第二十四章 量子理論的起源

第24章量子理論的起源量子理論的起源黑體輻射、普朗克量子假設(shè)光電效應(yīng)、愛因斯坦光量子理論康普頓效應(yīng)氫原子光譜、玻爾的氫原子模型1900年1905年1923年1913年§24-1

黑體輻射和

普朗克量子假設(shè)1、輻射本領(lǐng)和吸收本領(lǐng)：任何物體在任何溫度下都向外輻射電磁波。①輻射能量的多少和輻射能按波長的分布與溫度有關(guān)；溫度低高輻射總能量少多輻射的波長長短能量按波長的分布隨溫度的變化而不同的電磁輻射稱為熱輻射。2000K1800K1600K1400K1200K1000K0②輻射能與物質(zhì)的種類有關(guān)（P.178圖24–1）；如：熔融的玻璃主要發(fā)射紅外線，而同溫度下的鐵塊發(fā)出強(qiáng)烈的可見光。③輻射能與物體表面狀況有關(guān)。如：表面越黑、越粗糙的物體輻射越強(qiáng)。為了描述熱輻射的規(guī)律，引入輻射本領(lǐng)和吸收本領(lǐng)的概念。黑體2000K鎢絲2000K0太陽6000K可見光設(shè)溫度為T時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)從物體單位表面積輻射出來的波長在λ~λ+dλ之間的輻射能為dE

(λ

,T)，則定義：單色輻射本領(lǐng)：它反映了物體表面在不同溫度下輻射能按波長分布的情況?？傒椛浔绢I(lǐng)：物體單位表面積輻射的各種波長的總輻射功率。0物體輻射電磁波的同時(shí)也吸收照射在它上面的電磁波，輻射本領(lǐng)大的物體表面，其吸收本領(lǐng)也大。單色吸收本領(lǐng)：α≈1的物體表面呈黑色；α≈0的表面呈白色；有些物體表面選擇性地吸收某些色光，而反射其補(bǔ)色光。能完全吸收照射到它上面的各種波長的電磁波的物體稱為絕對黑體（簡稱黑體）。它的吸收本領(lǐng)αB=1

，輻射本領(lǐng)也是所有物質(zhì)中最大的。2、基爾霍夫定律：在一定溫度下，對一定的波長，任何物體的單色輻射本領(lǐng)與單色吸收本領(lǐng)的比值為一恒量。該恒量的大小只決定于溫度T和波長λ

，與材料及其表面的性質(zhì)無關(guān)。即：式中：EB(λ,T)和αB(λ,T)為黑體的單色輻射本領(lǐng)和單色吸收本領(lǐng)。①若干物體處于熱平衡狀態(tài)時(shí)，單色輻射本領(lǐng)大的物體，其對應(yīng)的單色吸收本領(lǐng)也大（正比關(guān)系）。在沒有其他形式能量交換的前提下，某物體吸收的輻射能一定等于其所發(fā)射的輻射能。②若某物體不發(fā)射某波長的電磁波，則它也不能吸收該波長的電磁輻射。③黑體的單色輻射本領(lǐng)和單色吸收本領(lǐng)均大于同溫度下任何其他物體的單色輻射本領(lǐng)和單色吸收本領(lǐng)。討論3、黑體的輻射規(guī)律：用任何不透明材料做成帶小孔的空腔，則小孔就是一個(gè)絕對黑體。小孔黑體的輻射規(guī)律與腔體材料和腔內(nèi)壁的性質(zhì)無關(guān)。1897年陸末(O.R.Lummer)和普林斯海姆(E.Pringsheim)測定了絕對黑體的輻射本領(lǐng)隨波長和溫度的分布。①曲線下的面積為總輻射本領(lǐng)。溫度T升高時(shí)，總輻射本領(lǐng)急劇增加。②溫度升高時(shí)，輻射本領(lǐng)極大值的波長向短波方向移動(dòng)。這些實(shí)驗(yàn)結(jié)果可歸結(jié)為兩個(gè)定律。2000K1800K1600K1400K1200K1000K246010W?m–2??–112342000K1800K1600K1400K1200K1000K246010W?m–2??–11234(1)

維恩位移定律：（1896年）在任何溫度下，黑體輻射本領(lǐng)的峰值波長λm與熱力學(xué)溫度T成反比：(2)

斯特藩—玻耳茲曼定律：（1879年）黑體的總輻射本領(lǐng)與熱力學(xué)溫度T的四次方成正比：式中：稱為斯特藩—玻耳茲曼常量。4、經(jīng)典理論的困難：由經(jīng)典理論推導(dǎo)出的黑體單色輻射本領(lǐng)公式與實(shí)驗(yàn)不符。維恩公式在短波處與實(shí)驗(yàn)相符，而在長波處與實(shí)驗(yàn)曲線相差較大。(1)

