝x增大一方的方向?qū)?shù)。則三、梯度問題：函數(shù)u在點(diǎn)M沿哪一方向增加的速度最快？由此可見，矢量G的方向就是函數(shù)u變化率最大的方向，其模也正好是這個(gè)最大變化率的數(shù)值。G稱作函數(shù)u在給定點(diǎn)處的梯度，定義如下：1)梯度的概念定義3

若在數(shù)量場u中的一點(diǎn)M處，存在這樣一個(gè)矢量G，其方向?yàn)楹瘮?shù)u在點(diǎn)M處變化率最大的方向，其模也正好是這個(gè)最大變化率的數(shù)值，則稱矢量G為函數(shù)u在點(diǎn)M處的梯度，記作gradu，即2)梯度的性質(zhì)a.

函數(shù)u沿l方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影。b.

函數(shù)u中每一點(diǎn)M處的梯度，垂直于過該點(diǎn)的等直面，且指向函數(shù)u增大的一方。由此可知，在等直面上任一點(diǎn)處的單位法矢量n0，可以用通過該點(diǎn)處的梯度表示如下：梯度運(yùn)算的基本公式例5

求函數(shù)u=x2+2y2+3z2+3x-2y在點(diǎn)(1,1,2)處的梯度，并問在哪些點(diǎn)的梯度為零？故解：在點(diǎn)P0(-3/2，1/2，0)處梯度為0。解:①例6求數(shù)量場u=xy2+yz3在點(diǎn)M(2,-1,1)處的梯度及在矢量方向的方向?qū)?shù).②例7設(shè)有位于坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)電荷q,由電學(xué)知道,在其周圍空間的任一點(diǎn)M(x,y,z)處所產(chǎn)生的電位為:其中試求電位的梯度.解:由于電場強(qiáng)度所以結(jié)論:電場中的電場強(qiáng)度等于電位的負(fù)梯度.第三節(jié)矢量場的通量及散度實(shí)例：

以不可壓縮流體的穩(wěn)定流速場為例，認(rèn)識(shí)通量。如圖所示，S為流速場中的任意曲面，在面積元dS內(nèi)的流速場可以看成均勻流速場。因此，在1秒內(nèi)通過dS的流體的流量，即體積流量：通過曲面S的體積流量可見，通過任意曲面S的體積數(shù)量Q在數(shù)值上等于通過曲面S的流線的數(shù)量。事實(shí)上，這種形式的曲面積分，還存在于其它矢量場中，如電位移矢量D分布的電場中，穿過曲面S的電通量：在磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B分布的磁場中，穿過曲面S的磁通量為了便于研究，數(shù)學(xué)上把形如上述的一類曲面積分，概括成為通量的概念，定義如下：(2)封閉曲面上的面元:封閉面的外法線方向。在矢量分析中,將曲面的一個(gè)面元用矢量來表示,其方向取為面元的法線方向,其大小為ds,即一、通量

是面元的法線方向單位矢量。(1)開曲面上的面元:右手螺旋法則。如果S是一個(gè)封閉面,則定義1矢量沿有向曲面的面積分稱作矢量穿過有向曲面的通量。如果則有此式表明，通量是可以疊加的。1.通量的定義在直角坐標(biāo)系中，設(shè)又則通量可以寫成2.通量在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式負(fù)側(cè)面正側(cè)面3.正、負(fù)、零通量的物理意義流體向正側(cè)面流過面積元，為正流量流體向負(fù)側(cè)面流過面積元，為負(fù)流量表示正流量多于負(fù)流量，表示正流量小于負(fù)流量通量即為向S正側(cè)面流過的正負(fù)流量的代數(shù)和SMS正源負(fù)源泉源（正源）：產(chǎn)生流體漏洞（負(fù)源）：吸收流體統(tǒng)稱通量源至于源的實(shí)際意義為何，應(yīng)視具體的物理場而定。例如對(duì)于靜電場而言：＋結(jié)論：

