現(xiàn)代分析第八章

今天講這個(gè)東西！2023/2/5新課程現(xiàn)代數(shù)學(xué)——《分形幾何簡(jiǎn)介》2分形幾何簡(jiǎn)介

AnIntroductionto

FractalGeometry現(xiàn)代分析第八章上帝必定是一個(gè)幾何學(xué)家！Godmustbeageometer！

名人名言

——伽利略——Galileo分形(fractal)分形幾何理論誕生于20世紀(jì)70年代中期，創(chuàng)始人是美國(guó)數(shù)學(xué)家---曼德布羅特(B.B.Mandelbrot)，他1982年出版的《大自然的分形幾何學(xué)》(TheFractalGeometryofNature)是這一學(xué)科經(jīng)典之作。分形(fractal)是20多年來(lái)科學(xué)前沿領(lǐng)域提出的一個(gè)非常重要的概念，混沌(chaos,)、分形和孤立子(soliton)

是非線(xiàn)性科學(xué)(nonlinearscience)中三個(gè)最重要的概念。幾何學(xué)的基本研究對(duì)象是“空間形式的抽象化——形。研究形的各種變換不變性質(zhì)形成了不同研究?jī)?nèi)容的幾何學(xué)——?dú)W幾里德幾何學(xué)、射影幾何、拓?fù)鋵W(xué)、……用不同的方法去研究形，又形成了以研究方法為特征的各種幾何學(xué)——幾何學(xué)的發(fā)展陳省身的觀(guān)點(diǎn)歷史上幾何學(xué)可分為六個(gè)時(shí)期：1)公理(歐幾里德)；2)坐標(biāo)(笛卡爾，費(fèi)馬)；3)微積分(牛頓，萊布尼茲)；4)群(克萊因，李)；5)流形(黎曼)；6)纖維叢(嘉當(dāng)，惠特尼)。7）分形幾何（曼德布羅特）兩千多年來(lái)，雖然幾何學(xué)的研究方法發(fā)生了多次革命，但是其研究對(duì)象卻始終保持在兩千多年前的局面——?dú)W幾里德幾何對(duì)象——直線(xiàn)、平面、圓形、球形、正方形、正方體乃至其它的如二次曲線(xiàn)之類(lèi)的空間規(guī)則圖形。幾何學(xué)的發(fā)展2023/2/58歐幾里德幾何學(xué)的局限傳統(tǒng)的歐幾里德幾何學(xué)已經(jīng)在改造自然、訓(xùn)練思維、推進(jìn)人類(lèi)文明方面發(fā)揮了不可替代的作用。但是，歐幾里德幾何所研究的圖形限于直線(xiàn)、平面、圓形、球形、正方形、正方體乃至其它的如二次曲線(xiàn)之類(lèi)的空間規(guī)則圖形。當(dāng)我們嚴(yán)格地去分析歐幾里得幾何與自然的關(guān)系時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，要想在自然界中找到真正的圓形、球形、正方形、正方體等，幾乎是不可能的，歐幾里德幾何圖形其實(shí)只是人類(lèi)對(duì)大自然的理想化產(chǎn)物。歐幾里德幾何學(xué)的局限黑板房子轎車(chē)盒子太陽(yáng)描述事物：平時(shí)我們可以用歐幾里德幾何圖形近似地表示形狀簡(jiǎn)單的物體.歐幾里德幾何學(xué)的局限可是對(duì)于一些不規(guī)則而復(fù)雜的物體，用什么方法描述這些幾何圖形呢？歐幾里德幾何學(xué)的局限歐幾里德幾何圖形并不能準(zhǔn)確地描述大自然測(cè)量事物歐幾里得幾何學(xué)的研究對(duì)象僅涉及具有特征長(zhǎng)度的幾何物體：0維空間：點(diǎn)，可以計(jì)數(shù)，沒(méi)有長(zhǎng)度；1維空間：線(xiàn)段，有長(zhǎng)度，沒(méi)有寬度；2維空間：矩形，有周長(zhǎng)、面積，沒(méi)有體積；3維空間：方體，有表面積、體積；自然界中很多物體具有特征長(zhǎng)度，比如：人有高度、山有海拔高度等。歐幾里德幾何學(xué)的局限歐幾里德幾何學(xué)的局限但是事物大多沒(méi)有這么簡(jiǎn)單。美國(guó)計(jì)算機(jī)科學(xué)家曼德?tīng)柌剂_特（Mandelbrot

）就提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：英國(guó)的海岸線(xiàn)有多長(zhǎng)？海岸線(xiàn)

英國(guó)的海岸線(xiàn)地圖英國(guó)的海岸線(xiàn)有多長(zhǎng)？英國(guó)的海岸線(xiàn)有多長(zhǎng)？當(dāng)你用一把固定長(zhǎng)度的直尺來(lái)測(cè)量時(shí)，對(duì)海岸線(xiàn)上兩點(diǎn)間的小于尺子尺寸的曲線(xiàn)，只能用直線(xiàn)來(lái)近似。因此，測(cè)得的長(zhǎng)度是不精確的。如果你用更小的尺子來(lái)刻畫(huà)這些細(xì)小之處，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些細(xì)小之處同樣也是無(wú)數(shù)的曲線(xiàn)近似而成的。隨著你不停地縮短你的尺子，你發(fā)現(xiàn)的細(xì)小曲線(xiàn)就越多，你測(cè)得的曲線(xiàn)長(zhǎng)度也就越大。如果尺子小到無(wú)窮小，則測(cè)得的長(zhǎng)度將是無(wú)窮大。英國(guó)的海岸線(xiàn)有多長(zhǎng)？得到的結(jié)論是：海岸線(xiàn)的長(zhǎng)度是多少？——這取決于所用尺子的長(zhǎng)短。精細(xì)的測(cè)量發(fā)現(xiàn)：海岸線(xiàn)的長(zhǎng)度是無(wú)限的！而顯然海岸線(xiàn)的面積為零；而我們確實(shí)看到了海岸線(xiàn)的存在，而且海岸線(xiàn)應(yīng)該是有界的。但是，海岸線(xiàn)面積為零，長(zhǎng)度無(wú)窮，究竟海岸線(xiàn)的什么量有界呢？英國(guó)的海岸線(xiàn)有多長(zhǎng)？海岸線(xiàn)的長(zhǎng)度問(wèn)題，并不僅僅是一個(gè)特別的個(gè)例！許多事物都有類(lèi)似的困惑——2023/2/520分形幾何學(xué)被譽(yù)為大自然的幾何學(xué)的分形（Fractal）理論，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)新分支，其本質(zhì)是一種新的世界觀(guān)和方法論。它承認(rèn)，在一定條件下、一定過(guò)程中、在某一方面（形態(tài)，結(jié)構(gòu)，信息，功能，時(shí)間，能量等），世界的局部可能表現(xiàn)出與整體的相似性；它承認(rèn)，空間維數(shù)的變化既可以是離散的，也可以是連續(xù)的……分形幾何學(xué)2023/2/522認(rèn)識(shí)分形2023/2/523分形理論源自于數(shù)學(xué)內(nèi)部2023/2/524“病態(tài)”的“數(shù)學(xué)怪物”“病態(tài)”的“數(shù)學(xué)怪物”