維恩公式：（1896年）(2)

瑞利—金斯公式：（1900年）該式在長波段與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合，但波長變短時(shí)，E(λ,T)趨向無窮大（紫外災(zāi)難）。0實(shí)驗(yàn)曲線瑞利—金斯公式維恩公式5、普朗克量子假設(shè)：（1900年）普朗克認(rèn)為：組成黑體空腔壁的電子的運(yùn)動(dòng)可看作線性諧振子，他們通過輻射和吸收電磁波而與外界交換能量。按經(jīng)典理論，諧振子的能量可以連續(xù)變化，但普朗克認(rèn)為這些線性諧振子的能量只能取某一最小能量的整倍數(shù)，即：而稱為普朗克常量。ε0=hν

稱為能量子；ν為諧振子的頻率；n稱為量子數(shù)。因此，諧振子在分立的能量狀態(tài)之間變化時(shí)，也只能以ε0的整倍數(shù)與外界交換能量。1900年普朗克從諧振子能量量子化的假設(shè)出發(fā)，利用量子統(tǒng)計(jì)的方法證明：稱為普朗克公式普朗克公式與黑體輻射的實(shí)驗(yàn)曲線完全符合，量子假設(shè)也成為量子力學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)。宇宙背景輻射相當(dāng)于3K黑體輻射，求：(1)此輻射的單色輻射本領(lǐng)在什么波長下有極大值？(2)地球表面接收此輻射的功率是多少？(1)由維恩位移定律：得：得：(2)由斯特藩—玻爾茲曼定律：例題1：（習(xí)題24-4）設(shè)m=1g的小球與質(zhì)量可忽略的輕彈簧相連作A=1mm的簡諧振動(dòng)，k=0.1N/m。(1)按經(jīng)典理論求該彈簧振子的總能量及振動(dòng)頻率；(2)由量子理論求此振子的能量間隔（能量子能量）；(3)與該振子能量相應(yīng)的量子數(shù)是多少？(1)可見：宏觀諧振子的能量從能量子的角度看是非常巨大的。(2)能量間隔：(3)量子數(shù)：即：宏觀諧振子的能量可以認(rèn)為是連續(xù)變化的。由本題可見何時(shí)要用量子理論來討論物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)。例題2：（例題24-3）§24-2

光電效應(yīng)和

愛因斯坦光量子理論1、光電效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)規(guī)律：一定頻率的光照射金屬時(shí)，金屬中自由電子吸收電磁波能量使動(dòng)能增大，從而克服金屬表面偶極層電場區(qū)而逸出金屬的現(xiàn)象稱為光電效應(yīng)。光K(陰極)A(陽極)光電管逸出的電子稱為光電子，光電子形成的電流稱為光電流。常溫下，金屬內(nèi)自由電子的動(dòng)能~10–2eV。設(shè)電子逸出金屬表面需要4eV的能量（逸出功），則當(dāng)電子速率為時(shí)，即可逸出金屬表面。+++++++–––––––金屬電偶層實(shí)驗(yàn)結(jié)果：(1)

飽和光電流IS與入射光強(qiáng)成正比；當(dāng)減速勢≤–Ua

（反向遏止電壓）時(shí)，光電流為零，說明逸出光電子的最大動(dòng)能為：經(jīng)典理論：電子受入射光作用而做受迫振動(dòng)。入射光越強(qiáng)，則更多電子從入射光中獲得能量，單位時(shí)間內(nèi)逸出的電子數(shù)越多。(2)

反向遏止電壓Ua

與入射光強(qiáng)無關(guān)；IIS1IS2-UaoU減速勢加速勢光較強(qiáng)光較弱經(jīng)典波動(dòng)理論：光電子的動(dòng)能隨入射光強(qiáng)的增大而增大，不應(yīng)存在固定的遏止電壓。(3)

存在截止頻率或紅限頻率（或波長）；經(jīng)典波動(dòng)理論：只要光夠強(qiáng)，任何頻率下都可以產(chǎn)生光電效應(yīng)，不應(yīng)該存在紅限頻率或紅限波長。1.02.06.08.010.04.0ν0,Csν0,Naν0,Caν/1014HzCsNaCaUa

(V)Ua與入射光頻率ν的關(guān)系：或：K為與材料無關(guān)的普適常量。ν0

稱為紅限頻率(4)