的值正比于S面中的凈通量源的值，即S

面中的凈電量。－例1在點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場中,任何一點(diǎn)M處的電位移矢量為其中r是點(diǎn)電荷q到點(diǎn)M的距離,是從點(diǎn)電荷q指向點(diǎn)M的單位矢量.設(shè)S為以點(diǎn)電荷為中心,R為半徑的球面,求從內(nèi)穿出S的電通量Φe

.解：二、散度由上述可知，在矢量場A(M)中，對(duì)于穿出閉曲面S的通量Φ，我們可以視其為正或負(fù)得知S內(nèi)有產(chǎn)生Φ的正源或負(fù)源。但僅此還不能了解源在S內(nèi)的分布情況以及源的強(qiáng)弱程度等問題。為了研究此問題，我們引入矢量場的散度概念。定義2設(shè)有矢量場A(M)，于場中一點(diǎn)M的某個(gè)鄰域內(nèi)作一包含M點(diǎn)在內(nèi)的任一閉曲面ΔS，設(shè)其所包圍的空間區(qū)域?yàn)棣う?，以ΔV表示其體積，以ΔΦ表示從其內(nèi)穿出S的通量。若當(dāng)ΔΩ以任意方式縮向點(diǎn)M時(shí)，如圖所示1.散度的定義的極限存在，則稱此極限為矢量場A(M)在點(diǎn)M處的散度，記作比式由此定義可見，散度為一數(shù)量，表示在場中一點(diǎn)處通量對(duì)體積的變化率，也就是在該點(diǎn)處對(duì)一個(gè)單位體積來說所穿出之通量，稱為該點(diǎn)處源的強(qiáng)度。①矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量,是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù).散度的物理意義:③散度代表矢量場的通量源的分布特性.②

散度體現(xiàn)了閉曲面S內(nèi)各點(diǎn)通量源分布的密度；在矢量場中,若,稱之為有源場,;若矢量場中處處,稱之為無源場.(無源)(正源)(負(fù)源)如果把矢量場A中每一點(diǎn)的散度與場中之點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來，就得到一個(gè)數(shù)量場，稱為由此矢量場產(chǎn)生的散度場。2.散度在直角坐標(biāo)系中的表示式定理在直角坐標(biāo)系中，矢量場在任一點(diǎn)M(x,y,z)處的散度為證明：例2.半徑為R，帶電量為q(q>0)的均勻帶電球體的球心位于原點(diǎn)，求球內(nèi)各點(diǎn)電場強(qiáng)度的散度。已知解：說明電場在球內(nèi)各點(diǎn)是向外發(fā)出的，且在球內(nèi)各點(diǎn)均有源，并且是正源。推論1通量公式可以用散度表示：（散度定理）穿出封閉曲面S的通量，等于S所圍的區(qū)域Ω上的散度在Ω上的三重積分。

推論1體現(xiàn)了矢量函數(shù)的面積分與體積分的互換。該公式表明了區(qū)域

中場與邊界上的場之間的關(guān)系。說明：例3球面S上任意點(diǎn)的位置矢量為試?yán)蒙⒍榷ɡ碛?jì)算由散度定理得由于所以解:推論2若在封閉曲面S內(nèi)處處有則推論3若在矢量場A內(nèi)某些點(diǎn)(或區(qū)域)上有或不存在，而在其它的點(diǎn)上都有，則穿出包圍這些點(diǎn)(或區(qū)域)的任意兩張封閉曲面的通量都相等，即為一常數(shù)。解：例4

點(diǎn)電荷q在離其r處產(chǎn)生的電位移為求任意點(diǎn)處電位移的散度?？梢姡c(diǎn)電荷所在源點(diǎn)（r=0）外，空間各點(diǎn)的電位移的散度均為零。因此根據(jù)推論3和例1的結(jié)果可知，電場穿過包含點(diǎn)電荷q在內(nèi)的任何封閉曲面S的電通量都等于q，即若有m個(gè)點(diǎn)電荷，通過疊加得到：對(duì)于在電荷連續(xù)分布的的電場中，電位移矢量D的散度為電位移矢量D的散度等于電荷分布的體密度ρ.3.散度運(yùn)算的基本公式(c為常數(shù))例5