19世紀(jì)后半葉起，數(shù)學(xué)家們?cè)谘芯亢瘮?shù)的連續(xù)性時(shí)構(gòu)造出一系列不符合人們傳統(tǒng)觀(guān)念的集合。德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯（K.Weierstrass）1872年構(gòu)造的以他的名字命名的函數(shù)W（x）是這類(lèi)集合的第一例其中1<s<2且>1，W(x)是處處連續(xù)、但處處不可微的函數(shù)。對(duì)應(yīng)參數(shù)s

=1.4,=2，W(x)的圖象是

Weierstrass函數(shù)怪物1Weierstrass函數(shù)怪物1Weierstrass函數(shù)Weierstrass函數(shù)W(x)的缺陷是：其圖象難以繪出，因此不夠直觀(guān)。但是，由于該函數(shù)處處連續(xù)卻無(wú)處可微，從而人們認(rèn)識(shí)到其圖象是處處連續(xù)卻處處無(wú)切線(xiàn)的曲線(xiàn)，這引起了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界的極大震驚。怪物1Weierstrass函數(shù)1883年，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托(G.Cantor)構(gòu)造了一個(gè)奇異集合——康托三分集：將數(shù)軸上的閉區(qū)間E0=[0,1]三等分，刪去中間的開(kāi)區(qū)間(1/3,2/3)，剩下兩個(gè)閉區(qū)間[0,1/3]，[2/3,1]記為E1；再將這兩個(gè)閉區(qū)間分別三等分，各去掉中間的開(kāi)區(qū)間(1/9,2/9)，(7/9,8/9)，剩下更短的四個(gè)閉區(qū)間記為E2，……，這樣的操作一直繼續(xù)下去，直至無(wú)窮。怪物2康托三分集怪物2康托三分集怪物2康托三分集怪物2康托三分集怪物2康托三分集怪物2康托三分集怪物2康托三分集在這樣的操作下，有些點(diǎn)是永遠(yuǎn)刪不去的，比如，1/3，2/3，以及所有被刪去的開(kāi)區(qū)間的端點(diǎn)。最后剩下的是一個(gè)離散的無(wú)窮點(diǎn)集F，稱(chēng)為康托三分集.怪物2康托三分集如果用0維的（點(diǎn)的個(gè)數(shù)）尺度去測(cè)量它，其度量值顯然是無(wú)窮；如果用一維的長(zhǎng)度尺度去測(cè)量它，注意其第n步過(guò)后的生成元En

由長(zhǎng)度為(1/3)n

的2n個(gè)區(qū)間段構(gòu)成，其長(zhǎng)度為2n(1/3)n，因此，康托三分集的長(zhǎng)度為怪物2康托三分集這說(shuō)明，康托三分集無(wú)法用歐幾里得幾何的整數(shù)維尺度去度量。怪物2康托三分集1904年，瑞典數(shù)學(xué)家馮·科赫（H.vonKoch）構(gòu)造了著名的魔線(xiàn)：取單位長(zhǎng)度線(xiàn)段E0，將其等分為三段，中間的一段用邊長(zhǎng)為E0的1/3的等邊三角形的兩邊代替得到E1，它包含四條線(xiàn)段，對(duì)E1的每條線(xiàn)段重復(fù)同樣的操作后得E2，對(duì)E2的每條線(xiàn)段重復(fù)同樣的操作后得E3，……，繼續(xù)重復(fù)同樣的操作無(wú)窮次時(shí)所得的曲線(xiàn)稱(chēng)為科赫曲線(xiàn)

怪物3VonKoch雪花曲線(xiàn)怪物3VonKoch雪花曲線(xiàn)如果用一維的長(zhǎng)度尺度去測(cè)量它，注意其第n步過(guò)后的生成元En

由4n個(gè)長(zhǎng)度為(1/3)n

的區(qū)間段構(gòu)成，其總長(zhǎng)度為(4/3)n，因此，科赫曲線(xiàn)的長(zhǎng)度為無(wú)窮。怪物3VonKoch雪花曲線(xiàn)怪物3VonKoch雪花曲線(xiàn)因此科赫曲線(xiàn)的面積為0。如果用二維的面積尺度去測(cè)量它，注意其第n步過(guò)后的生成元En