光電子逸出的馳豫時(shí)間<10–9s。按經(jīng)典波動(dòng)理論估算：在此光強(qiáng)下使電子獲得1eV的能量需要107s=1/3年，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全不符。光電子的逸出幾乎與光照射到金屬表面同時(shí)發(fā)生，并且與入射光的強(qiáng)度無關(guān)。實(shí)驗(yàn)表明：光強(qiáng)為1μW/m2的光照射到鈉金屬的表面即可產(chǎn)生光電子，這相當(dāng)于一個(gè)500W的光源在6300m遠(yuǎn)時(shí)的光強(qiáng)!2、愛因斯坦光量子理論：愛因斯坦認(rèn)為：光是以光速運(yùn)動(dòng)的光量子（光子）形成的粒子流。頻率為ν的單色光的一個(gè)光子的能量為：當(dāng)單色光照射光陰極時(shí)，一個(gè)光子的能量被一個(gè)電子吸收，使電子動(dòng)能增加hν，從而有可能脫離金屬表面。設(shè)A為逸出功，則逸出電子的最大動(dòng)能為：稱為愛因斯坦光電效應(yīng)方程。A能量E頻率ν光量子理論對光電效應(yīng)的解釋：(1)

光越強(qiáng)入射光子越多單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的光電子越多

入射光越強(qiáng)則飽和光電流越大；(2)

由愛因斯坦方程光電子最大初動(dòng)能決定于ν、A，與光強(qiáng)無關(guān)

Ua與光強(qiáng)無關(guān)；(3)

由愛因斯坦方程

hν<A時(shí)，電子不能逸出金屬表面

存在紅限頻率。(4)

電子一次吸收一個(gè)光子的全部能量無需能量積累時(shí)間

光電效應(yīng)的瞬時(shí)性。3、光的波粒二象性：光子能量：在討論干涉、衍射、偏振等現(xiàn)象時(shí)，光表現(xiàn)為波動(dòng)；而討論光與物質(zhì)間的相互作用時(shí)，光更象粒子。光子質(zhì)量：光子動(dòng)量：上式將描述光的粒子性的量ε、m、p與描述光的波動(dòng)性的量ν、λ通過普朗克常量h聯(lián)系在了一起，所以說：光具有波粒二象性已知鋁的逸出功為4.2eV，波長為λ=200nm的單色光投射到鋁的表面，求：(1)光電子的最大動(dòng)能；(2)遏止電壓；(3)鋁的紅限頻率和紅限波長。(1)由愛因斯坦光電效應(yīng)方程：(2)遏止電壓：(3)鋁的紅限頻率和紅限波長分別為：例題3：（例題24-4）λ1=300.0nm的單色光照射鈉制光陰極時(shí)，遏止電壓Ua1=1.85V，若改用λ2=400.0nm的入射光時(shí)，Ua2=0.82V。求：(1)普朗克常量h；(2)鈉的逸出功；(3)鈉的紅限波長。(1)由愛因斯坦方程：(2)(3)例題4：（習(xí)題24-8）得：§24-3

康普頓效應(yīng)單色X射線源R發(fā)出的波長為λ0的X射線經(jīng)光闌D后射入散射物質(zhì)C，用X光攝譜儀在不同方向測量散射X射線的波長。θRDCSX射線管光闌石墨實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：在透射X射線中，除有與原射線波長（λ0）相同的成分

外，還有波長較長（λ）的成分，說明X射線光子在穿過散射物質(zhì)時(shí)有能量的損失，這種現(xiàn)象稱為康普頓效應(yīng)（康普頓散射）。1、實(shí)驗(yàn)規(guī)律：(1)當(dāng)散射角θ增大時(shí)：

波長差Δλ=λ–λ0變大；

波長為λ的光相對光強(qiáng)增大，而原波長λ0的光相對光強(qiáng)減小。(2)當(dāng)散射角θ一定時(shí)：

波長為λ的散射光的相對光強(qiáng)隨散射物質(zhì)的原子序數(shù)的增大而減小。

波長差Δλ=λ–λ0與散射物質(zhì)無關(guān)；按照經(jīng)典理論：散射物質(zhì)中的電子在入射電磁波的作用下做受迫振動(dòng)，振動(dòng)頻率與入射X射線頻率相同。所以，當(dāng)這些電子輻射電磁波時(shí)，其頻率應(yīng)該與受迫振動(dòng)的頻率相同，即與入射X射線的頻率相同。電子僅起到能量傳遞者的作用，不應(yīng)該出現(xiàn)波長大于入射X射線波長的電磁波。2、光子理論對康普頓效應(yīng)的解釋：固體（尤其是金屬）中有許多受原子核束縛很弱的自由電子，自由電子在常溫下的平均熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能（~10–2eV）與X光子能量（λ0=0.1?時(shí)，ε=hν=1.2×105eV

