第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法

第四章根軌跡法4-1根軌跡與根軌跡方程4-2繪制根軌跡的基本法則4-3控制系統(tǒng)的根軌跡分析4-4零度根軌跡與非最小相位根軌跡4-1根軌跡與根軌跡方程一、根軌跡的基本概念所謂根軌跡就是指當(dāng)系統(tǒng)中某個(gè)參量由零到無窮大變化時(shí)，其閉環(huán)特征根（極點(diǎn)）在s平面上移動(dòng)的軌跡例4-1解為兩實(shí)根；解為兩實(shí)重根解為一對(duì)共軛復(fù)根二、根軌跡方程必要條件充要條件m個(gè)零點(diǎn)n個(gè)極點(diǎn)（nm）幅值條件相角條件（k=…-2,-1,1,2…）根軌跡方程例4-2已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

其開環(huán)零、極點(diǎn)如圖所示，求取系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡。

根軌跡的繪制過程為：（1）尋找平面上所有滿足相角條件的s；（2）利用幅值條件確定各點(diǎn)的K*值。設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

2）“×”、“〇”3）加粗線及箭頭1）實(shí)軸、虛軸相同的刻度4）關(guān)鍵點(diǎn)的標(biāo)注！繪制注意點(diǎn)4-2繪制根軌跡的基本法則1.根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)2.根軌跡分支數(shù)3.根軌跡的對(duì)稱性5.實(shí)軸上的根軌跡4.根軌跡的漸近線7.根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)

6.根軌跡的起始角和終止角8.根軌跡與虛軸的交點(diǎn)9.

根之和繪制根軌跡的基本法則1.根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)幅值條件s值必須趨近于開環(huán)極點(diǎn)根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)s值必須趨近于開環(huán)零點(diǎn)根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)n階系統(tǒng)有m支根軌跡的終點(diǎn)在m個(gè)有限零點(diǎn)處。若n>m，那么剩余的n-m個(gè)終點(diǎn)在哪里呢？在無窮遠(yuǎn)處。2.根軌跡的分支數(shù)n階系統(tǒng)根軌跡有n個(gè)分支3.根軌跡的對(duì)稱性根軌跡各分支連續(xù)且關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱4.根軌跡的漸近線漸近線與實(shí)軸的傾角：漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：例4-2

求下面閉環(huán)特征方程式根軌跡的漸近線解：5.實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上某段區(qū)域右邊的實(shí)數(shù)零點(diǎn)和實(shí)數(shù)極點(diǎn)總數(shù)為奇數(shù)時(shí)，這段區(qū)域必為根軌跡的一部分

6.根軌跡的起始角和終止角起始角：始于開環(huán)極點(diǎn)的根軌跡，在起點(diǎn)處的切線與水平線的正方向夾角

終止角：止于開環(huán)零點(diǎn)的根軌跡，在終點(diǎn)處的切線與水平線的正方向夾角

例4-3

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為求閉環(huán)系統(tǒng)大致根軌跡7.根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)

分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）：根軌跡在S平面某一點(diǎn)相遇后又立即分開。根軌跡上的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)是與特征方程式的重根相對(duì)應(yīng)的。

分離點(diǎn)會(huì)合點(diǎn)

一般說來，若實(shí)軸上兩相鄰開環(huán)極點(diǎn)之間有根軌跡，則這兩相鄰極點(diǎn)之間必有分離點(diǎn)；如果實(shí)軸上相鄰開環(huán)零點(diǎn)（其中一個(gè)可為無窮遠(yuǎn)零點(diǎn)）之間有根軌跡，則這相鄰零點(diǎn)之間必有會(huì)合點(diǎn)。

分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）d坐標(biāo)值的求取方法:檢驗(yàn)：當(dāng)解得多個(gè)s值時(shí)，其中k*值為正實(shí)數(shù)時(shí)或s是根軌跡上的點(diǎn)才有效。1、d坐標(biāo)值由方程解出