可以由4n-1個(gè)底邊長(zhǎng)度為(1/3)n-1

，高為的三角形所覆蓋（如圖），這些三角形的總面積為，這說(shuō)明，科赫曲線(xiàn)無(wú)法用歐幾里得幾何的整數(shù)維尺度去度量。怪物3VonKoch雪花曲線(xiàn)若把初始元E0“——”改為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，對(duì)它的三邊都反復(fù)施以同樣的變換，直至無(wú)窮，最后所得圖形稱(chēng)為科赫雪花曲線(xiàn).它被用作晶瑩剔透的雪花模型.怪物3VonKoch雪花曲線(xiàn)觀(guān)察雪花分形過(guò)程第一次分叉：1第一次分叉，周長(zhǎng)為3(4/3)1，圍出面積0.5772第二次分叉，周長(zhǎng)為3(4/3)2，圍出面積0.6423第三次分叉，周長(zhǎng)為3(4/3)3，圍出面積0.674第四次分叉，周長(zhǎng)為3(4/3)4，圍出面積0.6835第五次分叉，周長(zhǎng)為3(4/3)5，圍出面積0.688Koch雪花曲線(xiàn)長(zhǎng)度趨于無(wú)窮，但是，其圍出的面積保持有界，曲線(xiàn)本身所占有的面積為0。這說(shuō)明，Koch雪花無(wú)法用歐幾里得幾何的整數(shù)維尺度去度量。1915~1916年，波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基(W.Sierpinski)將三分康托爾集的構(gòu)造思想推廣到二維平面，構(gòu)造出謝爾賓斯基“墊片”：怪物4謝爾賓斯基墊片設(shè)E0是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形區(qū)域，將它均分成四個(gè)小等邊三角形，去掉中間一個(gè)得E1，對(duì)E1的每個(gè)小等邊三角形進(jìn)行相同的操作得E2，……，這樣的操作不斷繼續(xù)下去直到無(wú)窮，所得圖形F稱(chēng)為謝爾賓斯基“墊片”，它被用作超導(dǎo)現(xiàn)象和非晶態(tài)物質(zhì)的模型。怪物4謝爾賓斯基墊片不要心急仔細(xì)看我將類(lèi)似的操作施以正方形區(qū)域（與前面不同的是這里將正方形九等分）所得圖形F稱(chēng)為謝爾賓斯基“地毯”。怪物4謝爾賓斯基墊片數(shù)學(xué)家門(mén)杰（K.Menger）從三維的單位立方體出發(fā)，用與構(gòu)造謝爾賓斯基地毯類(lèi)似的方法，構(gòu)造了門(mén)杰“海綿”。構(gòu)造過(guò)程為：怪物5門(mén)杰海綿從一個(gè)立方體出發(fā)，將其每邊三等分，得27個(gè)小立方體，將體心和六面心上共七個(gè)小立方體舍去保留其余20個(gè)小立方體；再對(duì)每個(gè)小立方體進(jìn)行同樣操作，得到更小的20×20＝400個(gè)立方體，如此操作進(jìn)行下去直至無(wú)窮，便得到門(mén)杰“海綿”。怪物5門(mén)杰海綿門(mén)杰“海綿”怪物5門(mén)杰海綿類(lèi)似前述討論可以知道：對(duì)于謝爾賓斯基“墊片”，如果用一維的長(zhǎng)度尺度去測(cè)量它，其長(zhǎng)度為無(wú)窮；如果用二維的面積尺度去測(cè)量它，其面積為0。怪物5門(mén)杰海綿對(duì)于門(mén)杰“海綿”，如果用二維的面積尺度去測(cè)量它們，其面積為無(wú)窮；如果用三維的體積尺度去測(cè)量它們，其體積為0。

這種“百孔千窗”、“有皮沒(méi)有肉”的結(jié)構(gòu)，由于其表面積為無(wú)窮大，是化學(xué)反應(yīng)中催化劑或阻化劑最理想的結(jié)構(gòu)模型。怪物5門(mén)杰海綿這些說(shuō)明，用歐幾里得幾何的整數(shù)維尺度也無(wú)法去度量謝爾賓斯基墊片和門(mén)杰海綿。怪物5門(mén)杰海綿2023/2/577由復(fù)解析函數(shù)迭代

產(chǎn)生的圖形在第一次世界大戰(zhàn)期間，法國(guó)數(shù)學(xué)家G.Julia和P.Fatou受牛頓迭代法求解方程的啟發(fā)，研究了復(fù)解析函數(shù)的迭代性質(zhì)，建立了復(fù)解析動(dòng)力系統(tǒng)理論。在他們的理論中，設(shè)f是一個(gè)非常數(shù)的有理函數(shù)或整函數(shù),考慮f的迭代序列f0(z)=z,f1(z)=f

(z),……，fn+1(z)=f

ofn(z)=f[fn(z)],……

Julia集研究在n→∞時(shí)該序列的漸近性態(tài)。對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)，他們把復(fù)平面分成兩部分，一部分稱(chēng)作穩(wěn)定集或Fatou集F=F(f)

F=F(f)={z∈C:序列{fn}在z的某鄰域上是正規(guī)的}.另一部分稱(chēng)作非穩(wěn)定集或Julia集J=J(f)

J=J(f)=C-F(f)

Julia集籠統(tǒng)地說(shuō)，穩(wěn)定集或Fatou集F(f)是使得序列{fn}表現(xiàn)良好的點(diǎn)集，在其中的每一點(diǎn)，都存在一個(gè)鄰域U，使得{fn(z)}在U上一致收斂到一個(gè)有限數(shù)或一致發(fā)散到無(wú)窮；非穩(wěn)定集或Julia集J=J(f)=C-F(f)是使得序列{fn}表現(xiàn)混亂的點(diǎn)集。F(f)是一個(gè)開(kāi)集，而J(f)是一個(gè)閉集。Julia集比如，對(duì)函數(shù)f(z)=z2,容易算出開(kāi)集F(f)包含兩部分：?jiǎn)挝粓A的內(nèi)部和外部，它們分別是使得{fn(z)}一致收斂到0和一致發(fā)散到無(wú)窮的點(diǎn)集，而J(f)=單位圓周{z∈C:|z|=1}。Julia集需要注意的是，在一般情況下，J(f)都是極其復(fù)雜的幾何圖形，遠(yuǎn)沒(méi)有單位圓周這么簡(jiǎn)單。事實(shí)上，幾乎所有的Julia集都非常復(fù)雜，又非常美麗。Julia集2023/2/583f(z)=z2+c,c=0.11+0.66i

Julia集Julia集(二)C=-1Julia集(三)C=-0.5+0.5iJulia集(四)C=-0.2+0.75iJulia集(四)C=0.64i

針對(duì)二次函數(shù)簇fc(z)=z2+c，其中c是復(fù)參數(shù)，他引入一個(gè)集合M，叫做Mandelbrot集,M={c∈C:序列{fcn(0)}不趨于∞}={c∈C:J(fc)是連通集}并驚奇地發(fā)現(xiàn)集合M具有驚人的復(fù)雜性和許多美妙的性質(zhì)。

