傳熱和傳質基本原理 第七章 晶體生長中的輸運理論

第七章

晶體生長中的輸運理論晶體生長發(fā)展的基礎是相平衡理論，但生長的實際過程卻是非平衡態(tài)過程。存在不同模式的輸運過程、這些輸運過程主要包括：非平衡平衡狀態(tài)

熱量質量動量輸運的原因系統(tǒng)內各部分的“輸運勢”不相等輸運的結果輸運對晶體生長的影響：生長速率生長界面的穩(wěn)定性晶體質量7.1輸運理論的基本方程

7.1.1動量輸運

1動量輸運流體相內各部分之間的運動速度不同，因此，存在流體相對運動，考慮到流體內部的摩擦作用（粘滯性），因而輸運了動量，描述流體的運動(Navier-Stokes)方程可分成：I強迫對流系統(tǒng)的流體動力學方程；II自然對流系統(tǒng)的流體動力學方程.流體中輸運過程的兩種機制：

遷移傳導或擴散即通過某一流動系統(tǒng)，流體及其任一性質整體地逐點移動的直接過程

質量或熱量或動量朝著濃度、溫度或動量減小的方向遷移的過程

I強迫對流系統(tǒng)的Navier-Stokes方程式中，V為流體運動速度；為流體密度；為流體的動力粘滯系數；p為壓強；f為作用在流體基元上的體積力．

該式左邊括號中為流體加速度，故等式左邊為單位體積的質量與加速度的乘積，即單位體積流體的慣性力；右邊第一項為單位體積流體的粘滯力，后兩項分別為考慮到壓力梯度和重力而引入的。

II自然對流系統(tǒng)的流體動力學方程T為由于溫度不均勻性而引起的體膨脹系數；c則為由于濃度不均勻性而引起的體膨脹系數。

運動流體中質量輸運有兩種完全不同的機制：I流體中存在濃度差時發(fā)生的分子擴散流體中物質的對流擴散

II溶解于流體中的物質的質點，在流體宏觀運動中被流體帶動并一起輸運。＋7.1.2對流擴散－質量輸運

對于不可壓縮流體的流動，物質的對流擴散方程為：式中，C為溶質濃度，V為流體的運動速度，D為擴散系數。

如果流體處于靜止狀態(tài)，即V＝0，此時流體的質量輸運純屬于溶質的擴散作用，則上式變?yōu)镕ick定律：密度、熱容、導熱系數等隨溫度的變化為常數時，在不考慮對流傳熱所引起的能量損耗時的對流傳熱方程可表示為：式中，Cp為流體的定壓熱容，K為熱傳導系數。7.1.3對流傳熱—熱量輸運如果流體處于靜止狀態(tài)，即V＝0，此時流體的熱量輸運為熱傳導的Fourier方程：1某參量對時間的改變率或者，7.1.4算法例如：2參量B對時間的改變率隨體導數：式中左邊第一項稱為參數B的隨體導數；當地導數：式中右邊第一項是在位置坐標不變的條件下，參數B對時間的偏導數，表示流場中某一固定點的參數量對時間的改變率，稱為當地導數；遷移導數：V·B是由于參數B在空間分布不均勻性而引起的，它只有在非均勻流體中存在，稱為遷移導數。1壓縮性流體流體在運動過程中，如果每個質點的密度(或比容)不變，這種流體即可稱為不可壓縮流體；否則，就稱為可壓縮流體。7.1.5流體的壓縮性和定常性問題：不可壓縮流體流場中密度一定均勻分布？

2均質流體定義：密度不隨坐標而改變的流動稱為均質流動。問題：什么是不可壓縮均質流體？

定義：不隨位置改變，也不隨時間而改變。3定常流體如果所有物理參數的當地導數都等于零，這種流動則稱為定常的．否則．稱為非定常的。1連續(xù)性方程連續(xù)性方程是質量守恒定律對于運動流體的表達式。在單位時間內，經封閉曲面流入和流出的流體質量的總和應等于在同一時間段內，該封閉曲面內流體質量的變化。