已知求。因?yàn)橛捎趧t解：第四節(jié)矢量場的環(huán)量及旋度實(shí)例：旋度最早是通過研究水流的漩渦建立起來的概念。河水流動(dòng)時(shí)，由于水有內(nèi)摩擦力，因而靠兩岸速度較小，河中間速度較大，故漂在水面上的救生圈一邊順流而下，一邊還會(huì)旋轉(zhuǎn)，這說明水中有漩渦，如圖所示：在平面流速場中，作有向封閉曲線L，如圖所示，則沿L的環(huán)流，環(huán)流:=在勻速場中，V1=V2，則環(huán)流不等于0，說明區(qū)域ΔS有渦漩;環(huán)流等于0，說明沒有渦漩。在變速場中，V1≠V2，則水流沿平行于水管軸線方向流動(dòng)=0，無渦旋運(yùn)動(dòng)流體做渦旋運(yùn)動(dòng)0，有產(chǎn)生渦旋的源流速場如下圖所示：這種形式的曲線積分，在其它矢量場中，也常常具有一定的物理意義。如安培環(huán)路定律：數(shù)學(xué)上把形如上述的一類曲線積分概括成為環(huán)量的概念，定義如下：

表示沿與積分路線成右手螺旋法則的方向通過l上所張曲面S的各電流的代數(shù)和。一、環(huán)量

環(huán)量表示繞線旋轉(zhuǎn)趨勢的大小。定義1

矢量

沿某封閉有向曲線l的線積分稱為矢量場按積分所取方向沿該曲線的環(huán)量(或旋渦量),記為1.環(huán)量定義2.環(huán)量在直角坐標(biāo)系中的表示定理在直角坐標(biāo)系中，設(shè)矢量場又則環(huán)量可以寫成解：

yxOLRR-R-R例1設(shè)有平面矢量場A=-yi+xj，L為場中的星形線，求此矢量場沿L方向的環(huán)量。二、旋度存在,則稱此極限為矢量場在點(diǎn)M處沿方向的環(huán)量面密度.這個(gè)極限的意義就是環(huán)量的面密度,或稱環(huán)量強(qiáng)度。當(dāng)ΔS沿著自身縮向M點(diǎn)時(shí),若極限定義2設(shè)M為矢量場中一點(diǎn)，且Δl與符合右手螺旋關(guān)系,Δl

包圍的曲面為ΔS,如圖所示：1.環(huán)量面密度2.環(huán)量面密度的計(jì)算公式則環(huán)量面密度為：為ΔS在點(diǎn)M處的法矢量，證明：例2求矢量場在點(diǎn)M(1,-2,1)處沿適量方向的環(huán)量面密度。解：由于面元是有方向的,它與封閉曲線Δl的繞行方向成右手螺旋關(guān)系,因此在給定點(diǎn)處,上述極限值對(duì)于不同的面元是不同的。為此,引入如下定義,稱為旋度(curl或rotation):

可見,在給定點(diǎn)處，R在任一方向上的投影，就給出該方向上的環(huán)量面密度。因此R的方向?yàn)榄h(huán)量面密度最大的方向,其模就是最大環(huán)量面密度的數(shù)值，它描述矢量在該點(diǎn)處的旋渦源強(qiáng)度。這個(gè)矢量R稱為矢量的旋度，并定義如下：3.旋度令則定義3若在矢量場中的一點(diǎn)M處存在這樣的一個(gè)矢量,矢量場在點(diǎn)M處沿其方向的環(huán)量面密度為最大，這個(gè)最大的數(shù)值，正好就是|R|,則稱矢量為矢量場在點(diǎn)M處的旋度，記作旋度的物理意義矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。某點(diǎn)的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量面密度的最大值。某點(diǎn)的旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)量面密度面元的方向。在矢量場中，若,稱之為旋度場(或渦旋場)，稱為旋度源(或渦旋源)；若矢量場處處，稱之為無旋場。通常把矢量場中的每一點(diǎn)的旋度與場中之點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來而得到的一個(gè)矢量場，叫做由矢量場所產(chǎn)生的旋度場。例3

