(高一新教材第二冊(cè)配套學(xué)案) 向量的數(shù)量積

226.2.4學(xué)習(xí)目標(biāo)

向量的數(shù)量積核心素養(yǎng)1．平面向的數(shù)量積．(重點(diǎn))2．投影向的概念．(難點(diǎn))3．向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)的乘法的區(qū)別．(易混點(diǎn))

1．通過(guò)平面向量的物理背景給出向量數(shù)量積的概念和幾何意義的學(xué)習(xí)培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2．通過(guò)向量數(shù)量積的運(yùn)算學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)大力士拉車，沿著繩子方向上的力為F車的位移是，力和位移的夾角為θ.問(wèn)題：該大力士所做的功是多少？1．兩向的夾角→→定義已知兩個(gè)非零向量abO是平面上的任意一點(diǎn)作OA＝aOB＝b，則∠AOB＝≤≤叫做向量與的夾角．特例：①當(dāng)θ＝時(shí)，向量a，同向．②當(dāng)θ＝π時(shí)，向量a，b反向．π③當(dāng)θ＝時(shí)，向量，b垂直，記作a⊥2．平面量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量a與它們的夾角為θ把數(shù)量ab|·cosθ叫做向量與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作，即＝|a||bθ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.1/11

11111111思考1：量的數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同？[示]

兩個(gè)向量數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)量，向量線性的結(jié)果是向量．3．投影量→→→設(shè)，是兩個(gè)非零向量，＝a，CD，過(guò)B的起點(diǎn)和終點(diǎn)B，分別→→作CD所在直線的垂線，垂足分別為A，B，得到，這種變換為向量向向→量b投影，叫做向量在向量上的投影向量．4．向量量積的性質(zhì)設(shè)a，是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向，則a·e＝＝θ.ab＝0.當(dāng)a同向時(shí)，a·b＝a||b；當(dāng)ab反向時(shí)，a·b＝－a||b特別地，＝|a2

或|a＝a·b|≤|a||b|.5．向量量積的運(yùn)算律＝.λa·b＝()＝aλ)．a(chǎn)＋)＝＋b·c思考2：a·(b＝(abc成嗎？[示]

a)·≠·(b)因?yàn)閎bc是數(shù)量積，是實(shí)數(shù)，不是向量，所以(a)·c向量c線，ab與向量a線．因此，()·＝·(c)一般情況下不成立．拓展：2/11

2642＝＝，32642＝＝，31．個(gè)向量b夾角為銳角時(shí)，a·b0且a不共線；兩個(gè)向量，的夾角為鈍角時(shí)，<0，不共線．2．量積的定義中要注意兩向量的夾角一定要同起點(diǎn)．兩向量夾角的范圍是[π]．1．思考析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”若a＝0，則a＝0＝0.若λa＝0，則＝0或＝0.若a2＝b2，則a＝ba＝－若a＝a，則b＝.

()()()()[案]

×

(2)√

×

×2．已知單向量a，b，夾角為，則ab＝()A．

12

B．

32

C．1D．－

121A[＝1×1＝.]3已知向量ab滿足a＝b＝且b＝則與的夾角θ為()ππππA．B．C．．C[條件可知，cos＝

ab1|ab1×4又∵0≤≤π，∴θ＝

π.]4．已知向a，b滿足a＝，＝，且a與的夾角為60°，那么＝________.3

[a·bab|cos＝2××

12

＝平面向量的數(shù)量積運(yùn)算3/11

→→→→→→→→→→→→→→→→→→→2【例1】已知|a＝6，＝4，a與的夾角為，求a＋2)·(＋3．→→如圖，在ABCD中，AB＝4，|AD＝，∠＝60°求：→→→→①ADBC；②[]

a2b)·(a＋3b＝＋＋6b·b＝＋5＋6|b＝

＋5|ab|cos60°6|b2＝65×6×4×cos60°＋6×4＝→→①因?yàn)椤蜝C

，且方向相同，所以與C夾角是0°所以·BCAD|·cos＝3×3×1②因?yàn)榕cD的夾角為，所以與DA夾角為120°所以·＝AB||DA|·cos120°＝4×3×求平面向量數(shù)量積的步驟求與的夾角θ，θ∈[0分別求|a和b求數(shù)量積，即a·b|ab|cosθ，要特別注意書(shū)寫(xiě)時(shí)a與b之間用實(shí)心圓點(diǎn)4/11

11“·”接，而不能用“×”連接，也不能省略．[進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)已知＝2，＝，與b的夾角θ為60°，求：①ab；②a－)·(＋b．→→→設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為＝cBC＝aCA＝b求ab＋＋ca[]

①a＝bθ＝2×3×cos60°3.②(2a)·(＋3b)＝2a

2

＋5a－3

2＝a25－3|＝2×25×3324.∵a＝b＝|c＝2且與bb與，a夾角均為∴abb＋c＝2×2×120°×＝－與向量模有關(guān)的問(wèn)題【例2】(1)已知向量a的夾角為＝2＝1a＋2b＝________.已知向量a夾角為，且|a＝，|2a＋＝10，求b[路探究]

靈活應(yīng)用a

2

＝a求向量的模．(1)2

＋2

＝(a2)

＝

＋a|·|2b|·cos60°b2＝2

2

＋2×2×2×2

2

＝44412所以＋＝12(2)[解]