7.1.6連續(xù)性方程對于不可壓縮均質流體，有＝常數：7.2混合傳輸的動力學方程組

1混合傳輸

熱和質的同時傳輸即為混合傳輸。如果不考慮導熱、擴散和內摩擦三種不可逆過程引起的能量耗散。

對流傳熱方程對流擴散方程不可壓縮均質流體的連續(xù)性方程強迫對流系統(tǒng)的Navier-Stokes方程2混合傳輸的求解

求解結果模擬方法物理模擬數學模擬量綱分析區(qū)域近似7.3邊界層理論1流場的兩個區(qū)域

邊界層－緊貼物體表面非常薄的一層區(qū)域，稱為邊界層；外部流動－邊界層以外的整個流動區(qū)域，稱之為外部流動。2粘性應力邊界層內粘性應力:

速度從相當高的勢流值連續(xù)降低到物體表面上的零值是在非常狹窄的邊界層內完成的。因此，它的變化異常急劇，速度梯度很大，雖然在大Re數的情況下，流體的粘滯系數很小，但因很大，故粘性應力仍然可以達到很高的數值。外部流動粘性應力:

粘性力全部略去，把流體近似地看成是理想的。3邊界層的厚度通常用邊界層沿物體表面法線方向的距離即邊界層的厚度dV表征邊界層的區(qū)域：人為地約定與來流速度相差1％的地方就是外部邊界。平板的速度邊界層厚度dV(x)旋轉圓盤下的速度邊界層厚度為

為流體的運動粘滯系數，V0為流體的整體速度、x為平板上的坐標。

w為旋轉圓盤的轉速

4速度邊界層用提拉法生長晶體時，類似于旋轉圓盤的情況。如果我們在晶體生長過程中，采用速度邊界層近似，對流體運動的處理就會大大簡化，旋轉晶體對生長的影響，可以只歸結于對速度邊界層厚度的影響。例如：對提拉法生長晶體中晶體旋轉的攪拌效應，可以通過上頁式子歸結為角速度w對dV的影響：越大，w越小，則dV就越大。

5溶質邊界層主要由對流傳遞決定溶質分布溶質邊界層dc濃度不變區(qū)域對流起作用溶質分布完全均勻擴散起作用溶質直線分布旋轉圓盤下的濃度邊界層厚度為

D為溶質擴散系數，為運動粘滯系數,w為旋轉圓盤的轉速

提拉法生長晶體的溶質邊界層，近似于旋轉圓盤下的溶質邊界層的情況。流體中的自然對流和強迫對流對晶體生長過程中所產生的分凝效應的影響，可歸結為對流對溶質邊界層厚度dc的影響，不同的溫度梯度場所產生的自然對流以及用不同的攪拌方式所產生的強迫對流，都將以不同的方式影響溶質邊界層的厚度dc。6溫度邊界層主要對流傳熱熱擴散傳熱晶體旋轉對流體中的速度邊界層、溶質邊界層和溫度邊界層的影響都是相似的，即邊界層的厚度都是與晶體旋轉角速度w的平方根成反比。

7湍流和強迫對流1層流：在速度邊界層內，流體速率隨著接近界面而連續(xù)減小，距界面距離相同的流體薄層內，流體的流速是相同的,各流體薄層間作相對滑動，這種流動稱作層流。2湍流：流動體的跡線是紊亂而瞬變的，其流動速度是在某一平均值附近作規(guī)則地脈動著，稱這種流動為湍流。Re層流湍流輸運過程7.4輸運理論的應用提拉法生長晶體時晶體中的溫度分布溫度分布熱應力位錯密度晶體開裂，缺陷7.4.1晶體中的溫度分布晶體半徑ra，長度l，晶體各向同性，密度r，比熱c，熱傳導系數K；穩(wěn)態(tài)溫場。r使非線性方程線性化：令：(r，z)＝T(r，z)-T0。其邊界條件為：式中，為熱交換系數，是對流熱交換系數與輻射熱交換系數之和。滿足上述邊界條件的偏微分方程式的近似解為：晶體中溫度梯度矢量沿軸向z和沿徑向r的分量分別為：h＝／K或：或：式中的h＝／K，即為晶體與環(huán)境的熱交換系數與晶體本身的熱傳導系數K之比值。討論：1(r，z)1）在晶體內同一水平面上(即z為常數)以r為半徑的圓周上(即r為常數)的任意點的溫度都相同。2）通常h<<1cm-1(如Ge的h=1．5×10-2cm-1)而ra的量級為1～2cm，不管h值的正負如何,分母:(1－h(huán)ra/2)＞0因此當z為常數時:(r、p)～(常數)(1－h(huán)r2/2ra)(r、z)～(常數)(1－h(huán)r2/2ra)當h＝／K>0，即環(huán)境氣氛冷卻晶體,晶體中的溫度隨r增大而降低．此時晶體中的等溫面凹向熔體。(r、z)～(常數)(1－h(huán)r2/2ra)但是當h＝／K＜0，由(r、z)～(常數)(1－h(huán)r2/2ra)可知，晶體在同一水平面上的溫度，將隨r的增加而升高．故此時的等溫面凸向溶體。3）如r為常數，(r、z)～(常數)·exp[-(常數)·z]，晶體中的溫度隨z的增加而按指數律減小。1）r=constant此時晶體中溫度梯度的軸向和徑向分量都隨z的增加而按指數規(guī)律減小。

