中學(xué)數(shù)學(xué)解題方法(第二章數(shù)學(xué)問題發(fā)現(xiàn)與解決的基本方法)

第二章數(shù)學(xué)問題發(fā)現(xiàn)與解決的基本方法數(shù)學(xué)的真正組成部分是問題和解．?dāng)?shù)學(xué)研究主要的就是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題．

——Halmos（美國）數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與解決的基本方法包括：觀察與聯(lián)想、嘗試與實(shí)驗(yàn)、猜想與歸納、類比與推廣．

第一節(jié)觀察與聯(lián)想1.1觀察的意義和作用觀察，就是“仔細(xì)察看”

從心理學(xué)的角度看，觀察是一種有目的、有計劃、有步驟的、主動的、對思維起積極作用的感知活動．包括感覺和知覺．

從信息論的角度看，觀察是外部環(huán)境的信息通過感官輸送到大腦皮層，經(jīng)過加工處理，感知外部世界的過程．包括信息的輸入和信息的初步加工．

從認(rèn)識論的角度看，觀察是人類科學(xué)認(rèn)識的一種重要實(shí)踐活動，是獲取感性經(jīng)驗(yàn)的科學(xué)事實(shí)的根本途徑．

從方法論的角度看，觀察是人們通過感官，或借助于一定的科學(xué)儀器，對客觀對象在自然條件下，有目的、有計劃、有步驟地進(jìn)行考察和描述的一種方法．

觀察是認(rèn)識主體通過感官對客體的認(rèn)識（活動）過程．

觀察是人類科學(xué)認(rèn)識中最重要的實(shí)踐活動，是搜索、獲取經(jīng)驗(yàn)材料和科學(xué)事實(shí)的基本途徑；觀察是進(jìn)行科學(xué)研究的基點(diǎn)，是一切發(fā)明創(chuàng)造的源頭；同時，觀察還是檢驗(yàn)科學(xué)認(rèn)識真理性的標(biāo)尺．1.2聯(lián)想的意義和作用

聯(lián)想——“舉一反三”、“由此及彼”和“觸類旁通”1．接近聯(lián)想

接近聯(lián)想指的是由概念、原理、法則的接近而產(chǎn)生的聯(lián)想，也稱為形似聯(lián)想．它是由數(shù)學(xué)問題的已知條件和結(jié)論的呈現(xiàn)狀態(tài)與結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到相關(guān)或相似的定義、定理、公式和圖形等，是一種由此及彼、由表及里的聯(lián)想．2．類比聯(lián)想

類比聯(lián)想指的是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的總體特征，從具有類似或相似特征的數(shù)、式、圖形以及詳盡內(nèi)容或性質(zhì)等角度進(jìn)行的聯(lián)想，也稱為對比聯(lián)想．3．關(guān)系聯(lián)想

關(guān)系聯(lián)想指的是根據(jù)知識之間的從屬關(guān)系、一般關(guān)系、因果關(guān)系以及其內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行的聯(lián)想．4．逆向聯(lián)想

逆向聯(lián)想指的是從問題的正面想到其反面時進(jìn)行的聯(lián)想．逆向聯(lián)想在解題方法上表現(xiàn)為間接法，如反證法、同一法等．逆向聯(lián)想通常在從正面解題難于實(shí)現(xiàn)時運(yùn)用．5．橫向聯(lián)想

橫向聯(lián)想指的是借助存在于數(shù)學(xué)知識各分支之間，乃至數(shù)學(xué)知識與其他學(xué)科知識之間的相互聯(lián)系而進(jìn)行的聯(lián)想．1.3觀察與聯(lián)想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用舉例

例3求證：正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四面體各面的距離之和為定值．

第二節(jié)嘗試與轉(zhuǎn)換

2.1嘗試的意義和作用

嘗試即試探性解題．

嘗試是探索性思維的重要表現(xiàn)形式之一，它在數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)與解決過程中通常是與數(shù)學(xué)問題的等價轉(zhuǎn)換共同發(fā)揮作用的．2.2轉(zhuǎn)換的意義和作用