3、由極值點(diǎn)求解d

2、重根法求解d

坐標(biāo)值由解出d

例4-4：已知

，試求系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡的分離點(diǎn)坐標(biāo)值

方法1:解方程法（舍去）

開環(huán)傳遞函數(shù)

方法2:重根法（舍去）

方法3:極值法（舍去）8.根軌跡與虛軸的交點(diǎn)代入特征方程聯(lián)立求解，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)ω值和相應(yīng)的臨界K值。9.根之和當(dāng)≥2時(shí)

開環(huán)極點(diǎn)之和等于閉環(huán)極點(diǎn)之和根之和不變K’增大，一些根軌跡分支向左移動(dòng)，則一定會(huì)相應(yīng)有另外一些根軌跡分支向右移動(dòng)。（2）勞斯法（1）例4-5

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)没痉▌t繪制根軌跡。解（1）無開環(huán)零點(diǎn)，開環(huán)極點(diǎn)在實(shí)軸上根軌跡[-3，0]。（3）分離點(diǎn)（2）有4條分支趨向無窮遠(yuǎn)處。漸近線的夾角與交點(diǎn)（4）起始角（出射角）或（5）與虛軸的交點(diǎn)運(yùn)用勞斯判據(jù)由第一列、第三行元素為零由輔助方程4.2.2閉環(huán)極點(diǎn)的確定對(duì)于特定的K*值下的閉環(huán)極點(diǎn)，可以借助根軌跡圖用模值條件確定。根據(jù)K*值，通常用試探法先確定在實(shí)軸上的閉環(huán)極點(diǎn)，然后確定其它的閉環(huán)極點(diǎn)。因?yàn)橐阎蛛x點(diǎn)例4-6：例4-5中確定K*=4的閉環(huán)極點(diǎn)。解：由模值條件于是可知K*=4對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)在分離點(diǎn)兩側(cè)。經(jīng)過若干次試探，找出滿足模值條件的兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)另外兩個(gè)根可以從特征方程求出特殊情況：若系統(tǒng)僅有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)和一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，這時(shí)根軌跡可能是直線或圓弧，若根軌跡一旦離開實(shí)軸，必然是沿著圓弧移動(dòng)。(a)(b)(c)(d)證明若根軌跡一旦離開實(shí)軸，必然沿圓弧移動(dòng)設(shè)s是根軌跡上的一點(diǎn)，則s應(yīng)滿足相角條件令為一圓的方程，圓心為(-z,0),半徑為P.144圖4-15給出了一些不同開環(huán)零極點(diǎn)分布時(shí)，其根軌跡大致走向。例4-7:已知系統(tǒng),求Ta由0→∞的閉環(huán)根軌跡。解:原系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

D(s)=1+G(s)H(s)=s(5s+1)+5(Tas+1)=0所以就是新的開環(huán)傳函數(shù)，而5Ta相當(dāng)于新的開環(huán)增益。4.3廣義根軌跡

變化的參數(shù)不是開環(huán)根軌跡增益K*的根軌跡叫參數(shù)根軌跡。將開環(huán)傳函變形讓變化的參數(shù)處于開環(huán)增益的位置就可以采用繪制常規(guī)根軌跡時(shí)的法則。

解題關(guān)鍵：要將開環(huán)傳函變形，將非開環(huán)增益的參數(shù)變換到開環(huán)增益的地位。將和參數(shù)有關(guān)的各項(xiàng)歸并在一起，上式可寫為