Mandelbrot集Mandelbrot集新課程現(xiàn)代數(shù)學(xué)——《分形幾何簡(jiǎn)介》Mandelbrot集32023/2/591分形概念的引入星系、云團(tuán)、山川河流、動(dòng)物植物等是不規(guī)則的；晶體的生長(zhǎng)，分子的運(yùn)動(dòng)軌跡等也是不規(guī)則的；數(shù)學(xué)中的某些自然生成的形體也是不規(guī)則的。問(wèn)題：如何用幾何來(lái)描述它們？分形的定義美國(guó)計(jì)算機(jī)科學(xué)家曼德?tīng)柌剂_特（B.Mandelbrot）觀(guān)察到這些圖形的共同特征，提出了一門(mén)描述大自然的幾何形態(tài)的學(xué)科---分形(Fractal)幾何。分形的定義1975年曼德?tīng)柌剂_特在其《分形：形狀、機(jī)遇和維數(shù)》一書(shū)中第一次引入分形這一概念，1977年他又出版了其第二部著作《大自然的分形幾何學(xué)》。分形的定義曼德?tīng)柌剂_特對(duì)分形的定義：分形的定義Afractalisashapemadeofpartssimilartothewholeinsomeway分形是其組成部分以某種方式與整體相似的圖形據(jù)曼德?tīng)柌剂_特教授自己說(shuō)，fractal一詞是1975年夏天的一個(gè)寂靜夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他兒子的拉丁文字典時(shí)，突然想到的。此詞源于拉丁文形容詞fractus，對(duì)應(yīng)的拉丁文動(dòng)詞是frangere（“破碎”、“產(chǎn)生無(wú)規(guī)則碎片”）。此外與英文的fraction（“碎片”、“分?jǐn)?shù)”）及fragment（“碎片”）具有相同的詞根。在70年代中期以前，曼德?tīng)柌剂_特一直使用英文fractional一詞來(lái)表示他的分形思想。Fractal（分形）一詞的由來(lái)

因此，取拉丁詞之頭，英文之尾的fractal，本意是不規(guī)則的、破碎的、分?jǐn)?shù)的。曼德?tīng)柌剂_特是想用此詞來(lái)描述自然界中傳統(tǒng)歐幾里德幾何學(xué)所不能描述的一大類(lèi)復(fù)雜無(wú)規(guī)的幾何對(duì)象。例如，彎彎曲曲的海岸線(xiàn)、起伏不平的山脈，粗糙不堪的斷面，變幻無(wú)常的浮云，九曲回腸的河流，縱橫交錯(cuò)的血管，令人眼花僚亂的滿(mǎn)天繁星等。它們的特點(diǎn)是，極不規(guī)則或極不光滑。直觀(guān)而粗略地說(shuō)，這些對(duì)象都是分形。Fractal（分形）一詞的由來(lái)

“分形”的命名70年代末fractal傳到中國(guó)，一時(shí)難以定譯。中科院物理所李蔭遠(yuǎn)院士說(shuō)，fractal應(yīng)當(dāng)譯成“分形”，郝柏林、張恭慶、朱照宣等科學(xué)家表示贊同，于是在中國(guó)大陸fractal逐漸定譯為“分形”。如今臺(tái)灣還譯“碎形”，顯然不如“分形”好。分形的特點(diǎn)是，整體與部分之間存在某種自相似性，整體具有多種層次結(jié)構(gòu)?！胺中巍敝g的確抓住了fractal的本質(zhì)--科學(xué)本質(zhì)、哲學(xué)本質(zhì)和藝術(shù)本質(zhì)。“分形”的命名中國(guó)傳統(tǒng)文化中關(guān)于“分”與“形”有豐富的論述，想必李蔭遠(yuǎn)院士極為熟悉。李院士是物理學(xué)名詞審定委員會(huì)三名顧問(wèn)之一。宋明理學(xué)關(guān)于“理”(“理念”或者“太極”)與“萬(wàn)物”、整體與部分、一般與具體的關(guān)系的思想吸收了佛家觀(guān)念，特別是華嚴(yán)宗和禪宗的觀(guān)念。李蔭遠(yuǎn)的譯名實(shí)在于平凡處見(jiàn)功力，如李善蘭(1811-1882)譯“微分”

(differentiation)、“積分”

(integration)，王竹溪(1911-1983)譯“湍流”(turbulence)、“逾滲”

