六年級奧數(shù)：扇形的周長與面積和弓形面積

第第頁共14頁六年級奧數(shù)：扇形的周長與面積和弓形面積圓規(guī)和直尺圓規(guī)和直尺一塊兒住進(jìn)了文具盒。圓規(guī)說：“我能畫圓，你行嗎？”“我橫豎都會畫，你行嗎？”直尺很不服氣。文具盒聽了，說：“別爭了，誰能畫一面扇形，誰就最行。”規(guī)規(guī)和直尺都為難了。文具盒又說：“你倆一塊兒合作，不就行了嗎？”圓規(guī)和直尺同心協(xié)力，很快畫好了扇形。從此，它們成了好朋友。編后語：圓規(guī)和直尺各有自己的長處，也各有自己的不足，兩者是不應(yīng)互相瞧不起的。后來，由于雙方的真誠合作，充分發(fā)揮了各自的優(yōu)勢，創(chuàng)造了許多新的事物。這則寓言告訴我們這樣一個道理：一個人的智慧和力量是有限的，眾人合作就會創(chuàng)造出新事物，新生活。等知識框架圓的知識：.當(dāng)一條線段繞著它的一個端點O在平面上旋轉(zhuǎn)一周時，它的另一端點所畫成的封閉曲線叫做圓，點。叫做這個圓的圓心..連結(jié)一個圓的圓心和圓周上任一點的線段叫做圓的 半徑..連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做圓的弦.過圓心的弦叫做圓的直徑..圓的周長與直徑的比叫做圓周率.上周上任意兩點間的部分叫做弧..圓周長=直徑X九半徑X2冗 圓面積=冗半徑2.扇形的知識：.扇形是圓的一部分，它是由圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧組成的圖形 .頂點在圓心的角叫做圓心角..我們經(jīng)常說的1圓、1圓、1圓等等其實都是扇形，而這個幾分之幾表示的其實是這TOC\o"1-5"\h\z2 4 6個扇形的圓心角占這個圓周角的幾分之幾.那么一般的求法是什么呢？關(guān)鍵是 裊.360.扇形中的弧長=nl.扇形的周長=nl+2r.扇形的面積="=》「.180 180 360 -弓形的知識：【例1】弦與它所對的弧所組成的圖形叫做弓形.【一般來說，弓形面積扇形面積-三角形面積.（除了半圓”重難點重點：圓與扇形的面積和周長計算公式；弓形的面積公式。難點：計算周長時，首先要分清圍成這一圖形的邊有哪些，再正確計算。計算面積時，首先要根據(jù)圖形組合的形式，用會求的圖形的面積去求的題目所要求的圖形面積。例題精講【例11將半徑分別為3厘米和2厘米的兩個半圓如圖放置（小圓過大圓圓心），那么陰影部分的周長是多少厘米?法1;陰影部分的局長二大半圓弧長+小半圓弧長十兩條線段的長"=大半圓弧長+小半圓弧長十（小圓直徑一大圓半徑）+大圓半徑法2:陰影鬻分的周長二大半圓周長+小半圓周長-2x大半圓半徑【答案】陰影部分的周長=2ttx2x-+27TX3x-+（3-2）+3=5tt+4=197（厘米）2 2【鞏固】如圖所求，圓的周長是16.4厘米,圓的面積與長方形的面積正好相等.圖中陰影部分的周長是厘米.（3.14）［解析】誑圓的半柱為『出］圓面孤即長方形面都為故長方彩的長為^二斯C1 S .陰影部分周長=DC￥BC+EA+AD二兄fN（仃一門+—w2仃=—x2仃=士工附4=州,5（反來）C 4 4 4【冬會】20.5度來【例2】在一個大圓內(nèi)有許多個小圓，其直徑的和等于大圓的直徑。請問：大圓周長與所有小圓周長之和哪一個更長？【解析】設(shè)五個圓的直徑分別為小，％,（I?,必，九,則&二丁+缶+亳+必所有小圓周長的和=ndi十口的十+nd4=n（di+d24-<l3+山）=irds=大圓周長【鞏固】已知AB=50厘米，求圖中各圓的周長總和。［解析］各圓周長的和=直徑為5。厘米的大限的周長u【答案】各圓周長的和=50?尸157cm【例3】夏天到了，爸爸從商店買了4瓶啤酒，售貨員將4瓶啤酒捆扎在一起，如圖7所示,捆4圈至少用繩子多少厘米？（接頭處忽略不計）