5s2+s+5+5Tas=04.3.1

參數(shù)根軌跡

在負(fù)反饋系統(tǒng)中，K*變化時(shí)的根軌跡叫做常規(guī)根軌跡。其他情況下的根軌跡稱廣義根軌跡。通常有參數(shù)根軌跡和零度根軌跡。例4-8：設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其中開環(huán)增益可自行選定。試分析時(shí)間常數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。解：閉環(huán)特征方程要繪制參數(shù)根軌跡，首先要求出等效開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)等效開環(huán)極點(diǎn)注：若分母多項(xiàng)式為高次時(shí)，無法解析求解等效開環(huán)極點(diǎn)，則運(yùn)用根軌跡法求解。如本例，求解分母特征根的根軌跡方程為：在本例中，K可自行選定，選定不同K值，然后將G1(s)的零、極點(diǎn)畫在s平面上，在令繪制出變化時(shí)的參數(shù)根軌跡。Ta=0Ta0Ta∝Ta∝4.3.2零度根軌跡的繪制以具有正反饋內(nèi)回路的的系統(tǒng)為例。等效為相角方程（幅角條件）和模方程（模值條件）與常規(guī)根軌跡的相角條件和模值條件相比：模值條件沒有變化。所以零度根軌跡的繪制的規(guī)則只要考慮相角條件所引起的某些規(guī)則的修改。規(guī)則3：漸近線的夾角與實(shí)軸夾角與實(shí)軸交點(diǎn)規(guī)則4：實(shí)軸上的根軌跡若實(shí)軸的某一個(gè)區(qū)域是一部分根軌跡，則必有：其右邊（開環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)數(shù)+開環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)數(shù)）為偶數(shù)。這個(gè)結(jié)論可以用相角條件證明。規(guī)則6：根軌跡的起始角（出射角）和終止角（入射角）起始角（出射角）：終止角（入射角）：例4-9設(shè)具有正反饋回路系統(tǒng)的內(nèi)回路傳遞函數(shù)分別為試?yán)L制該回路的根軌跡圖。（2）根軌跡的漸近線（n-m)=2條，漸近線夾角（1）系統(tǒng)的開環(huán)零極點(diǎn)分布為有三條根軌跡分支，實(shí)軸上的根軌跡（-，-3]，[-2，）。（3）確定出射角（4）確定分離點(diǎn)（5）確定臨界開環(huán)增益，顯然根軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的開環(huán)增益為4.3.3附加開環(huán)零點(diǎn)的作用1.附加適當(dāng)?shù)拈_環(huán)零點(diǎn)可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為附加的開環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)，其值可在s左半平面內(nèi)任意選擇，當(dāng)時(shí)，表明不存在有限零點(diǎn)。令為不同的數(shù)值，對(duì)應(yīng)的根軌跡見P.150圖4-25所示：（a）無開環(huán)零點(diǎn)；（b）；（c）（d）2.附加開環(huán)零點(diǎn)的目的，除了改善系統(tǒng)穩(wěn)定性之外，還可以改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。結(jié)論：只有當(dāng)附加零點(diǎn)相對(duì)原有系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)的位置選配適當(dāng)，才有可能使系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能同時(shí)得到明顯的改善。設(shè)輸入為單位階躍：r(t)=1(t),有：假設(shè)(s)中無重極點(diǎn)，上式分解為部分分式一、用閉環(huán)零、極點(diǎn)表示的階躍響應(yīng)表達(dá)式4-4控制系統(tǒng)的根軌跡分析將C(s)表達(dá)式進(jìn)行拉式反變換得：從上式看出，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)將由閉環(huán)極點(diǎn)及系數(shù)決定，而系數(shù)也與閉環(huán)零、極點(diǎn)分布有關(guān)。二、閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與階躍響應(yīng)的定

性關(guān)系穩(wěn)定性所有閉環(huán)極點(diǎn)位于s平面的左半部；復(fù)數(shù)極點(diǎn)設(shè)置在s平面中與負(fù)實(shí)軸成