）相比可忽略，因此可看作靜止。能量動(dòng)量碰前電子0光子碰后電子光子光子電子電子光子由能量守恒：光子電子電子光子能量動(dòng)量碰前電子0光子碰后電子光子得：由動(dòng)量守恒：得：(1)式平方：(2)式平方：(3)–(4)得：即：又：得：式中：稱為電子的康普頓波長。（與X射線波長相當(dāng)）結(jié)論：波長偏移量與散射物質(zhì)及入射X射線波長λ0均無關(guān)，而只與散射角θ有關(guān)。稱為康普頓散射公式。光子理論解釋：光子與自由電子碰撞時(shí)將部分能量傳給電子，因而光子能量減少，頻率降低，波長變長。使散射光中存在波長長于入射光波長的成分。光子電子電子光子若光子與被束縛很緊的電子碰撞，則可看作與整個(gè)原子碰撞。因原子質(zhì)量>>光子質(zhì)量，所以碰撞前后光子能量幾乎不變。這部分光子的能量仍為hν0，其波長仍為λ0。當(dāng)散射物質(zhì)的原子序數(shù)增大時(shí)，原子內(nèi)層電子數(shù)增加，光子與整個(gè)原子碰撞的機(jī)會(huì)增大。所以，波長為λ0的相對光強(qiáng)增加。討論：(1)

康普頓散射理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全相符，說明在光子與微觀粒子的相互作用過程中也嚴(yán)格遵守能量守恒定律和動(dòng)量守恒定律。(2)

康普頓散射效應(yīng)僅當(dāng)入射光的波長與康普頓波長相近時(shí)才顯著。如：在光電效應(yīng)中，入射光為可見光或紫外光，康普頓效應(yīng)不顯著。在康普頓散射實(shí)驗(yàn)中，入射光子波長λ0=0.003nm，反沖電子速度為光速的60%，求散射光子波長及散射角。反沖電子的動(dòng)能：得：由康普頓散射公式：例題5：(習(xí)題24-14)波長λ0=0.1?的X射線與靜止的自由電子碰撞，在θ=90o方向觀察，求:(1)散射X射線的波長λ=?；(2)反沖電子的動(dòng)能Ek=?、動(dòng)量pe=?(1)由康普頓散射公式：因?yàn)殡娮拥目灯疹D波長λc=0.024?，cosθ=0。例題6：波長λ0=0.1?的X射線與靜止的自由電子碰撞，在θ=90o方向觀察，求:(1)散射X射線的波長λ=?；(2)反沖電子的動(dòng)能Ek=?、動(dòng)量pe=?得：(2)反沖電子的動(dòng)能：光子電子電子光子yx反沖電子的動(dòng)量：例題6：§24-4

