滬科版數(shù)學(xué)九年級24.4直線與圓的位置關(guān)系2

直線和圓的位置關(guān)系2luzishu0d>r1d=r切點切線2d<r交點割線．Ｏldr┐┐．ｏldr．Old┐r.ACB..相離

相切

相交

A.Ol切線的性質(zhì)定理:圓的切線垂直于過切點的半徑問題1：下雨天，轉(zhuǎn)動的雨傘上的水滴是順著傘的什么方向飛出去的?問題2：砂輪轉(zhuǎn)動時，火花是沿著砂輪的什么方向飛出去的?

動手畫一畫：

畫一個⊙O

，在⊙O中任意畫一條半徑OA，經(jīng)過半徑OA的外端點A作直線l⊥OA.Al探究o

思考：

（1）所畫的直線l滿足哪些條件？

（2）這樣畫出來的直線l和⊙O有什么位置關(guān)系？為什么？切線的判定定理

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線∵OA是⊙O的半徑，l⊥OA∴l(xiāng)是⊙O的切線lAO

已知一個圓和圓上的一點，如何過這一點畫出圓的切線?lAO下雨天你快速的轉(zhuǎn)動雨傘,轉(zhuǎn)動的雨傘上的水滴是順著傘的什么方向飛出的？砂輪轉(zhuǎn)動時，火花是沿著砂輪的什么方向飛出去的？·

轉(zhuǎn)動的雨傘上的水滴,砂輪轉(zhuǎn)動時的火花都是沿著圓的切線的方向飛出去的。1.經(jīng)過半徑外端的直線是圓的切線（）2.垂直于半徑的直線是圓的切線（）3.經(jīng)過半徑的一端并垂直于這條半徑的直線是圓的切線（

）判斷下列命題是否正確.oooooo以三角形的一邊為直徑的圓恰好與另一邊相切，則此三角形是__________三角形直角例.如圖，AB是⊙O的直徑，∠B＝45°，AC＝AB。

AC是⊙O的切線嗎？為什么？解：AC是⊙O的切線。理由如下：又∵∠BAC＋∠B＋∠C

＝180°∵AC＝AB

，

∠B＝45°∴直線AC⊥AB又∵直線AC經(jīng)過⊙O

上的A點∴直線AC是⊙O的切線∴∠C＝∠B＝45° ∴∠BAC＝

180°-∠B-∠C＝90°O●ABC例2

直線AB經(jīng)過⊙O上的點C,并且OA=OB,CA=CB,

求證:直線AB是⊙O的切線.證明:連接OC∵OA=OB,CA=CB∴△OAB是等腰三角形,OC是底邊AB上的中線

∴OC⊥AB∴AB是⊙O的切線有交點，連半徑，證垂直切線的判定方法有三種：①直線與圓有唯一公共點；②直線到圓心的距離等于該圓的半徑；③切線的判定定理．性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑。尺規(guī)作圖：過⊙O外一點作⊙O的切線O·PABO在經(jīng)過圓外一點的切線上，這一點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長·OPAB切線與切線長是一回事嗎？切線長概念··它們有什么區(qū)別與聯(lián)系呢？

切線和切線長是兩個不同的概念：

1、切線是一條與圓相切的直線，不能度量；

2、切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量。切線和切線長OPAB

OABP思考：已知⊙O切線PA、PB，A、B為切點，把圓沿著直線OP對折,你能發(fā)現(xiàn)什么?12結(jié)論APOBPA=PB∠OPA=∠OPB證明：∵PA，PB與⊙O相切，點A，B是切點∴OA⊥PA，OB⊥PB

即∠OAP=∠OBP=90°∵OA=OB，OP=OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA=PB∠OPA=∠OPB切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

幾何語言:OPAB1、判斷（1）過任意一點總可以作圓的兩條切線（）（2）從圓外一點引圓的兩條切線，它們的長相等。

2、如圖，PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C，DE分別交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切線長為8CM，則ΔPDE的周長為（）A16cmD8cmC12cmB14cmDCBEAP3.如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA和圓⊙O分別相切于點L、M、N、P，求證：AD+BC=AB+CDDLMNABCOP證明：由切線長定理得∴AL=AP，LB=MB,NC=MC，