夾角線附近；平穩(wěn)性快速性閉環(huán)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸；動(dòng)態(tài)過程盡快消失小，閉環(huán)極點(diǎn)之間間距大,零點(diǎn)與極點(diǎn)間間距小。三、主導(dǎo)極點(diǎn)和偶極子主導(dǎo)極點(diǎn)：如果高階系統(tǒng)中距離虛軸最近的極點(diǎn)，其實(shí)部比其他極點(diǎn)的實(shí)部的1/5還要小，并且，該極點(diǎn)附近沒有零點(diǎn)，則可以認(rèn)為系統(tǒng)的響應(yīng)主要由該極點(diǎn)決定。這些對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的極點(diǎn)，稱為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)偶極子：就是一對(duì)靠得很近的閉環(huán)零、極點(diǎn)。

閉環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響

(1)閉環(huán)極點(diǎn)的分布決定了動(dòng)態(tài)響應(yīng)的類型。

(2)閉環(huán)零點(diǎn)的分布決定了瞬態(tài)響應(yīng)曲線的形態(tài)和指標(biāo)。

(3)閉環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)會(huì)減小系統(tǒng)的阻尼比，使系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)速度加快，超調(diào)量增大，峰值時(shí)間提前。

(4)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性主要取決于系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。

(5)遠(yuǎn)離虛軸的極點(diǎn)(或零點(diǎn))和偶極子。

(6)主導(dǎo)極點(diǎn)。

例已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試應(yīng)用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并計(jì)算閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)具有阻尼比0.5時(shí)的性能指標(biāo)。解：圖4-27

根軌跡圖圖4-27

根軌跡圖按步驟作出系統(tǒng)的根軌跡，如圖4-27所示。分析系統(tǒng)穩(wěn)定性在平面上畫出時(shí)的阻尼線。阻尼線與根軌跡交點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為，從圖上測(cè)得，與之共軛的復(fù)數(shù)極點(diǎn)為。已知系統(tǒng)閉環(huán)特征方程及兩個(gè)極點(diǎn)，用長(zhǎng)除法求出第三個(gè)極點(diǎn)。使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益范圍是非最小相位根軌跡

繪制規(guī)則:（1）對(duì)于負(fù)反饋系統(tǒng)——按前述一般規(guī)則繪制；（2）對(duì)于正反饋系統(tǒng)——按前述零度根軌跡規(guī)則繪制。

如果系統(tǒng)的所有開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)都位于ｓ左半平面，則稱為最小相位系統(tǒng)。若系統(tǒng)有位于ｓ右半平面的開環(huán)極點(diǎn)和（或）零點(diǎn)，則稱為非最小相位系統(tǒng)。前面介紹的作圖規(guī)則是針對(duì)最小相位系統(tǒng)的。以下將討論非最小相位系統(tǒng)的根軌跡。4-5非最小相位根軌跡

本章小結(jié)4-3控制系統(tǒng)的根軌跡分析系統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與階躍響應(yīng)的關(guān)系

利用根軌跡分析控制系統(tǒng)的性能

開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響4-1根軌跡與根軌跡方程零度根軌跡非最小相位根軌跡

4-4零度根軌跡與非最小相位根軌跡4-2繪制根軌跡的基本法則四、利用主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)既然主導(dǎo)極點(diǎn)在動(dòng)態(tài)過程中起主要作用，那么，計(jì)算性能指標(biāo)時(shí)，在一定條件下就可以只考慮暫態(tài)分量中主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的分量，將高階系統(tǒng)近似看做一、二階系統(tǒng)，直接應(yīng)用第三章中計(jì)算性能指標(biāo)的公式和曲線。例4-12試近似計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。解：這是三階系統(tǒng)，有三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)其零、極點(diǎn)分布如圖4-25所示。某系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為極點(diǎn)離虛軸最近，所以系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)為，而其他兩個(gè)極點(diǎn)可以忽略。圖4-25這時(shí)系統(tǒng)可以看做是一階系統(tǒng)。傳遞函數(shù)為式中：T=0.67s根據(jù)時(shí)域分析可知一階系統(tǒng)無超調(diào)，調(diào)節(jié)時(shí)間例4-13系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)試估計(jì)系統(tǒng)的性能指標(biāo)。解：閉環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖(4-26)所示圖4-26系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)