【解析】捆每一國的繩長可分解為四段相等的弧長與圖段相等的線段長.捆每一圈的四段弧長可以拼成一外整每條戲段的長度都等于直徑的長度”總繩長二（7M+7兀）x+（厘米）=（28n+112）（厘米）=199.92｛厘米）【鞏固】有7根直徑5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它們捆成一捆（如下圖），此時橡皮筋的長度是多少?捆每一胤的翅長可分解為6段相等的孤長身8段相等的線網(wǎng)長，捆哥一圈的ts式弧長可以拼成一個整圃,每條線我的長度都等于直屈的法度總繩長:5x6+5丸（厘表）【孝我】總隨長=5父6+近（屋米）M57（厘表）【例4】三個半徑為100厘米且圓心角為60o的扇形如圖擺放；那么，這個封閉圖形的周長是厘米.（兀取3.14）【解析】三個扇彬的孤裝相當(dāng)于半咎100層米，網(wǎng)心廊為180度得扇格孤卷，2X工14X網(wǎng)=314匣米360

【鞏固】分別以一個邊長為2厘米的等邊三角形的三個頂點為圓心， 以2厘米為半徑畫弧，得到右圖；那么，陰影圖形的周長是 厘米.（取3.14）【解析】每段弧長為六分之一圓弧，因此陰影的周長二去個六分之一圓弧的長度和二一個圓的周長二2x2x3,14=1256厘米【例5】求下列各個陰影部分的面積；（答案用冗表示即可）44(1)陰影面枳三扇形面枳三角影面枳f62x工一6x3+2=9ir-94(2)陰影面積M扇形面積一三角形面積5產(chǎn)><：-4><4+2=如一8(3)陰影面積二(扇形面積一三角形面積)x2或者陰影面枳三扇形面枳x2—正方形面積x-x2—4x4=8it—16(4)陰影面積二扇形而把一半圓面枳=tt22x--nFx~=-it2.(5｝陰影面枳二正方形面積扇形面積=4X4-ti42M工=16-4k4【鞏固】下列圖形中的正方形的邊長為4,求各個陰影部分面積的大小；(答案用R表示即可)(1)陰影面積=4倍葉子的面春=4X(2X2-K22*4)=16-4tt(2)陰影面積=正方形面積1個圓面積=4X4— =16—411【例6】在直角三角形中，已知三角形的兩條直角邊分別為3厘米和4厘米，以三角形的頂點為圓心的三個圓，半徑長都是1厘米，求圖中陰影部分的面積。()