2）z=constant7.4.2熔體中的溫度場與速度場穩(wěn)態(tài)溫場，并且具有旋轉對稱性情況下：1.當晶體不旋轉時、坩堝中的液流為自然對流。2.當晶體轉速為40r／min時，坩堝中同時存在自然對流和強迫對流。自然對流強迫對流由于晶體的旋轉．在熔體上部產生了強迫對流的環(huán)流，由于此環(huán)流是沿灼熱的坩堝壁螺旋下降．再于晶體下方螺旋上升．這樣必然將更多的熱量輸送到晶體下方。這一效應就等價于將等溫面向上推擠。由于固液界面是溫度為凝固點的等溫面，故晶體旋轉能使固液界面由凸變平．或由平變凹。其次．晶體旋轉可使晶體下面熔體中的等溫面變密，從而提高了固液界面附近熔體中的溫度梯度。

7.4.3穩(wěn)定狀態(tài)的生長速率

熱量輸運晶體生長速率熔體中熱量輸運晶體中熱量輸運在固液界面處的熱流包括三部分：

QL表示在單位時間內由固液界面液相一側流入固液界面的熱量；

QS表示在單位時間內由固液界面固相一側流走的熱量；

Qc則表示在單位時間內結晶放出的潛熱。QCQSQLTO假設：令，晶體的結晶線速度為V，單位質量的熔體轉變?yōu)榫w時所釋放的結晶潛熱為H，晶體的密度為，則有:分析：QCQSQLTO關于V結構因素加熱因素冷卻因素QCQSQLTOV<0，籽晶回熔V>0，晶體生長過冷熔體QCQSQLTOTOTO7.5提拉法晶體生長中的界面翻轉7.5.1界面反轉的概念晶體生長過程中，當晶體旋轉速度和其他生長條件不變的條件下，隨著晶體直徑的增大，當晶體直徑達到某一臨界值時，固液界面會由凸形變?yōu)槠浇缑婊虬冀缑?。這種界面形狀的突變被稱為界面翻轉。它暗示：流體的流動狀態(tài)是一個突變過程。自然對流強迫對流SL界面前沿自然對流占優(yōu)SL界面前沿強迫對流占優(yōu)7.5.2界面反轉的臨界條件晶體生長過程中，坩堝中的流體存在兩種流動：1當由于強迫對流引起的慣性力大于由于流體粘性引起的粘性力時，流體就會產生強迫對流，可以用Re強表示：是晶體旋轉速度；熔體運動粘度；d晶體直徑。2當由于溫度差引起的自然對流的浮力大于由于流體粘性引起的粘性力時，流體就會產生自然對流，可以用Gr表示：T是溫度引起的體膨脹系數；T為坩堝中心與坩堝壁之間的溫度差。流體由自然對流轉變?yōu)閺娖葘α鞯呐R界條件為：或者：dC是流體由自然對流轉變?yōu)閺娖葘α鲿r晶體的臨界直徑。7.5.3說明與討論1界面反轉產生的原因界面反轉是因熔體流動狀態(tài)突變所致。SL界面前沿自然對流占優(yōu)SL界面前沿強迫對流占優(yōu)2界面反轉產生的時期提拉法生長晶體放肩階段；轉入等徑生長階段；晶體生長結束時，由于坩堝內熔體減少，T變小，dc相應減小。3防止界面翻轉的措施在晶體直徑達到dc之前，或晶體生長后期，減小。7.6溶質分凝與質量輸運