因?yàn)?ab＝10所以(2a)2

＝，所以

2

＋4＋

2

＝10.又因?yàn)橄蛄颗c的夾角為且a＝15/11

222222所以×

2

＋4×1×b×＋22

＝10|a

整理得b22|b－6，解得b＝2b＝－2(去)．求向量的模的常見(jiàn)思路及方法(1)模問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用，勿忘記開(kāi)方．

2

＝a·aa

＝

或a＝

2

質(zhì)可用來(lái)求向量的模實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化．(3)一些常見(jiàn)的等式應(yīng)熟記，如ab)

＝

2

a·bb2

，(a)·(b＝

2

－

2等．[進(jìn)訓(xùn)練]2．若向量ab的夾角為120°，a＝，a－2b＝，則＝()A．

12

B．

72

C．1D．C

[向量ab的夾角為θ，因?yàn)椋?/p>

＝|a2b24|a||b|cosθ又θ＝120°a|12b＝7所以＝＋2

＋2|b，解得＝－

32

(舍去)|b＝1.選．]與向量垂直、夾角有關(guān)的問(wèn)題[究問(wèn)題]1．與都是非零向量，若⊥，則a等于多少？反之成立嗎？[示]

a⊥ab0.2．b與ab的大小關(guān)系如何？為什么？對(duì)于向量，b如何求它們的夾6/11

1212121121212112121222122角θ[示]

b≤ab，設(shè)與b夾角為θ，則·＝|cos兩邊取絕對(duì)值得：|ab＝|abθ|≤當(dāng)且僅當(dāng)|＝1即cosθ＝±1θ＝0°取“＝”，所以≤a，cosθ

ab|ab|

.【例3】已知e與是兩個(gè)互相垂直的單位向量向量＋e與e＋e的夾角為銳角，則的取值范圍為_(kāi)_______．已知非零向量a，滿足＋與7a－5互相垂直，a－4與7a－2互相垂直，求a的夾角．[路探究]不相同．

(1)個(gè)向量夾角為銳角等價(jià)于這兩個(gè)向量數(shù)量積大0且方向由互相垂直的兩個(gè)向量的數(shù)量積為列方程，推與的關(guān)系，再求a與b夾角．∪，＋∞)[∵e＋e與ke＋的夾角為銳角，∴e＋e)·(e＋)＝ke

＋ke＋(

＋e1

·＝2k0∴＞0.當(dāng)k1，1ke1它們的夾角為0°不符合題意，舍去．綜上，k的取值范圍為k0≠1.](2)[解]

由已知條件得7/11

b2a·b2311121212231221b2a·b23111212122312211222121221212222122即

216b＝0230b8＝0

①②②－①得23b2

－＝0∴2＝

2

，代入①得ab2∴|a＝，∴θ＝

1＝＝|abb2

12

.π∵θ∈[0π]，∴＝.1．將本例(1)中的條件“銳角”改為“鈍角”，其他條件不變，求k的取值范圍．[]

∵e＋ke與ke＋的夾角為鈍角，∴e＋e)·(e＋)＝e＋e＋

＋e1

·e＝k，∴k0.當(dāng)k－1，ke與12方向相反，它們的夾角為，不符合題意，舍去．綜上，k的取值范圍是k0≠－1.π2．將本例(1)中的條件“銳角”改為“”，求的值．k2

[解]由知|e＋ke|＋1k2＋2ke·＋e＝

e＋2ke·＋k

2

＝

1

，＋e＝e＋e)·(e＋)＝ke

＋ke＋(

＋1)e1

·e＝，8/11

πe22k3212πe22k32122222π222222則cos＝＝，|e＋ke||ke＋＋k即＝，整理得1

－4k10解得k

122

＝1．求向夾角的方法求出，a，|b，代入公式cos＝

a·b求解．|ab用同一個(gè)量表示a·b，|a，|b，代入公式求解．借助向量運(yùn)算的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求夾角．2．要注意θ的范圍∈[0π]，當(dāng)θ＞時(shí)，θ∈θ＜0π時(shí)，θ∈，cosθ＝時(shí)，＝.一、知識(shí)必備1量a與的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)一個(gè)向量值可以為正(a≠0，ππb≠0,0θ＜時(shí))，也可以為(當(dāng)a0≠，＜≤π時(shí))，還可以當(dāng)a＝π或b＝0或θ＝時(shí))．2．兩非零量a，b，a⊥a＝0，求向量模時(shí)要靈活運(yùn)用公a＝.二、方法必備a·b1個(gè)非零向量a夾角θ或其余弦值一般采用夾角公式θ＝，根據(jù)題中條件分別求出a，b和，確定θ時(shí)要注意θ∈[0π]．2．由夾角圍求參數(shù)的取值范圍一般利用以下結(jié)論：對(duì)于非零向量，b，9/11

22→→636133π3＝|22→→636133π3＝|ππ其夾角為θ則θ∈＞∈，＜轉(zhuǎn)化為不等式組)求解．→→1．在ABCD中，∠DAB＝30°，則與D的夾角為()A．C．120°

B．D．150°D[圖，與D的夾角為∠＝150°.]2已知單位向量a，b，則(2aa－)的值為()A．C．3

B．5D．5C[題意得(＋ba)4a

－b

2

＝4＝3.]3．已知平向量a，滿足·(a＋＝且a＝2，＝1則向量a與b的夾角為()ππ2π5πA．B．C．．C[為aab＝a2

＋ab4〈3所〈ab＝－，2又因