DN=DP∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP

即AB+CD=AD+BC補充：圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等．PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B為切點，直線OP交于⊙O于點D、E，交AB于C。BAPOCED（1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP（3）寫出圖中所有的全等三角形△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP（4）寫出圖中相等的圓?。?）寫出圖中所有的等腰三角形△ABP，△AOB（6）若PA=4、PD=2，求半徑OA（2）寫出圖中與∠OAC相等的角∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC我們學(xué)過的切線，常有五個性質(zhì)：1、切線和圓只有一個公共點；2、切線和圓心的距離等于圓的半徑；3、切線垂直于過切點的半徑；4、從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。六個。PBAO反思：在解決有關(guān)圓的切線長的問題時，往往需要我們構(gòu)建基本圖形。（3）連結(jié)圓心和圓外一點（2）連結(jié)兩切點（1）分別連結(jié)圓心和切點

切線長定理為證明線段相等，角相等，弧相等，垂直關(guān)系提供了理論依據(jù)。必須掌握并能靈活應(yīng)用。

作經(jīng)過一定點C的圓的切線．思考：定點C在圓的什么位置？COO.C(1)點C在圓上．(２)點C在圓外．作法：連接OC，過點C作AB⊥OC．則直線AB就是所要作的切線．BA證明：直線AB經(jīng)過點C，并且AB⊥OC．由切線的判定定理可知，AB就是⊙O的切線，切點是點C．作法：連接OC,以O(shè)C為直徑的圓為⊙O1，與⊙O

相交于兩點P和P′.連接CP和CP′,則CP和CP′都是過已知點C所引⊙O的切線．PP′O1證明：∵∠OPC是⊙O1內(nèi)半圓上的圓周角，∴∠OPC=90°.∴PC⊥OP.又∵OP是⊙O的半徑，PC經(jīng)過點C，∴PC就是所要作的切線.同理，CP′也是所要作的切線.1.如圖,AB是⊙O的直徑,點D在AB的延長線上,BD=OB,點C在圓上,∠CAB=30°.

求證:DC是⊙O的切線..ABDCO練習(xí)例1、如右圖所示，已知直線AB經(jīng)過⊙O上的點A，且AB＝OA，∠OBA＝45°，直線AB是⊙O的切線嗎？為什么？解：直線AB是⊙O的切線。理由如下：在圓O

中，又∵∠OAB＋∠OBA＋∠AOB

＝180°∵因為AB＝OA，∠OBA＝45°∴∠AOB＝∠OBA＝45°∴∠OAB＝180°-∠OBA-∠AOB＝90°∴直線AB⊥OA又∵直線AB經(jīng)過⊙O

上的A點∴直線AB是⊙O的切線ABO●2.AB是⊙O的直徑,AE平分∠BAC交⊙O于點E,

過點E作⊙O的切線交AC于點D,試判斷△AED

的形狀,并說明理由.ABCDEO直角三角形3.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分線交BC于

D,以D為圓心,DB長為半徑作⊙D.試說明:AC

是⊙D的切線.FEABCD1.切線和圓只有一個公共點.2.切線和圓心的距離等于半徑.3.切線垂直于過切點的半徑.4.經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點.5.經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心.切線的性質(zhì)：

切線的性質(zhì)３、４、５可歸納為:已知直線滿足a.過圓心,b.過切點,c.垂直于切線中任意兩個,便得到第三個結(jié)論.例3、已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點為B，OC平行于弦AD

求證：DC是⊙O的切線ADCBO（（（（1342證明：連接OD∵OA=OD∴∠1=∠3又AD∥OC∴∠1=∠2，∠3=∠4∴∠2=∠4∵OD=OB,OC公共∴△OCD≌△OCB∴∠ODC=∠

OBC∵BC與⊙O相切∴∠OBC=900∴OD⊥DC∴DC是⊙O的切線拓展應(yīng)用二∴∠ODC=900例1、如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，∠OAB＝30°．（1）求∠APB的度數(shù)；（2）當(dāng)OA＝3時，求AP的長．PBAO（2）已知OA=3cm,OP=6cm，則∠APB=

PABCO60°（4）OP交⊙O于M，則

，ＡＢ

ＯＰＡＭ＝ＢＭ⌒⌒M⊥牛刀小試（3）若∠P=70°，則∠AOB=

°110（1）若PA=4、PM=2，求圓O的半徑OA

OA=3利用切線長定理進行證明·ABCDEO21例2如圖，已知：在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一點，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓交AB于點E，切AC于點D。求證：DE∥OC證明：連接ＢＤ．∵∠ＡＢＣ＝９０°，ＯＢ為⊙Ｏ的半徑∴ＣＢ是⊙Ｏ的切線∵ＡC是⊙Ｏ的切線，Ｄ是切點∴ＣＤ＝ＣＢ，∠１＝∠２∴ＯＣ⊥ＢＤ∵ＢＥ是⊙Ｏ的直