1晶體中溶質是如何分布的？ThisChapter2溶質是如何影響晶體的生長過程的？NextChapter我們將關注于這樣兩個問題：7.6.1分凝與分凝系數1分凝CrystalLiquidINTERFACEC0CSCL2平衡分凝系數INTERFACEC0CSCLk0=CS/CL3平衡分凝系數的性質（1）平衡分凝系數僅僅與溶劑和溶質的性質有關溶質的化學勢可表示為：溶質在固相和液相中的化學勢分別為：S0和L0分別表示固相和液相在標準狀態(tài)下的化學勢，a為溶質的活度。當固液兩相平衡時，對稀溶液：通常情況下，k0僅僅適用于理想熔體，如Cu－Ni熔體；或稀熔體，即，C0很小時。（2）平衡分凝系數有三種情況；CLTC0C0C0TTCLCLCSCSCSk0>1k0=1k0<17.6.2溶質保守系統(tǒng)中的濃度場1溶質保守系統(tǒng)晶體生長過程中，晶體—熔體系統(tǒng)中的溶質總量不變，這樣的生長系統(tǒng)稱為溶質保守系統(tǒng)。2準靜態(tài)生長過程中的溶質分布所謂準靜態(tài)生長過程，是指生長速率十分緩慢的過程，這樣就可以把整個生長過程近似作為熱力學平衡過程。k0=CS/CL在生長過程中，S/L為平面;

忽略凝固時的體積變化及溶質的揮發(fā)損失；溶液中的溶質分布完全均勻的，固相中溶質無擴散；

k0為常數，且假定k0＜1。CrystalLiquidz/dz/Lz/界面上溶質守恒：

凝固dz’，排出的溶質量為：由于溶質排出，導致熔體溶質升高為：CL0k0CL0z’當：因此，在生長后期此式已不再適用。3溶質的擴散效應溶液中的溶質傳輸只是由于擴散而致，即不考慮對流效應；令單位時間內單位面積的固液界面排泄的溶質為：式中、CL（0）和Cs分別為固液界面處溶液和固溶體中的溶質濃度，V為晶體生長速率。固液界面處溶質向液溶中擴散的質流密度為：z/CS(z/)zvCL(z)k0CLoClo/k0CLoCL(z)包絡線z/L在固液界面前沿形成了穩(wěn)態(tài)的溶質邊界層：z/CS(z/)zvCL(z)k0CLoClo/k0CLoCL(z)包絡線z/L運動坐標系中的一維穩(wěn)態(tài)溶質擴散方程為：滿足上述方程的解為：z/CS(z/)zvCL(z)k0CLoClo/k0CLoCL(z)包絡線z/L分析：溶質邊界層的特征厚度。

固定坐標系晶體溶質分布，令：滿足上述方程的解為：令：令z’>>l/k0時，CS(z’)CL0，為穩(wěn)態(tài)分凝。

z’<l/k0時，晶體中的濃度逐漸增加，為瞬態(tài)分凝,分凝長度為：生長的單晶除了起始段（z’＝l/k0

）和尾部一段，晶體成分均勻，由此，通常情況下，認為，大坩堝拉小晶體，有利于獲得較大的溶質均勻區(qū)。問題：1熔體中的熔體可以完全均勻嗎？2熔體中僅僅存在擴散嗎？答案：否！4對流效應對溶質分凝的影響對流將顯著改變熔體中熱量和質量的傳輸，從而改變晶體中的溶質分布。

Burton近似（1）對流對溶質場的影響可歸結為對溶質邊界層厚度的影響：（2）當z＞dc

時，熔體中溶質分布是完全均勻的；（3）當0zc時，溶質傳輸只是擴散傳輸。滿足上述方程的解為：5有效分凝系數的概念幾個問題：（1）平衡分配系數：INTERFACEC0CSCLk0=CS/CL（2）界面平衡分配系數：z/CS(z/)zvCL(z)k0CLoClo/k0CLoCL(z)包絡線z/Lk0=CS（0）

/CL（0）（3）如何求得界面平衡分配系數熔體中存在對流情況下，界面前沿熔體中溶質分布可以表示為：這樣求解十分困難，實用上往往可以根據該時刻溶液中的平均濃度CL來求出晶體中的溶質濃度，為此，可定義有效分凝系數kef：晶體中的溶質濃度可以表示為：CS=kef

CLCL為溶液中的平均濃度。分析與討論：（1）V0時，c0，則k