陰影面積二直向三角形面積減去三個扇形面積之和三個扇型面積之和二半徑為1的圓的面料【答案】陰影面積=3x4子2—nx仔=6—五（厘米）=3（厘米）【鞏固】圖中三個圓的周長都是25.12厘米，不用測量，計算出圖中陰影部分的總面積?！窘馕觥肯惹蟪銎蔚陌霃饺齻€小扇形和在一起是一個角度為3瑟90二270度的扇形【答案】陰影部L的面枳=25.12L3,14^2）2乂吏二小=37.68（平方厘.米）（I【例7】兩個圓半徑都是1厘米，且圖中兩個陰影部分面積相等，求長方形ABOO的面積。（九取3）【解析】直接去求，設(shè)陰影部分的面積為a,財長方形ABO。’的面積/XTTXl2H--xjrxl2-a+a=二管=0.5平方厘米4 4 2【鞏固】下圖中，正方形的邊長是5cm,圖形的總面積是多少？（冗取3）【解析】一個圓的面積十四分之三園的面積十（正方形面積.四分之一^的面積）二一又二分之一圓面積十正方形面積=37,5汨25=137.5平才厘米【例8】如下圖所示，AB是半圓的直徑，。是圓心，，M是的中點，H是弦CD的中點.若N是0B上一點，半圓的面積等于12平方厘米，則圖中陰影部分的面積是平方厘米.AONH由于C，D是半圓的兩個三等分點?M走面的中點，H是弦CD的中點『所以這個圖母是對稗的，由對■林性可和CD與AB平行,所以，三角影CHN和三角用CHO的面侖相等,所以陰影部分的面積等于扇用COD的面枳的一半一面扇秘CQD的面耙又等于半國面積的三分之一，所以陰影部分的面積等于平置的關(guān)分之一『為12+6=2平方圓米【鞏固】如圖，C、D是以AB為直徑的半圓的三等分點，0是圓心，且半徑為6.求圖中陰影部分的面積.選接。C.OD,CD由于由于C、D是半回的兩小三等分點，所以三色用AOC和三角形COD都是正三角形，邠么CU與AB平行，所以三用形AOC和三角形COD的面枳相等，那幺所以陽移雜分的面枳等于扇布COD的百自，為nx6ZX==67T=18B4【例9】圖中圓的直徑AB是4厘米，平行四邊形ABCD的面積是7平方厘米，角ABC等于30°,求陰影部分的面積()連接CO一則陰影部分的田和二平行四邊彬ABCD的而枳一扇形AOC而積一三病號COB面積陰影部分的面積=7—乙XrrXZ?-iX7----jc=3.25平方厘米6 4 4 3或者是附影部分的面積蕓-QXitX22-1XnX^)=Y-^=3.25平方厘米【鞏固】三角形ABC的面積是31.2平方厘米，圓的直徑AC=6CM,BD:DC=3:1，求陰影部分的面積?！窘馕觥咳遣蔄DC的面枳二四分之一三角形ABC的面枳=31,274=7,8三角形AOD的面積=二分之一三角影ADC的面積=3?9陰影面積h三分之一圓-里上乳-3.9=5.52平方厘米【例10】每個小圓的半徑都是1,求陰影部分的周長和面積【解析】由小圓的半徑可以推出大圓的半徑為二陰影部分的面積二大圓的面積減去7個小回的面積=k32-irXl2X7=2n=6.28陰影部分的周拄二大圓的周共加上7個小圓的周長=2irx3+2irxlx7=207T=62.8【鞏固】正方形ABCD的邊長是1厘米，現(xiàn)在依次以ABCD為圓心，以ADBECFDG為半徑畫出扇形，得到下圖，的陰影部分，求陰影部分的面積和周長。【解析】陰影部分的面枳為四個扇形的面枳和，陰影部分的周長為四個師分之一圓弧的和+一個正方形的邊長.忸激部分的面積3X314x(I2+22+32+42>23,55平方厘米陰影部分的周長，X2X3A4X(1+2+3+4)+1X4=19.7厘米4“課堂檢測1、下圖是三個半圓（單位：cm）,其陰影部分的周長是多少？E解析】陰影部分的周長=三個半圓的周代相加【答案】陰影部分的周長二（】03143/]3元）=2=13u2、一個人要從A地到B地（如圖），有兩條路可走，是按哪一號箭頭所走的路線近一些？為什么？兩條路線相等。設(shè)五個團(tuán)的直徑分別為屯，d2, 4，則d4=di+dw+d32號路線=（irdi十irdz+ird3）仲2=ir<di4-d2+d3）+ZfcU+2=1號路線【答案】一樣近.3、如下圖所示，平行四邊形ABCD的面積是40求圖中陰影部分的面積（解析]連接BD三角形BDC面積=20因為O為DC中點，三角形BOC面積為三角形BDC面積的一半等于10cm24、圖中三角形是等腰直角三角形，陰影部分的面積是多少平方厘米?從感中可以看出朋蚓部分的面軌是兩個半固的面枳與三扇四面銳之甚，即3.14?（b+ --xt1=10.262￡溫？復(fù)習(xí)總結(jié)在解決圓與扇形的周長和面積時，首先要找到所求圖形的周長（或面積）是由哪幾部分組成的，再利用公式去解決問題。G哼家庭作業(yè)o1、AB是圓的直徑，C、D是AB上兩點且AC=CD=DB=3厘米.求陰影部分的周長【解析】陰影部分的周長三2個直徑為6的半圓的版長十2個直徑為3的半圓的弧長【答案】陰影部分的周長=6n+3tt=9立=28.26（.厘米）2、如圖所示，連接六個半徑為3厘米的小圓的圓心組成一個六邊形，求六邊形內(nèi)陰影部分面積。

【解析】利用六邊形的內(nèi)俗和為720度.相當(dāng)于兩個小圓的面積“陰影部分面積=71X3?*嬰二18H（平方厘米）36U3、如圖所示，求陰影面積，圖中是一個正六邊形，面積為 1040平方厘米，空白部分是6個半徑為10厘米的小扇形.（圓周率取3.14）【解析】六個小扇形都是圓心角為120度得扇形.陰影部分的面積二正六邊形面積減去六個小扇影的面=1040-344x102X—x61040-628=412平方厘米3604、如圖所示，以B、C為圓心的兩個半圓的直徑都是2厘米，則陰影部分的周長是厘米.（保留兩位小數(shù)）速結(jié)BE、CEJJ%三CE=BC=I；屋米）.故三角形BCE為等邊三角形，于是=ZBCE=W.映式企603.14xlx——=1.0