求矢量場的旋度.解:例4自由空間中的點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為求任意點(diǎn)處()電場強(qiáng)度的旋度。解:可見,向分量為零;同樣,向和向分量也都為零。故這說明點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場是無旋場。因旋度運(yùn)算的基本公式:梯度的旋度恒等于零旋度的散度恒等于零c為常數(shù)u為數(shù)性函數(shù)證明:例5證明矢量場是無旋場.

00則:所以:為無旋場.證明:例6證明(即標(biāo)量函數(shù)梯度的旋度等于零).

其中因?yàn)樗宰C:因?yàn)槔?證明(即矢量函數(shù)旋度的散度等于零).

其中所以因?yàn)樾却韱挝幻娣e的環(huán)量,因此矢量場在閉曲線l上的環(huán)量就等于l所包圍的曲面S上的旋度之總和,即此式稱為斯托克斯(Stokes)定理或斯托克斯公式。它可將矢量旋度的面積分變換為該矢量的線積分,或反之。三、斯托克斯定理曲面的法向量為

第五節(jié)幾種重要的矢量場兩個(gè)概念

1.線單連通域?qū)內(nèi)任何一條簡單閉合曲線l，都可以作出一個(gè)以l為邊界，且全部位于區(qū)域V內(nèi)的曲面S，即任一閉路都可以收縮為一點(diǎn)。否則，為線復(fù)連通域。

2.面單連通域V內(nèi)任一簡單閉合曲面S所包圍的全部點(diǎn)都在V內(nèi)，即V內(nèi)沒有“洞”。否則，為面復(fù)連通域。

空心球體環(huán)面體一、有勢場定義1設(shè)有矢量場A(M)，若存在單值函數(shù)u(M)滿足

則此矢量場為有勢場。令v＝－u，并稱v為這個(gè)場的勢函數(shù)。說明：1.有勢場是一個(gè)梯度場。2.有勢場的勢函數(shù)有無窮多個(gè)，它們之間只相差一個(gè)常數(shù)。是否任何矢量場都為有勢場呢？有下面的定理。定理1在線單連通域內(nèi)矢量場為有勢場的充要條件是為無旋場。證明：(2)沿G內(nèi)任意簡單閉曲線L的環(huán)量(1)是無旋場，即與路徑無關(guān)；(3)

是一保守場，即在G內(nèi)線積分定理2設(shè)G是單連域，在G內(nèi)存在，則以下四個(gè)命題等價(jià)。(4)是一有勢場，即在G內(nèi)存在u，使

定理2的重要性：(1)給出場論中的一個(gè)具有實(shí)際意義及數(shù)學(xué)意義的重要結(jié)論，即：無旋場有勢場保守場(2)給出了數(shù)學(xué)上判定保守場的多種方法；(3)特別還給出了求勢函數(shù)的方法：相當(dāng)于求某些二元函數(shù)的原函數(shù)的方法，同時(shí)為求解全微分方程提供了一種有效的方法。例1驗(yàn)證向量場是有勢場，并求其勢函數(shù).解：所以，為有勢場。

以下介紹兩種求勢函數(shù)方法。在積分與路徑無關(guān)條件下，選擇特殊路徑，用全微分求勢函數(shù)法。方法1用偏積分求勢函數(shù).方法2要求函數(shù)此例選積分路徑由yxo即：是的一個(gè)原函數(shù)。勢函數(shù)一般表達(dá)式為：方法1要求函數(shù)即亦