(percolation)和“運(yùn)輸”(transportation)。2023/2/5100分形的特征對(duì)于什么是分形，雖然曼德?tīng)柌剂_特曾經(jīng)提出了一個(gè)定義，但卻很難據(jù)此判定一個(gè)圖形是否是分形。到目前為止,人們還沒(méi)有給出分形的一個(gè)確切定義。正如生物學(xué)中對(duì)“生命”也沒(méi)有嚴(yán)格明確的定義一樣，人們通常是列出生命體的一系列特性來(lái)加以說(shuō)明。對(duì)分形也可同樣的處理。分形的特征分形作為一種全新的概念，使許多人在第一次見(jiàn)到分形圖形時(shí)都有新的感受，不管你是從科學(xué)的觀(guān)點(diǎn)看還是從美學(xué)的觀(guān)點(diǎn)看。分形圖可以體現(xiàn)出許多傳統(tǒng)美學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)，如平衡、和諧、對(duì)稱(chēng)等等，但更多的是超越這些標(biāo)準(zhǔn)的新的表現(xiàn)。分形的特征分形圖中的平衡，是一種動(dòng)態(tài)的平衡，一種畫(huà)面各個(gè)部分在變化過(guò)程中相互制約的平衡；分形圖的和諧，是一種數(shù)學(xué)上的和諧，每一個(gè)形狀的變化，每一塊顏色的過(guò)渡都是一種自然的流動(dòng)，毫無(wú)生硬之感；分形的對(duì)稱(chēng)，既不是左右對(duì)稱(chēng)也不是上下對(duì)稱(chēng)，而是畫(huà)面的局部與更大范圍的對(duì)稱(chēng)，或說(shuō)局部與整體的對(duì)稱(chēng)。分形的特征在分形圖中更多的是分叉、纏繞、不規(guī)整的邊緣和豐富的變換，它表現(xiàn)的是自然界的千姿百態(tài)和復(fù)雜性。分形的特征分形幾何學(xué)認(rèn)為：客觀(guān)事物具有自相似的層次結(jié)構(gòu)，局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時(shí)間、空間等方面具有統(tǒng)計(jì)意義上的相似性，成為自相似性。例如，一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下去，每一部分都具有和整體磁鐵相同的磁場(chǎng)。這種自相似的層次結(jié)構(gòu)，適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個(gè)結(jié)構(gòu)不變。局部可以反映整體。分形的特征維數(shù)是幾何對(duì)象的一個(gè)重要特征量，它是幾何對(duì)象中一個(gè)點(diǎn)的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。在歐氏空間中，人們習(xí)慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維，而把直線(xiàn)或曲線(xiàn)看成一維。也可以稍加推廣，認(rèn)為點(diǎn)是零維的，還可以引入高維空間.對(duì)于更抽象或更復(fù)雜的對(duì)象，只要每個(gè)局部可以和歐氏空間對(duì)應(yīng)，也容易確定維數(shù)。但通常人們習(xí)慣于整數(shù)的維數(shù)。分形的特征當(dāng)我們畫(huà)一根直線(xiàn)，如果我們用0維的點(diǎn)來(lái)量它，其結(jié)果為無(wú)窮大，因?yàn)橹本€(xiàn)中包含無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)；如果我們用一塊平面來(lái)量它，其結(jié)果是0，因?yàn)橹本€(xiàn)中不包含平面。那么，用怎樣的尺度來(lái)量它才會(huì)得到有限值哪？看來(lái)只有用與其同維數(shù)的小線(xiàn)段來(lái)量它才會(huì)得到有限值，而這里直線(xiàn)的維數(shù)為1（大于0、小于2）。分形的特征分形理論認(rèn)為維數(shù)也可以是分?jǐn)?shù)，這類(lèi)維數(shù)是物理學(xué)家在研究混沌吸引子等理論時(shí)需要引入的重要概念。對(duì)于我們上面提到的Koch曲線(xiàn)，其整體是一條無(wú)限長(zhǎng)的線(xiàn)折疊而成.用小直線(xiàn)段量，其結(jié)果是無(wú)窮大，而用平面量，其結(jié)果是0.那么只有找一個(gè)與該曲線(xiàn)維數(shù)相同的尺子量它才會(huì)得到有限值，而這個(gè)維數(shù)顯然大于1、小于2，那么只能是分?jǐn)?shù)了。分形的特征分形的特征，歸納起來(lái)有以下幾點(diǎn)：無(wú)限精細(xì)的結(jié)構(gòu)不能用傳統(tǒng)的幾何語(yǔ)言描述自相似性分?jǐn)?shù)維數(shù)可以由簡(jiǎn)單的方式生成分形的特征（1）具有無(wú)限精細(xì)的結(jié)構(gòu)，即在任意小的尺度之下，它總有復(fù)雜的細(xì)節(jié)；無(wú)限精細(xì)的結(jié)構(gòu)（2）具有不規(guī)則性，以至于無(wú)論它的局部或整體都不能用傳統(tǒng)的幾何語(yǔ)言、乃至微積分的語(yǔ)言來(lái)描述；不能用傳統(tǒng)的幾何語(yǔ)言描述（3）具有某種自相似性，其任意小的局部都可能在統(tǒng)計(jì)或者是近似意義上與其整體具有相似性；自相似性分形最明顯的特征是自相似性

不要心急仔細(xì)看我（4）分形的分?jǐn)?shù)維數(shù)（用某種方式定義的）通常嚴(yán)格大于它的拓?fù)渚S數(shù)；分?jǐn)?shù)維數(shù)（5）在許多令人感興趣的情形，可以由非常簡(jiǎn)單的方法定義，并由遞歸、迭代等產(chǎn)生。