數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)與解決過程，究其實(shí)質(zhì)，就是問題的連續(xù)等價轉(zhuǎn)換、連續(xù)化簡的過程．轉(zhuǎn)換的基本方法（1）簡單化轉(zhuǎn)換

考慮符合題意的最簡單情形，嘗試解決，而后將解題策略遷移到一般情形．（2）特殊化轉(zhuǎn)換

將不易發(fā)現(xiàn)解題策略的問題作特殊化轉(zhuǎn)換是一種常用而且重要的方法．在進(jìn)行特殊化轉(zhuǎn)換時，借助特殊點(diǎn)、特殊值、特殊情形最為常用．（3）極端化轉(zhuǎn)換

數(shù)學(xué)問題的極端情形的求解策略與一般情形的求解策略往往存有共性，極端情形的求解策略往往能為一般情形的求解策略提供啟示．（4）分解式轉(zhuǎn)換

從問題的整體結(jié)構(gòu)入手，將問題分解還原為若干個小問題，使問題分解轉(zhuǎn)換為容易解決的小問題，而后各個擊破，從而完成問題的求解．（5）逆行式轉(zhuǎn)換

順推受阻，嘗試逆推；直接求解受阻，嘗試間接求解；正面入手困難，嘗試反面入手．（6）變焦式轉(zhuǎn)換

轉(zhuǎn)換觀察問題的視角，或變換論題，或跨越知識分支審視問題，或數(shù)形互換，從而發(fā)現(xiàn)最容易突破解題障礙的方向與方案．2.3嘗試與轉(zhuǎn)換在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用舉例

第三節(jié)猜想與歸納

3.1猜想的意義和作用

猜想指的是在數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)與解決過程中，通過對特殊情形下數(shù)學(xué)問題的觀察、聯(lián)想，捕捉其本質(zhì)屬性，進(jìn)而大膽猜想，得出一般情形下的數(shù)學(xué)結(jié)論或方法．

沒有大膽的猜測，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)．

——牛頓3.2歸納的意義和作用

以對特殊情形下數(shù)學(xué)問題的觀察、聯(lián)想為基礎(chǔ)，以大膽猜想為前提，得出歸納判斷，而后對歸納判斷加以論證，確定其真實(shí)性，這一方法的思維基礎(chǔ)便是歸納思想．

歸納思想在數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)與解決過程中具體體現(xiàn)為歸納推理，歸納推理的方法稱為歸納法．

數(shù)學(xué)問題發(fā)現(xiàn)與解決過程中的歸納法，指的是通過對同一類數(shù)學(xué)問題的特殊情形的研究，進(jìn)而得出一般結(jié)論的方法．3.3猜想與歸納在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用舉例

第四節(jié)類比與推廣

4.1類比的意義和作用

類比指的是通過對一個事物的認(rèn)識來認(rèn)識與之相似的另一事物的認(rèn)識方式．

相似的系統(tǒng)在某個方面彼此一致，類比的系統(tǒng)則其相應(yīng)部分在某些關(guān)系上相似；如果兩個系統(tǒng)各自的部分之間在其可以清楚定義的一些關(guān)系上一致的話，那么這兩個系統(tǒng)就可作類比．——波利亞

在數(shù)學(xué)里發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比．

——拉普拉斯

我珍視類比勝過任何別的東西，它是我最信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學(xué)中它是最不容忽視的．

——開普勒

類比是一種“合情”的“似然”推理，其結(jié)論的正確性必須經(jīng)過進(jìn)一步的論證．這是因?yàn)?，類比的推理過程中使用的“相似”本身就是不確定的．4.2推廣的意義和作用

推廣是一種“合情”的“似然”推理，其前提與結(jié)論之間的因果關(guān)系不是必然、而是或然的．因此，數(shù)學(xué)問題推廣所得結(jié)論的正確性必須經(jīng)過進(jìn)一步的論證．

數(shù)