氫原子光譜

玻爾的量子假設(shè)和玻爾模型量子理論是在研究氫原子光譜的結(jié)構(gòu)中進(jìn)一步發(fā)展起來的。原子光譜提供了關(guān)于原子結(jié)構(gòu)的豐富信息。氣體的光譜大多是由離散的線狀譜線組成的。同一元素的光譜包含完全確定的波長成分，而不同元素的光譜結(jié)構(gòu)各不相同。氫原子的光譜結(jié)構(gòu)最為簡單。1、氫原子光譜：HαHβHγHδH∞656.28nm486.13nm434.05nm410.17nm364.57nm氫原子光譜的巴爾末線系巴爾末在1885年發(fā)現(xiàn)氫原子光譜在可見光部分的譜線波長可歸納為：稱為巴爾末公式。由此式計(jì)算出的λα，λβ，……，λ∞與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相當(dāng)吻合。里德伯在1896年用波長的倒數(shù)（波數(shù)）表示巴爾末公式：式中：RH=1.0967758×107m–1稱為里德伯常數(shù)。除了可見光部分的巴爾末線系外，氫原子光譜還有紫外和紅外部分的譜線系：這些線系可以概括為一個(gè)公式—廣義巴爾末公式：紫外：賴曼系紅外：帕邢系布喇開系普芳德系………氫原子光譜能夠用這些簡單公式精確表示，一方面說明氫原子光譜有很強(qiáng)的規(guī)律性；另一方面，通過氫原子光譜的研究能夠揭示原子結(jié)構(gòu)的內(nèi)在規(guī)律性。但經(jīng)典理論無法對氫原子光譜的實(shí)驗(yàn)結(jié)果做出合理的解釋?？梢姡簹湓庸庾V中任一譜線的波數(shù)都可以簡單地用兩個(gè)光譜項(xiàng)：之差來表示。2、原子的核式模型：要正確解釋原子光譜的規(guī)律性，必須從原子的結(jié)構(gòu)入手。1903年，J.J湯姆孫提出的原子結(jié)構(gòu)模型：原子中正電荷和質(zhì)量均勻分布在半徑~10–10m的球體內(nèi)，而電子則“嵌”于此球體中，電子在平衡位置附近作微小振動(dòng)而輻射電磁波。該模型存在的問題：①不能解釋α粒子散射實(shí)驗(yàn)中存在大散射角的α粒子；②不能解釋氫原子光譜的線系結(jié)構(gòu)。1909年，盧瑟福提出了原子的核式結(jié)構(gòu)模型：氫原子中心有一帶正電的原子核，它幾乎集中了原子的全部質(zhì)量，而電子則圍繞原子核作圓周運(yùn)動(dòng)。原子核質(zhì)量=1837電子質(zhì)量；原子核的半徑10–14m~10–15m，而原子的半徑~10–10m。氫原子由一個(gè)原子核（質(zhì)子）和一個(gè)核外電子組成。電子受原子核的庫侖力：電子速率：氫原子總能量：+e–e電子原子核r氫原子的總能量為負(fù)，說明電子被原子核所束縛而不能離開原子自由運(yùn)動(dòng)。實(shí)驗(yàn)指出：要將一個(gè)氫原子電離成一個(gè)自由電子和一個(gè)質(zhì)子，所需要的能量（氫原子的電離能）為13.6eV，即氫原子的最低能量為–13.6eV。由此估算出電子繞核運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為：該結(jié)果與其他實(shí)驗(yàn)方法得到的結(jié)果一致。+e–e電子原子核r盧瑟福的原子核式結(jié)構(gòu)模型雖可圓滿解釋α粒子的散射問題，但仍未能解釋原子的穩(wěn)定性和氫原子光譜的規(guī)律性。①由經(jīng)典電磁理論：加速運(yùn)動(dòng)的電子會(huì)向外輻射電磁波，電磁波的頻率=電子繞核轉(zhuǎn)動(dòng)的頻率。所以電子能量逐漸減小，頻率逐漸降低。②原子不斷向外輻射能量，使電子軌道半徑逐漸減小而最終落到原子核上。以氫原子為例：電子從半徑為10–10m的軌道落到原子核上只需10–10s。即：原子光譜應(yīng)該是連續(xù)光譜。即：原子應(yīng)該是一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)。3、玻爾的氫原子理論（假設(shè)）：1913年玻爾理論是經(jīng)典理論和普朗克量子化概念的混合體，因此被稱作半經(jīng)典理論。它以三條假設(shè)為基礎(chǔ)：假設(shè)1（定態(tài)假設(shè)）：電子可在一些特定軌道上運(yùn)動(dòng)而不輻射電磁波，此時(shí)原子處于穩(wěn)定狀態(tài)（定態(tài)），并具有一定能量。此假設(shè)是經(jīng)驗(yàn)性的，解決了原子的穩(wěn)定性問題。假設(shè)2（量子化條件）：只有電子軌道角動(dòng)量等于h/2π的整倍數(shù)時(shí)，軌道才是穩(wěn)定的。即：h或?為普朗克常量，n=1,2,3,...稱為主量子數(shù)。角動(dòng)量量子化是人為加入的，但后經(jīng)德布羅意證實(shí)。假設(shè)3（頻率條件）：當(dāng)電子從高能量軌道（Ei）躍遷到低能量軌道（Ef）時(shí)，發(fā)射出一個(gè)能量為hν

的光子。即：頻率條件由普朗克假設(shè)引申而來，解釋了原子線狀光譜的由來。下面以玻爾的三個(gè)假設(shè)為基礎(chǔ)，解釋氫原子光譜的規(guī)律。由假設(shè)1：設(shè)電子在半徑為rn

的穩(wěn)定軌道上以速率vn

作圓周運(yùn)動(dòng)。電子和原子核之間的作用力為庫侖力：由假設(shè)2：消去vn

得：式中：稱為第一玻爾半徑。(1)

氫原子中電子的軌道半徑是量子化的：電子軌道半徑的可能值為：r1,4r1,9r1,16r1,……r1r2=4r1r3=9r1r4=16r1n=1n=4n=3n=2結(jié)論：氫原子中電子繞核運(yùn)動(dòng)的軌道半徑是量子化的。r1r2=4r1r3=9r1r4=16r1n=1n=4n=3n=2電子在第n個(gè)軌道上的總能量為：或：稱為氫原子的能