分形幾何的主要價(jià)值在于它在極端有序和真正混沌之間提供了一種可能性：本來(lái)看來(lái)十分復(fù)雜的事物，事實(shí)上大多數(shù)均可用僅含很少參數(shù)的簡(jiǎn)單公式來(lái)描述。其實(shí)簡(jiǎn)單并不簡(jiǎn)單，它蘊(yùn)含著復(fù)雜。分形幾何中的迭代法為我們提供了認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單與復(fù)雜的辯證關(guān)系的生動(dòng)例子。可以由簡(jiǎn)單的方式生成其中（1）、（2）、（4）說(shuō)明了分形的復(fù)雜性；（3）、（5）項(xiàng)說(shuō)明了分形的規(guī)律性和生成機(jī)制。以分形的觀(guān)念來(lái)考察前面提到的各種“病態(tài)”曲線(xiàn)時(shí)，可以看出它們不過(guò)是各種分形而已。分形的特征2023/2/5117分形的應(yīng)用分形觀(guān)念的引入并非僅是一個(gè)描述手法上的改變，從根本上講分形反映了自然界中某些規(guī)律性的東西。分形打開(kāi)了一個(gè)完全嶄新和令人興奮的幾何學(xué)大門(mén)。這一新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，觸及到我們生活的方方面面，諸如自然現(xiàn)象的描述，電影攝影術(shù)、天文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、氣象學(xué)、地質(zhì)學(xué)、醫(yī)學(xué)、生態(tài)學(xué)、地震預(yù)報(bào)、圖象編碼理論、信號(hào)處理、等等。分形的應(yīng)用分形的應(yīng)用領(lǐng)域1.數(shù)學(xué)：動(dòng)力系統(tǒng)2.物理學(xué)、化學(xué)等自然科學(xué)：如雷電、相變、聚合物生長(zhǎng)、天文、地理、地質(zhì)、生態(tài)、生命等自然現(xiàn)象；3.非線(xiàn)性動(dòng)力系統(tǒng)中的分形研究；4.人文、經(jīng)濟(jì)：如股票漲落分析等；5.國(guó)民經(jīng)濟(jì)：如地震、氣象的預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)、石油的多次開(kāi)采等領(lǐng)域。其他：醫(yī)學(xué)、計(jì)算機(jī)，社會(huì)，藝術(shù)等等以植物為例，植物的生長(zhǎng)是植物細(xì)胞按一定的遺傳規(guī)律不斷發(fā)育、分裂的過(guò)程。這種按規(guī)律分裂的過(guò)程可以近似地看作是遞歸、迭代過(guò)程，這與分形的產(chǎn)生極為相似。在此意義上，人們可以認(rèn)為一種植物對(duì)應(yīng)一個(gè)迭代函數(shù)系統(tǒng)。人們甚至可以通過(guò)改變?cè)撓到y(tǒng)中的某些參數(shù)來(lái)模擬植物的變異過(guò)程。分形的應(yīng)用在醫(yī)學(xué)、生態(tài)學(xué)領(lǐng)域，分形被用于描述和預(yù)示不同生態(tài)系統(tǒng)的演化。有一些科學(xué)家認(rèn)為分形幾何有助于他們理解被觀(guān)察的正?；罴?xì)胞的結(jié)構(gòu)和組成癌組織的病細(xì)胞的結(jié)構(gòu)。所以通過(guò)建立與健康的或患病的組織相像的分形生長(zhǎng)模型，科學(xué)家們也能夠了解存在于基因密碼的控制生長(zhǎng)的信息，以及如果這種生長(zhǎng)結(jié)果的信息被破壞時(shí)，癌組織是如何發(fā)展的。分形的應(yīng)用在數(shù)學(xué)內(nèi)部，分形幾何對(duì)以往歐氏幾何無(wú)能為力的“病態(tài)”曲線(xiàn)的全新解釋是人類(lèi)認(rèn)識(shí)客體不斷開(kāi)拓的必然結(jié)果。當(dāng)前，人們迫切需要一種能夠更好地研究、描述各種復(fù)雜自然曲線(xiàn)的幾何學(xué)。而分形幾何恰好可以擔(dān)當(dāng)此用。所以說(shuō)，分形幾何也就是自然幾何，以分形或分形的組合的眼光來(lái)看待周?chē)奈镔|(zhì)世界就是自然幾何觀(guān)。分形的應(yīng)用分形作為一種新的世界觀(guān)和方法論，具有廣闊的應(yīng)用前景，在分形的發(fā)展過(guò)程中，許多傳統(tǒng)的科學(xué)難題，由于分形的引入而取得顯著進(jìn)展。美國(guó)著名物理學(xué)家惠勒說(shuō)過(guò)：今后誰(shuí)不熟悉分形，誰(shuí)就不能被稱(chēng)為科學(xué)上的文化人。分形的應(yīng)用2023/2/5124研究分形2023/2/5125如何來(lái)研究分形？如何來(lái)研究分形？研究分形遇到的首要問(wèn)題是如何度量它們，比如，如何比較兩個(gè)分形的大?。咳绾握J(rèn)定兩個(gè)分形是相似的？如何衡量?jī)蓚€(gè)不同的分形在度量上是等價(jià)的？分形是復(fù)雜的、不規(guī)則的系統(tǒng)，從前面提出的康托三分集等分形圖形討論中我們知道，用歐幾里得幾何的整數(shù)維尺度無(wú)法去度量分形。

如何來(lái)研究分形？分形區(qū)別于傳統(tǒng)幾何對(duì)象的一個(gè)重要特征就是，它承認(rèn)，空間維數(shù)的變化既可以是離散的，也可以是連續(xù)的。描述分形系統(tǒng)的粗糙、破碎、不規(guī)則、不光滑程度及復(fù)雜性的定量指標(biāo)和手段就是分?jǐn)?shù)維數(shù)，它度量了系統(tǒng)填充空間(致密)或縫隙(疏松)的能力，刻劃了系統(tǒng)的無(wú)序性，表征了動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)最小的基本或獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)。如何來(lái)研究分形？因此關(guān)于各種分形維數(shù)的計(jì)算方法和實(shí)驗(yàn)方法的建立、改進(jìn)和完善，是研究分形的科學(xué)家們普遍關(guān)注的問(wèn)題。2023/2/5129拓?fù)渚S數(shù)拓?fù)渚S數(shù)

拓?fù)渚S數(shù)是空間幾何體的一個(gè)基本量,以Dt表示，它取整數(shù)值。直觀(guān)地講，點(diǎn)、線(xiàn)、面、體分別是0、1、2、3維幾何體.點(diǎn)---0維；線(xiàn)---1維；面---2維；體---3維。這里0、1、2、3就是該幾何體的拓?fù)渚S數(shù)。拓?fù)渚S數(shù)

一般地，如果一個(gè)幾何體，可以通過(guò)對(duì)它進(jìn)行適當(dāng)?shù)目s放、位移、拉伸、旋轉(zhuǎn)等拓?fù)渥儞Q，轉(zhuǎn)換成由相互孤立的點(diǎn)組成的幾何體，就稱(chēng)該幾何體的拓?fù)渚S數(shù)為0；而經(jīng)過(guò)上述變換可轉(zhuǎn)換成直線(xiàn)的幾何體的拓?fù)渚S數(shù)是1；余此類(lèi)推。所以，拓?fù)渚S數(shù)就是幾何對(duì)象的經(jīng)典維數(shù)Dt=d，它是不隨幾何對(duì)象形狀的變化而變化的整數(shù)維數(shù)。2023/2/5132相似維數(shù)相似維數(shù)將長(zhǎng)度為1的線(xiàn)段分為n等分,每段長(zhǎng)為r,則

n?r=1將面積為1的正方形n等分,每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為r,則

n?

r2=1將體積為1的正方體n等分,每一個(gè)小正方體的邊長(zhǎng)為r,則

n?r3=1相似維數(shù)從上面的等式中可以看到,r

的冪次D實(shí)際就是該幾何體的空間維數(shù).這個(gè)D與線(xiàn)段的長(zhǎng)度r和段數(shù)n沒(méi)有關(guān)系，可以統(tǒng)一表示為:

n?rD=1對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)得:顯然,D具有維數(shù)的含義.定義相似維數(shù)：設(shè)分形F是自相似的，即F由m

個(gè)子集構(gòu)成，每個(gè)子集放大c倍（相似比）后同F(xiàn)一樣，則定義F的相似維數(shù)為

相似維數(shù)相似維數(shù)對(duì)于一條直線(xiàn)段，將它n等分，共分為m=n段,每段都與原線(xiàn)段相似，相似比為c=n。將一個(gè)正方形每邊等分成n段，將它等分成m=n2個(gè)小正方形，每個(gè)小正方形都與原正方形相似，相似比為c=n。將一個(gè)立方體每邊等分成n段，將它等分成m=n3個(gè)小立方體，每個(gè)小正方體都與原正方體相似，相似比為c=n。一般地，設(shè)一圖形可分解為m個(gè)與之相似的子圖形，相似比為c，則圖形的維數(shù)D滿(mǎn)足：cD

=m.相似維數(shù)對(duì)Koch曲線(xiàn)而言相似維數(shù)在第n步時(shí),其等長(zhǎng)折線(xiàn)段總數(shù)為m=4n,每段的長(zhǎng)度為r=(1/3)n

，相似比為c=1/r=3n.則Koch曲線(xiàn)的相似維數(shù)為:相似維數(shù)對(duì)康托三分集而言相似維數(shù)在第n步時(shí),其等長(zhǎng)線(xiàn)段總數(shù)為m=2n,每段的長(zhǎng)度為r=(1/3)n

，相似比為c=1/r=3n.則康托三分集的相似維數(shù)為:2023/2/5141102103104101102103104105101loglogN()英國(guó)海岸線(xiàn)的分形維數(shù)D=1.25Mandelbrot算出：英國(guó)海岸線(xiàn)的維數(shù)為D=1.25相似維數(shù)正方形與正方體的相似維數(shù)分別等于其拓?fù)渚S數(shù)，這表明相似維數(shù)是拓?fù)渚S數(shù)概念的一種推廣，是有意義的。分維D度量了系統(tǒng)填充空間(致密)或縫隙(疏松)的能力,刻劃了系統(tǒng)的無(wú)序性,表征了動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)最低的基本或獨(dú)立變量的個(gè)數(shù).相似維數(shù)但是，相似維數(shù)只適用于整體與局部相似的圖形，因而只對(duì)具有嚴(yán)格自相似性的分形才有效，使用范圍有限。所以定義對(duì)所有分形圖形都適用的維數(shù)是很有必要的。2023/2/5144豪斯道夫維數(shù)豪斯道夫維數(shù)取長(zhǎng)度為l的線(xiàn)段，放大2倍后的長(zhǎng)度2l。邊長(zhǎng)為l的正方形，每邊長(zhǎng)放大2倍的面積為4l2。邊長(zhǎng)為l的立方體，每邊長(zhǎng)放大2倍的體積為8l3。結(jié)果整理如下：一維圖形（線(xiàn)段）21=2

二維圖形（正方體）22=4

三維圖形（立方體）23=8

歸結(jié)：豪斯道夫維數(shù)

這說(shuō)明，在一個(gè)D維空間中，當(dāng)邊長(zhǎng)放大為L(zhǎng)倍時(shí)，相應(yīng)的規(guī)則幾何體的體積放大為K=LD倍，而D=logK/logL。一般地，當(dāng)測(cè)定某集的測(cè)度的單位半徑為r，測(cè)定的結(jié)果N(r)會(huì)隨著r的減小而增大，如果存在數(shù)DH使得測(cè)定的結(jié)果N(r)滿(mǎn)足下式：其中C為非零常數(shù)，則該集的維數(shù)為DH，該維數(shù)稱(chēng)為Hausdorff維數(shù)。Hausdorff維數(shù)具有這樣的性質(zhì)：對(duì)于任何一個(gè)有確定Hausdorff維數(shù)的幾何體,若用與它相同維數(shù)的“尺r”去度量,則可得到一確定的數(shù)值;若用低于它維數(shù)的“尺”去量它,結(jié)果為無(wú)窮大;若用高于它維數(shù)的“尺”去量它,結(jié)果為零.豪斯道夫維數(shù)豪斯道夫維數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式為:N(r)～r-DH上式兩邊取自然對(duì)數(shù),整理后可得

DH

~lnN(r)/ln(1/r)或

豪斯道夫維數(shù)結(jié)論：對(duì)于正規(guī)幾何圖形，分子被分母整除，DH

為整數(shù)，是歐幾里德維數(shù)。對(duì)非規(guī)則圖形，分母一般不可整除分子，DH

一般是分?jǐn)?shù)。

豪斯道夫維數(shù)定量地描述了一個(gè)集合規(guī)則與不規(guī)則的幾何尺度,其整數(shù)部分反映出圖形的空間規(guī)模(整數(shù)維數(shù)).豪斯道夫維數(shù)對(duì)于自相似集來(lái)說(shuō)，其豪斯道夫維數(shù)與相似維數(shù)的計(jì)算公式與結(jié)果都是一樣的。對(duì)于非自相似集來(lái)說(shuō)，其豪斯道夫維數(shù)的計(jì)算一般比較困難。2023/2/5151容量維容量維大自然中存在大量的在統(tǒng)計(jì)意義下的自相似體，一般并不知道自相似比。為了解決這類(lèi)物體的分維計(jì)算，發(fā)展了計(jì)算容量維數(shù)方法.計(jì)算相似比比較復(fù)雜的圖形時(shí)，采用小方塊(或圓片、球體、方體等)去覆蓋(或填充)被測(cè)對(duì)象，統(tǒng)計(jì)覆蓋所需的方塊數(shù)來(lái)計(jì)算其維數(shù)。如此方法計(jì)算的維數(shù)稱(chēng)為容量維。盒子維數(shù)：設(shè)FR是有界集合，其中R是正方形（圓形）。用邊長(zhǎng)（半徑）為r的小正方形（小圓形）去覆蓋F，記N(r)為覆蓋F所需要的小正方形（小圓形）的最小個(gè)數(shù)。當(dāng)r越來(lái)越小時(shí)，N(r)越來(lái)越大。定義F的盒子維數(shù)為

容量維康托三分集的容量維D=Lim(log(N(r))/log(1/r))=log(2)/log(3)rN(r)111/32(1/3)222(1/3)323(1/3)n2n科赫雪花的容量維D=Lim(log(N(r))/log(1/r))=log(4)/log(3)rN(r)131/33×4(1/3)23×42(1/3)33×43(1/3)n3×4n謝爾賓斯基地毯的容量維r=1D(r)=1r=1/3D(r)=8r=(1/3)2D(r)=82r=(1/3)3D(r)=83D=Lim(log(N(r))/log(1/r))=log(8)/log(3)rN(r)111/38(1/3)282(1/3)383(1/3)n8n謝爾賓斯基墊片的容量維D=Lim(log(N(r))/log(1/r))=log(2)/log(3)rN(r)111/23(1/2)232(1/2)333(1/2)n3n2023/2/5185構(gòu)造分形圖形迭代生成分形給定初始圖形

F0

，依照某一規(guī)則R對(duì)圖形反復(fù)作用

Fk+1=RFk,k=1,2,3,…得到圖形序列

F1,F2,…,其極限圖形是分形，作用規(guī)則R稱(chēng)為生成元。例如，Cantor集的生成元是VanKoch雪花曲線(xiàn)的生成元是圖形迭代生成分形Minkowski“香腸”圖形迭代生成分形Sierpinski地毯圖形迭代生成分形Hilbert曲線(xiàn)圖形迭代生成分形生物學(xué)家Lindenmayer提出,一個(gè)L系統(tǒng)可表示為一個(gè)有序的三元素集合：

G=<V,w,P>其中：V是一些運(yùn)動(dòng)過(guò)程集合，w是初始形狀，P是生成式。花草樹(shù)木(L系統(tǒng)）花草樹(shù)木(L系統(tǒng)）例如，F(xiàn)表示向前距離d,+表示左轉(zhuǎn)彎,-表示右轉(zhuǎn)彎，[表示壓棧，]表示出棧。

花草樹(shù)木(L系統(tǒng)）花草樹(shù)木(L系統(tǒng)）花草樹(shù)木(L系統(tǒng)）2012年7月197六、結(jié)束語(yǔ)1.分形幾何學(xué)與歐幾里得幾何學(xué)的比較描述的對(duì)象特征長(zhǎng)度表達(dá)方式維數(shù)歐幾里得幾何學(xué)自然界和人類(lèi)社會(huì)中簡(jiǎn)單規(guī)則的構(gòu)型和現(xiàn)象有數(shù)學(xué)公式0，1，2或3分形幾何學(xué)自然界和人類(lèi)社會(huì)中復(fù)雜奇異的構(gòu)型和現(xiàn)象無(wú)迭代語(yǔ)言一般是分?jǐn)?shù)（也可以是正整數(shù)）2012年7月1982.陳省身的觀(guān)點(diǎn)

歷史上幾何學(xué)的發(fā)展可以分為以下七個(gè)時(shí)期：（1）公理化體系的奠基（歐幾里德）；（2）坐標(biāo)系的建立（笛卡兒，費(fèi)馬）；（3）微積分學(xué)的創(chuàng)立（牛頓，萊布尼茲）；（4）群論觀(guān)點(diǎn)的引入（克萊因，李）；（5）流形理論的建立（黎曼）；（6）纖維叢理論的建立（嘉當(dāng)，惠特尼）；（7）分形幾何學(xué)的興起、發(fā)展（曼德?tīng)柌剂_特）。2012年7月1993.分形幾何學(xué)發(fā)展的意義和作用

數(shù)千年來(lái)，無(wú)論是在思想領(lǐng)域的突破上，還是在科學(xué)方法論的建立上，幾何學(xué)總是扮演著開(kāi)路先鋒的角色。當(dāng)今被譽(yù)為開(kāi)創(chuàng)了20世紀(jì)數(shù)學(xué)重要階段的分形幾何學(xué)，已發(fā)展成為科學(xué)的方法論——分形理論，并被應(yīng)用到各具特色的自然科學(xué)領(lǐng)域、一些工程技術(shù)和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域之中，取得了巨大成就。分形幾何學(xué)是

20世紀(jì)80年代科學(xué)思想和方法的一個(gè)突破口，是數(shù)學(xué)寶庫(kù)中的一朵絢麗的奇葩。正如歐幾里得幾何學(xué)對(duì)初等數(shù)學(xué)、解析幾何學(xué)對(duì)高等數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)對(duì)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)產(chǎn)生的深遠(yuǎn)影響一樣，分形幾何學(xué)對(duì)當(dāng)今的數(shù)學(xué)乃至整個(gè)科學(xué)已經(jīng)產(chǎn)生了較大的影響。2012年7月200

事實(shí)上，宇宙的本質(zhì)是非線(xiàn)性的，這種非線(xiàn)性現(xiàn)象的共性主要體現(xiàn)在混沌、孤立子和分形三個(gè)方面?？梢灶A(yù)料，屬于非線(xiàn)性科學(xué)的分形幾何學(xué)必將隨著人們對(duì)自然界、人類(lèi)社會(huì)的深入研究和不斷探索而登上21世紀(jì)科學(xué)研究的舞臺(tái)，對(duì)未來(lái)的科學(xué)發(fā)展產(chǎn)生很大的推動(dòng)作用。2012年7月2014.多姿多彩的分形幾何學(xué)火焰

分形幾何學(xué)的興起、發(fā)展，是人類(lèi)認(rèn)識(shí)世界、駕馭自然的歷史必然。分形幾何學(xué)在當(dāng)代社會(huì)中顯得如此重要，以至于美國(guó)杰出的物理學(xué)家（兩彈元?jiǎng)?、現(xiàn)代廣義相對(duì)論之父）、物理學(xué)思想家、物理學(xué)教育家惠勒（Wheeler，1911.07.09——2007.04.13）竟斷言：“可以相信，明天誰(shuí)不熟悉分形，誰(shuí)就不能被認(rèn)為是科學(xué)上的文化人。”2012年7月202

據(jù)說(shuō)法國(guó)拓